北师大版八年级下第一章三角形的证明检测B卷.docx

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北师大版八年级下第一章三角形的证明检测B卷

北师大版八年级下第一章三角形的证明检测B卷

班级___________姓名_____________考号___________

一．选择题（共12小题）

1．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°

2．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．

以下给出的条件适合的是（　　）

A．AC=ADB．AB=ABC．∠ABC=∠ABDD．∠BAC=∠BAD

4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　　）

A．40°B．50°C．60°D．70°

5．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（　　）

A．6B．6

C．6

D．12

6．Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为（　　）

A．10B．3C．4D．5

7．如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（　　）

A．DE=DCB．AD=DBC．AD=BCD．BC=AE

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（　　）

A．mnB．5mnC．7mnD．6mn

9．如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有（　　）

A．3对B．4对C．5对D．6对

10．在△ABC中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC可以从4，5，7，9，11取一值．满足这些条件的互不全等三角形的个数是（　　）

A．6B．7C．5D．4

11．三角形ABC的三条内角平分线为AE、BF、CG，下面的说法中正确的个数有（　　）

①△ABC的内角平分线上的点到三边距离相等

②三角形的三条内角平分线交于一点

③三角形的内角平分线位于三角形的内部

④三角形的任一内角平分线将三角形分成面积相等的两部分．

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：

①PC平分∠ACF；

②∠ABC+∠APC=180°；

③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；

④∠BAC=2∠BPC．

其中正确的是（　　）

A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③

二．填空题（共6小题）

13．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　　．

14．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为　　．

15．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件　　．（只需写出符合条件一种情况）

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为　　．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为　　．

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为　　时，△ACP是等腰三角形．

三．解答题（共8小题）

19．在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长．

20．如图，下午2时一艘轮船从A处向正北方向航行，5时达到B处，继续航行到达D处时发现，灯塔C恰好在正西方向，从A处、B处望灯塔C的角度分别是∠A=30°，∠DBC=60°，已知轮船的航行速度为24海里/时，求AD的长度．

21．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．

（1）求证：

△ABC≌△DCB；

（2）△OBC是何种三角形？

证明你的结论．

22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

求证：

（1）∠B=∠C．

（2）△ABC是等腰三角形．

23．在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点．

（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．

（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含x的代数式表达）．

（3）猜想∠ABC和∠EDA的数量关系，并证明．

24．如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F

（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；

（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．

25．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：

（1）AM⊥DM；

（2）M为BC的中点．

26．如图

（1），Rt△AOB中，

，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．

（1）求OC、BC的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图

（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？

求出所有满足条件的t值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．分析:

根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．

解：

∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，

∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，

∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，

∴∠B=25°，

∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，

∴∠BDE=∠BED=

（180°﹣25°）=77.5°，

∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，

故选D．

2．分析:

根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：

①当OB=AB时，②当OA=AB时，③当OA=OB时，分别求得符合的点B，即可得解．

解：

要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：

①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；

②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；

③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，

1+1+2=4，

故选：

D．

3．分析:

由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD．

解：

需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：

若添加的条件为BC=BD，

在Rt△ABC与Rt△ABD中，

∵

，

∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；

若添加的条件为AC=AD，

在Rt△ABC与Rt△ABD中，

∵

，

∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．

故选A．

4．分析:

根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．

解：

∵直角三角形中，一个锐角等于40°，

∴另一个锐角的度数=90°﹣40°=50°．

故选：

B．

5．分析:

根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．

解：

∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，

∴BC=

AB=12×

=6，

故答选A．

6．分析:

已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题．

解：

已知直角三角形的两直角边为6、8，

则斜边长为

=10，

故斜边的中线长为

×10=5，

故选D．

7．分析:

根据题意和图形可以分别推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．

解：

∵△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，

∴AB=2BC，AD=DB＞AE，

∴AD=DB，故选项B正确，

AD＞BC，故选项C错误，

BC=AE，故选项D正确，

∵∠DEB=∠DCB=90°，

在Rt△DBE和Rt△DBC中，

，

∴Rt△DBE≌Rt△DBC（HL），

∴DE=DC，故选项A正确，

故选C．

8．分析:

过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．

解：

如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，

∴DE=CD=m，

∴△ABD的面积=

×2n×m=mn，

故选：

A．

9．分析:

