大学高等数学各章节练习题.docx
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大学高等数学各章节练习题
、填空
1、设f（x）
0
第一章极限与连续
2、若数列
3、若lim
xx
1
1，
则数列
则ff（x）
4、当x
5、设函数
Xn收敛，
f（x）A，而lim
xx0
Xn一'疋。
g（x）不存在，则lim（f（x）g（x））
xx
0时，v'1ax21与cosx1为等价无穷小，则a
f（x）在点xX0处连续，则f（x）在点xX0处是否连续。
，则（X）的定义域为
6、设f（x）sinx,f（（x））1x2
2ax
sin2xe1
x
7、如果f（x）
）内连续，则a
x2
&曲线y
二选择
9、如果f（x）,g（x）都在x。
点处间断，那么（
（A）f（x）g（x）在X。
点处间断
（C）f（x）g（x）在X0点处连续
10、设数列Xn与yn满足limXnyn
n
（A）若Xn发散，则yn必发散。
的渐近方程为
）
g（x）在X。
点处间断
g（x）在X。
点处可能连续。
）
（B）f（x）
（D）f（x）
0，则下列断言正确的是（
（C）若Xn有界，则yn必为无穷小（
（B）若Xn无界，则yn必有界
1
D）若为无穷小，则yn必为无穷小。
Xn
11、已知
（A
（C
f（x）
lim0,且f（0）
x0x
f（x）在x0处不连续。
f（x）不存在。
12、设f（x）
2xx
4x3x
，则
1，那么（）
（B）f（x）在x
（D）limf（x）
x0
f（X）为（—）
（A）2
13、设f（x）
1
3
（x1）sinx
（B）
（C）
那么x0是函数的（
0处连续。
1
（D）不存在
（C）跳跃间断点。
（D）可去间断点
14、
lim（
2
2L2）15
、lim
n
n
1
n2nn
n
a
X
a
16、
lim
（a0）17
、lim
x0
X
X
18、
lim
（d
X
1）sinx19
、lim
第二类间断点。
（B）
x
x
5n
8n5
arctanx
x01cosx
（X21）x'
（A）无穷间断点。
三、完成下列各题
ln（12x）ln（12）
x
xtan
（1）xsin』）
20、
lim
x
2
x
21
、limcosx曲
x
1
x0
ex1
22
、lim1
、cosx
x0x（1
cos、x）
1
—lnf
（1）f
（2）Lf（n）
23、
设f（x）
x
aa
0,a1
，求lim
n
n
24、
2
右lim2
axb
2，求a,
b的值。
x2x2
x2
1x…》
25、设f（x）lim丄笃，讨论f（x）在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。
n1xn
1
26、设函数f（x）bx在（，）内连续，且limf（x）0
a|a|ex
（1）试确定a,b的正负号。
（2）求limf（x）的值
x
X2
xax
27、已知lim9，求a。
28、已知limaxb0,求a,b。
xxaxx1
第二章导数与微分
一、选择填空
1、函数f（x）xx（x23x2）（x2）3有（）个不可导点。
（A）
1
（B）
2
（03
2、设
f（x）
x（x
1）（x
2）
（x
（A）
20
05
（B）
200,
4!
k
:
.1
0
3、设
f（x）
x
sin
x
x
0
x
0
（A）
4、设
k0时连续（B）k
（D4
2005），则口0）（）
（C）2005!
（D）2004!
