版 第1章 123 第2课时 直线与平面垂直.docx

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版第1章123第2课时直线与平面垂直

第2课时　直线与平面垂直

1．能正确判断直线与平面垂直的位置关系．（重点）

2．了解点到平面的距离和直线与平面间的距离．（难点）

3．理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理．（重点、难点）

4．了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念．（重点）

[基础·初探]

教材整理1　直线与平面垂直的定义

阅读教材P35～P36思考以上的部分，完成以下问题．

如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a与平面α互相垂直，符号表示：

a⊥α.直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．

图形表示：

图1－2－54

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.（×）

（2）若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．（×）

（3）若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b.（√）

（4）若l⊥平面ABCD，则l⊥BC.（√）

教材整理2　直线与平面垂直的判定

阅读教材P36～P37第5行，完成下列问题．

直线与平面垂直的判定定理

文字语言

图形语言

符号语言

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面

a⊥α

1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．

能判定直线与此平面垂直的有________．

【解析】　由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．

【答案】　①③

2．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的有________．

①l与平面α内的两条直线垂直；

②l与平面α内的无数条直线垂直；

③l与平面α内的某一条直线垂直；

④l与平面α内的任意一条直线垂直．

【解析】　由直线与平面垂直的定义及判定定理知④正确．

【答案】　④

教材整理3　直线与平面垂直的性质

阅读教材P37第8行～第13行，完成下列问题．

直线与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

⇒a∥b

已知α是平面，a，b是直线，且a∥b，a⊥平面α，则b与平面α的位置关系是________．

【解析】　由线面垂直的性质可知，若a∥b，a⊥α，则b⊥α.

【答案】　垂直

教材整理4　距离及直线与平面所成的角

阅读教材P36第13,14行及P38第4,5行和P39例3以上部分内容，完成下列问题．

1．距离

（1）点到平面的距离

从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．

（2）直线和平面的距离

一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．

2．直线与平面所成的角

平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：

如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝1，则点C到平面B1BDD1的距离为________，AB到平面A1B1CD的距离为________.

【导学号：

41292031】

【解析】　连结AC，则AC⊥BD，又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为

AC＝

，AB到平面A1B1CD距离等于A到该平面的距离，等于

.

【答案】　

2．如图1－2－55所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．

图1－2－55

【解析】　∵PA⊥平面ABC，

∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，

在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.

【答案】　45°

[小组合作型]

线面垂直判定定理的应用

　如图1－2－56所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：

AE⊥平面PBC.

图1－2－56

【精彩点拨】　只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可．

【自主解答】　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

又∵AB是⊙O的直径，

∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.

又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.

∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.

1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．

2．线线垂直与线面垂直的转化关系

线线垂直

线面垂直

[再练一题]

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：

EF⊥平面BB1O.

图1－2－57

【证明】　∵E，F分别是棱AB，BC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，

∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO，

又∵BB1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，

∴EF⊥BB1，

又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.

线面垂直性质定理的应用

　如图1－2－58，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：

EF∥BD1.

图1－2－58

【精彩点拨】　利用线面垂直的性质定理证明EF，BD1垂直于平面AB1C可得结论．

【自主解答】　

如图所示，

连结AB1，B1C，BD，B1D1，

∵DD1⊥平面ABCD，

AC⊂平面ABCD，

∴DD1⊥AC.

又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，

∴AC⊥平面BDD1B1，

又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.

同理可证BD1⊥B1C，

∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥AC，EF⊥A1D，

又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

空间中证明两条直线平行的方法：

（1）利用线线平行定义证两线无公共点；

（2）若a∥b，b∥c，则a∥c（公理4）；

（3）利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；

（4）若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）．

[再练一题]

2．如图1－2－59，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．

图1－2－59

（1）求证：

MN⊥CD；

（2）若∠PDA＝45°，求证：

MN⊥平面PCD.

【证明】　

（1）取PD中点E，又N为PC中点，连结NE，AE，

则NE∥CD，NE＝

CD.

又∵AM∥CD，AM＝

CD，

∴AM綊NE，∴四边形AMNE为平行四边形．

∴MN∥AE.

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴CD⊥PA.

又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面ADP.

∵AE⊂平面ADP，

∴CD⊥AE，

∴MN⊥CD.

（2）当∠PDA＝45°时，Rt△PAD为等腰直角三角形，则AE⊥PD.