△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．

利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．

解：

∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠ADB=∠AEC=90°，

∵AC=AB，

∵∠CAE=∠BAD，

∴△AEC≌△ADB；

∴CE=BD，

∵AC=AB，

∴∠CBE=∠BCD，

∵∠BEC=∠CDB=90°，

∴△BCE≌△CBD；

∴BE=CD，

∴AD=AE，

∵AO=AO，

∴△AOD≌△AOE；

∵∠DOC=∠EOB，

∴△COD≌△BOE；

∴OB=OC，

∵AB=AC，

∴CF=BF，AF⊥BC，

∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF．

共6对，故选D．

10．分析:

本题涉及到的知识点是“直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，因为取5的时候是AC垂直于AB，也就是AC能取的最小值．

解：

当AC=5时，AC=

AB，此时∠ACB为直角，有1个三角形为直角三角形；

当AC=7时，∠ACB为钝角或锐角时，各有1个，共2个；

当AC=9时，∠ACB为钝角或锐角时，各有1个，共2个；

当AC=11时，∠ACB为锐角时，有1个，此时不存在∠ACB为钝角的三角形；

综上所述，共有6个满足条件的互不全等三角形．

故选A．

11．分析:

画出图形，设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，求出ON=OM=OQ，判断即可．

解：

∵设O为∠BAC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过O作ON⊥AB于N，OM⊥BC于M，OQ⊥AC于Q，

∴ON=OQ，OQ=OM，

∴ON=OM=OQ，

∴△ABC的三个内角的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴①错误；

∵ON⊥AB，OM⊥BC，ON=OM，

∴O在∠ABC的角平分线上，

即O是△ABC的三个角的平分线交点，∴②正确；

∵三角形的三个内角的平分线都在三角形的内部，∴③正确；

∵三角形的任意中线把三角形的面积分为面积相等的两部分，而三角形的任意角平分线不一定把三角形的面积分成面积相等的两部分，∴④错误；

故选B．

12．分析:

过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；

根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；

根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；

利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．

解：

如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，

①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，

∴PM=PN，PM=PD，

∴PM=PN=PD，

∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），

故本小题正确；

②∵PM⊥AB，PN⊥BC，

∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，

∴∠ABC+∠MPN=180°，

很明显∠MPN≠∠APC，

∴∠ABC+∠APC=180°错误，

故本小题错误；

③在Rt△APM与Rt△APD中，

，

∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），

∴AD=AM，

同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，

∴CD=CN，

∴AM+CN=AD+CD=AC，

故本小题正确；

④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，

∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=

∠ACF=∠BPC+

∠ABC，

∴∠BAC=2∠BPC，

故本小题正确．

综上所述，①③④正确．

故选B．

二．填空题（共6小题）

13．分析:

根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．

解：

因为2+2＜4，

所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，

周长：

4+4+2=10，

答：

它的周长是10，

故答案为：

10

14．分析:

过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，从而得解．

解：

如图，过P作PD⊥OA于D，

∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，

∴PD=PC，

∵PC=3，

∴PD=3．

故答案为：

3．

15．分析:

本题要判定△ABC≌△BAD，已知AC⊥BC，AD⊥DB，即∠C=∠D=90°，AB为公共边，故添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．

解：

∵AC⊥BC，AD⊥DB，

∴∠C=∠D=90°

∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD

∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．

16．分析:

根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．

解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠DAE=∠B=30°，

∴∠ADC=60°，

∴∠CAD=30°，

∴AD为∠BAC的角平分线，

∵∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=CD=3，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=6，

故答案为：

6．

17．分析:

设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度．

解：

设CE=x，连接AE，

∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴AE=BE=BC+CE=3+x，

∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，

解得x=

．

故答案为：

．

18．分析:

根据题意分四种情况，针对每种情况画出相应的图形，求出相应的时间t的值即可解答本题．

解：

由题意可得，

第一种情况：

当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，

∴CP=6cm，

∴t=6÷2=3秒；

第二种情况：

当CP=PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，

∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA，

∴∠PCB=∠PBC，

∴PA=PC=PB=5cm，

∴t=（CB+BP）÷2=（8+5）÷2=6.5秒；

第三种情况：

当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，

∴AP=6cm，AB=10cm，

∴t=（CB+BA﹣AP）÷2=（8+10﹣6）÷2=6秒；

第四种情况：

当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，

作CD⊥AB于点D，

∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A=

=

，

∴

，AB=10cm，

设CD=4a，则AD=3a，

∴（4a）2+（3a）2=62，

解得，a=

，

∴AD=3a=

，

∴AP=2AD=7.2cm，

∴t=

=5.4s，

故答案为：

3，6或6.5或5.4．

三．解答题（共8小题）

19．分析:

