等腰三角形的证明习题集与答案解析学习资料.docx

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等腰三角形的证明习题集与答案解析学习资料

等腰三角形的证明习题集与答案解析

等腰三角形

一、选择题

1.如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）

（A）

（B）

（C）

（D）

2.如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：

①tan∠AEC=

;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是

A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm

二、填空题

1.边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.

2.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为.

3.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为．

4.已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º，则∠EGC的度数为

5.如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=_______.

6．如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。

7.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．

三、解答题

1.如图

（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G，H点，如图

（2）

（1）问：

始终与△AGC相似的三角形有及；

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图

（2）的情形说明理由）

（3）问：

当x为何值时，△AGH是等腰三角形.

2、如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．

（1）求证AD=AE；

（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

3.

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：

DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，

求证：

ME=BD．

4.如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

5.数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况•探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：

AE　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答題目

解：

题目中，AE与DB的大小关系是：

AE　　DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

等腰三角形答案

一、选择题BDD

二、填空题1、3√32、4或63、--------4、805、46、807、15

三、解答题

1.1（2011广东东莞，21，9分）【答案】解：

（1）△HAB，△HGA。

（2）∵△AGC∽△HAB，∴

，即

。

∴

。

又∵BC=

。

∴y关于x的函数关系式为

。

（3）①当∠GAH=45°是等腰三角形.的底角时，如图1，

可知

。

②当∠GAH=45°是等腰三角形.的顶角时,如图2，

在△HGA和△AGC中

∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=450，∴△HGA∽△AGC。

∵AG=AH，∴

∴当

或

时，△AGH是等腰三角形。

【考点】三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，几何问题列函数关系式，等腰三角形的判定。

【分析】

（1）在△AGC和△HAB中，

∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC，

∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=900+450—∠GAC，∴∠AGC=∠BAH。

又∵∠ACG=∠HBA=450，∴△AGC∽△HAB。

在△AGC和△HGA中，

∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=450—∠CAF，

∠H=1800-∠ACH—∠CAH=1800—1350—∠CAF=450—∠CAF，∴∠CAG=∠H。

又∵∠AGC=∠HGA，∴△AGC∽△HGA。

（2）利用△AGC∽△HAB得对应边的比即可得。

（3）考虑∠GAH是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。

2、（2011山东德州19,8分）

（1）证明：

在△ACD与△ABE中，

∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，∴△ACD≌△ABE．∴AD=AE．

（2）互相垂直在Rt△ADO与△AEO中，

∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO．

∴∠DAO=∠EAO．即OA是∠BAC的平分线．

又∵AB=AC，∴OA⊥BC．

3、（2011山东日照，23，10分）证明：

（1）在等腰直角△ABC中，

∵∠CAD=∠CBD=15o，∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，

∴∠DCA=∠DCB=45o．

由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，

∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC；

（2）如图，连接MC，∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．

又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，

∴∠EMC=∠ADC．

又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．

4、（2011湖北鄂州，18，7分）【解题思路】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，得BF=4，BE=3，再运用勾股定理求得EF=

5

【答案】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5

【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形全等的判定和性质和勾股定理。

只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，解决起来并不困难。

5、（2011•绍兴）考点：

全等三角形判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形判定与性质。

专题：

计算题；证明题；分类讨论。

分析：

（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；

（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；

（3）分为两种情况：

一是如上图在AB边上，在CB的延长线上，求出CD=3，二是在BC上求出CD=1，即可得到答案．

解答：

解：

（1）故答案为：

=．

（2）故答案为：

=．

证明：

在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，

∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，∴AE=AF=EF，∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，

∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECB，∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC，∴DB=EF，∴AE=BD．

（3）答：

CD的长是1或3．

点评：

本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．