又MN∥AE，

∴MN⊥PD，

由

（1）知MN⊥CD，PD∩CD＝D.

∴MN⊥平面PCD.

[探究共研型]

距离问题及直线与平面所成角的求法

探究1　如图1－2－60，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1.点B与D1到平面A1C1CA的距离分别是多少？

BC1到平面ADD1A1的距离是多少？

图1－2－60

【提示】　由题意知BD＝B1D1＝2

，B，D1到平面AC1的距离分别为

和

，都为

；BC1到平面AD1的距离等于AB的长，为2.

探究2　如图1－2－61，正方体ABCD－A1B1C1D1中，

图1－2－61

（1）直线BD1与平面AC及平面A1C1所成的角相等吗？

（2）A1B与平面A1B1CD所成的角是多少度？

【提示】

（1）因为平面AC与平面A1C1平行，所以BD1与两平面所成的角相等．

（2）A1B与平面A1C所成的角为30°，

连结BC1交B1C于点O，连结A1O.

设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，

所以A1B1⊥平面BCC1B1.

所以A1B1⊥BC1.

又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，

所以BC1⊥平面A1B1CD.

所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．

在Rt△A1BO中，A1B＝

a，BO＝

a，

所以BO＝

A1B，∠BA1O＝30°.

因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°.

　如图1－2－62所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．

图1－2－62

（1）求证：

MN⊥平面A1BC；

（2）求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．

【精彩点拨】　

（1）证明MN∥AC1，

（2）C1点在平面A1BC上的射影为A1C中点．

【自主解答】　

（1）证明：

如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，得BC⊥平面ACC1A1.

连结AC1，

则BC⊥AC1.

由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.

又BC∩A1C＝C，

所以AC1⊥平面A1BC.

因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点．

又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，

所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.

（2）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，

则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．

设AC＝BC＝CC1＝a，

则C1D＝

a，BC1＝

a.

在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝

＝

，所以∠C1BD＝30°，

故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.

求直线和平面所成角的步骤：

（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

（2）连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；

（3）把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．

[再练一题]

3．如图1－2－63，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F，G分别为CC1，DD1，AA1的中点．

图1－2－63

（1）求证：

A1F⊥平面BEF；

（2）求证：

GC1∥平面BEF；

（3）求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．

【解】　

（1）证明：

连结AF.

∵E，F分别为CC1，DD1的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形．又在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，

AB⊥平面AA1D1D，A1F⊂平面AA1D1D，

∴AB⊥A1F，∴EF⊥A1F.

由已知，得AF＝

，A1F＝

，AA1＝2，

∴A1F2＋AF2＝AA

，∴AF⊥A1F.

又AF∩EF＝F.

∴A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.

（2）证明：

∵G，F分别为AA1，DD1的中点，连结AE.

∴AG∥EC1且AG＝EC1，∴四边形AEC1G为平行四边形，∴AE∥GC1.

而AE⊂平面ABEF，GC1⊄平面ABEF，

∴GC1∥平面ABEF，即GC1∥平面BEF.

（3）∵A1F⊥平面BEF.

∴A1B在平面BEF上的射影为BF，

∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．

由已知，得A1F＝

，A1B＝

，∴sin∠A1BF＝

，

即A1B与平面BEF所成角的正弦值为

.

1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能______（填序号）．

①平行；②相交；③异面；④垂直．

【答案】　①

2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________．

【解析】　∵l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，∴l⊥平面ABC，

又∵AB⊂平面ABC，∴l⊥AB.

【答案】　垂直

3．在△ABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图1－2－64中直角三角形的个数为________．

图1－2－64

【解析】　∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，又BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB.综上可知，△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．

【答案】　4

4．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是______.

【导学号：

41292032】

【解析】A，B在α同一侧时P到α的距离为3，A，B在α异侧时P到α的距离为1.

【答案】　1或3

5．如图1－2－65，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，求PA与底面ABC所成角的大小．

图1－2－65

【解】　∵PA＝PB＝PC，∴P在底面的射影O是△ABC的外心．

又∠BAC＝90°，∴O在BC上且为BC的中点，

∴AO为PA在底面的射影，∠PAO即为所求的角．

在Rt△PAO中，PO＝

PB＝

PA.

∴sin∠PAO＝

＝

，∴∠PAO＝60°.