由在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，可得|AB﹣BC|=15﹣12=3（cm），AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm，然后分别从AB＞BC与AB＜BC去分析求解即可求得答案．

解：

如图，∵AB=AC，BD是AC边上的中线，

即AD=CD，

∴|（AB+AD）﹣（BC+CD）|=|AB﹣BC|=15﹣12=3（cm），AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm，

若AB＞BC，则AB﹣BC=3cm，

又∵2AB+BC=27cm，

联立方程组并求解得：

AB=10cm，BC=7cm，

10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形；

若AB＜BC，则BC﹣AB=3cm，

又∵2AB+BC=27cm，

联立方程组并求解得：

AB=8cm，BC=11cm，

8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形；

∴三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm．

20．分析:

首先根据C在D的正西方向，∠A=30°，∠DBC=60°，判断出BC=BA，∠BCD=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质，判断出DB=

CB；然后根据路程=速度×时间，求出AB的长度是多少，即可求出AD的长度是多少．

解：

∵C在D的正西方向，

∴∠ADC=90°；

∵∠A=30°，∠DBC=60°，∠DBC=∠A+∠BCA

∴∠BCA=30°，

∴∠BCA=∠A，

∴BC=BA．

在Rt△CBD中，∠DBC=60°，

∴∠BCD=30°，

∴DB=

CB，

∴AD=AB+DB=AB+

CB=AB+

AB=

AB，

∵AB=24×（5﹣2）=72（海里），

∴AD=

AB=

×72=108（海里）．

答：

AD的长度是108海里．

21．分析:

（1）根据已知条件，用HL公理证：

Rt△ABC≌Rt△DCB；

（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．

证明：

（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°

AC=BD，BC为公共边，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；

（2）△OBC是等腰三角形

∵Rt△ABC≌Rt△DCB

∴∠ACB=∠DCB

∴OB=OC

∴△OBC是等腰三角形

22．分析:

由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．

证明：

（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∴DE=DF，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴∠B=∠C；

（2）由

（1）可得∠B=∠C，

∴△ABC为等腰三角形．

23．分析:

（1）根据直角三角形的性质得到EF=

BC，DF=

BC，等量代换即可；

（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算；

（3）根据圆内接四边形的性质解答．

解：

（1）△DEF是等腰三角形．

∵CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点，

∴EF=

BC，DF=

BC，

∴EF=DF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵FE=FB，FD=FC，

∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，

∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°，

∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°，

∴∠FED+∠FDE=360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）=2x°，

∴∠EFD=180°﹣2x°；

（3）∠ABC=∠EDA．

∵∠BEC=∠BDC=90°，

∴B、E、D、C四点共圆，

∴∠ABC=∠EDA．

24．分析:

（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA=MC，NB=NC，根据三角形的周长公式计算即可；

（2）根据四边形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠A+∠B=70°，由∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，计算即可．

解：

（1）∵DM是AC边的垂直平分线，

∴MA=MC，

∵EN是BC边的垂直平分线，

∴NB=NC，

AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=20cm；

（2）∵MD⊥AC，NE⊥BC，

∴∠ACB=180°﹣∠MFN=110°，

∴∠A+∠B=70°，

∵MA=MC，NB=NC，

∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，

∴∠MCN=40°．

25．分析:

（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；

（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN，MN=CM，等量代换得到答案．

解：

（1）∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴2∠MAD+2∠ADM=180°，

∴∠MAD+∠ADM=90°，

∴∠AMD=90°，

即AM⊥DM；

（2）作NM⊥AD交AD于N，

∵∠B=90°，AB∥CD，

∴BM⊥AB，CM⊥CD，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴BM=MN，MN=CM，

∴BM=CM，

即M为BC的中点．

26．分析:

（1）求出∠B，根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可；

（2）有四种情况：

①当P在BC上，Q在OC上时，t＜2，过P作PH⊥OC于H，求出PH，根据三角形的面积公式求出即可；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在；③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，求出CZ和PG的值，求出△OCQ和△OPQ的面积，相减即可④t=4时，求出即可；

（3）有三种情况：

①OM=PM时，求出OP=2OQ，代入求出即可；②PM=OP时，此时不存在等腰三角形；③OM=OP时，过P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG=t﹣2