，在x0点处，下面叙述错误的是（）
（A）
f（x）在x1点处可导，且f
（1）f（cosxtan2x）lim
x0
（C）
2
x
f（1sinx）f（13sinx）lim
x0
1时连续不可导（C）k1时可导（D）k2时导函数连续
0,下列等式不等于f/
（1）的是
2f（cosx）
lim2
x0x2
2
..f（1x）
lim2
x0x2
（B）
4（ex1）
1f/（X0），贝yx0时，该函数在
2
（A）是x的高阶无穷小（B）
（C）是x的等价无穷小（D）
6、设f（x）在xx°处可导，g（x）都在x
（A）f（x）g（x）在xx°处不可导（B）
5、设
（D）
x°处的微分dy（）
x的低阶无穷小
x的同阶阶无穷小
是
是
X。
处不可导，则叙述错误的是（
f（x）g（x）在xx°处不可导
X0处不一定不可导
（C）f（x）g（x）在xx°处不可导（D）f（x）g（x）在x
7、下面叙述错误的是（）。
（A）f（x）在xx0处可导，则f（x）在xx0处有切线。
（B）
（C）
（D）
f（x）在x
f（x）在x
f（x）在x
&质点沿曲线运动,
/秒的速率增加，
（A）5（B）
3
二、填空
则在
3
5
X0处不可导，则f（x）在xX0处就没有切线。
X。
处导数为无穷大，则f（x）在xX。
处有切线。
X。
处左右导数存在不相等，则f（x）在xX°处就没有切线。
曲线在点M（x,y）处的切线斜率为1/3,在点M处质点的横坐标以M点处质点的纵坐标的变化速率是（）单位/秒
15
（C）（D）
153
x
9、曲线
3t在t2处的切线方程为
10、
11、
12、
13、
14、
y
已知f（x）任意阶可导，且f/（x）f2（x），则f⑴（x）
设曲线f（x）xn在点（1,1）处的切线与X轴的交点为（Un,0），则limf（Un）n
xeX，则f（n）（0）
xy，则dy_
f红工,f/（x）
3x2
设f（x）设tany
已知y
arctanx2,则dy
dx
15、
—，贝ydsincosx
2
完成下列各题：
dcosx
16、
18、
求
ln3x2，求
ln（x.x2
17
、设y
20、
22、
x2
（x
1）
x
，求y
1
x2
21
19、设
、设y
1）arctan2
x
2x
dy
dx
丄x1亠arctan，求
x1
arcsinx
yTT7，求
f（ex）ef（x），求
tet
ety
dy
，求——
dx
2
xax
2-
（X1）sin,x
x1
设f（x）,g（x）的定义域为R,x,y恒有f（xy）
f（y）g（x）,f（0）0,g（0）1,f/（0）1,g/（0）0,求f'（x）。
26、设设函数f（x）
23、
24、
25、
x
t
ye
确定a,b使f（x）
b,
1
处处可导。
1
f（x）g（y）
-/
有连续的导
函数，且在f（0）0,f/（0）2
f（x）3sinx
F（x）X,X
a,x
0连续，求a。
27、已知yy（x）由yxey1所确定，求
d2y
dx2
28、
讨论f（x）
0
，在x0点处的可导性。
29、
30、
31、
求曲线已知y
设y
sin
f（x2
3
y
4x
（x1）cosycos4x，求y
（y）），其中f,
9在x1处的切线与法线。
（n）
可微，求dy
1、
3、
填空：
35x
lim-
x1tanx
tanxxlim
x0xsinx
332"
第三章
中值定理与导数应用
、函数y
函数f（x）12x3x22x3的极小值是
、选择：
23
6、设y（x1）（x2），则（
（A）x=1是该函数的极小值点
（C）x7是该函数的极小值点
5
7、设函数f（x）x3ax2
（A）a=-4,b=1（B）a=4,b=-7
f（x）f（a）&设lim2-l
xa（xa）
（A）f（x）可导，且『（x）
（C）f（x）取得极大值
9、不等式ex
（A）（,0）
5、
cos3xln（1x2）
3c2亠
x3x在
）
（B）x=2是该函数的极大值点
（D）x=1是该函数所表示曲线的拐点横坐标
bx在x=1处有极小值-2，则必（
（C）a=0,b=-3
（D）a=b=1
单减.
1，则在点
a处（）
0（B）
（D）
1x成立的范围是（
（B）（0,）
f（x）取得极大值
f（x）不可导
10、在区间（
（A）无实根
（C）有且仅有两个实根三、完成下列各题：
）内，方程
（C）
1
4
x
（B）
（D）
）
0）
1
2
（0,
13、求
14、求
f（X）
2
yx
3
）tanx
2
x3x在［1，
33x2
4x
12
15、若
f（x）,g（x）在［a,b］
16、设
f（x）可导，求证
cosx
有且仅有-
0（
个实根
有无限多个实根
、lim（2sinx
x0
3］上的最大值与最小值。
5的单调区间，凹凸区间与极值。
1
COSX）x
可导且g/（x）0,试证存在（a,b）使
f（a）f（）f/（）.
g（）g（b）g/（）
f（x）的两个零点之间一定有f（x）f/（x）的零点.
17、设f（x）在［0,1］连续，在（0,1）内可导，且f⑴0，又limf（x）2，求证：
存在（0,1）
X0x
使f/（）0。
18、已知当x0时，f（x）
19、求证：
当x1时，arctanx
1ax
是x的三阶无穷小，求常数
1bx
12xarccos2
21x
第四章
a,b。
4
不定积分
一、选择与填空
1、下列等式错误的是
（A）
（C）
2、若
f/（x）dxf（x）C
—f（x）dxdx
f（x）连续，则
f（x）
（B）
（D）
df（x）
f（x）
df（x）dxf（x）dx
（A）f（x）（B）
3、设
（A）当
f（x）是连续函数,f（x）是奇函数时,
d（f（x）dx）
f（x）C
F（x）是f（x）的原函数，则
F（x）必是偶函数（B）当f（x）是偶函数时,
（
（C）
）
f（x）dx（D）f（x）dx
F（x）必是奇函数
（C）当
数
f（x）是周期函数时,
F（x）必是周期函数（D）单调增加函数时,
F（x）必是单调增函
4、
3
x.
（nrdx
5、
设f（sin2x）,贝则f（x）dx
sinxJ1x
6、已知xf（x）dxarcsinxC，则
dx
f（x）
二、完成下列各题
2
Jrdx
2x
7、
9、
22
sin2xsin3xdx
10
11、
tan3xsecxdx
12
.3
sinxcosx,
2dx
1cosx
1
22dx
（x1）2（x2）2
（tan7xtan5x）dx
13、
3
cosx」
5dxsinx
14
exarctanexdx
15、
e2x1dx
16
xln（1x）,dx
2
x
3
x成正比，并通过点A（1,6）和B（2,-9），求该曲线
若曲线上点（x,y）的方程。
18、设f（x）的原函数F（x）>0,且F（0）=1.当x0时，有f（x）F（x）sin22x,试求f（x）
2
52x
19、设f（x1）In—2，且f[g（x）]Inx,求g（x）dx
x2
17、
处的切线斜率与
1
2cosx
20、
dx
1
cos2x
第五章定积分
一选择填空
b
1已知I1xdx，I2
a
bxb
dx，I3ln（1
a1xa
x）dx（ba0），则（
（A）I2I3I1（B）
11I3I2（C）I3
I1I2（D）11I2
2下列等式错误的是（
）
（A）f/（x）dxf（x）
C（B）df（x）
f（x）
）
I3
pl
（C）一f（x）dxf（x）（Ddf（x）dxf（x）dx
dx
db
3设f（x）为连续函数，那么—f（xt）dt（）dxa
（A）
f（x
b）
f（xa）
（B）
f（xb）
f（xa）
（C）
f（x
b）
f（a）
（D
f（b）f（
xa）
4已知
f（x）
13
1
f（x）（
1
p|V贝【1
f（x）dx
T（x）
1
2x
x
0f（x丿,
ux?
贝u
0
1（x）dx
（A）
—
（B）
—
（C）
—
（D
——
2
3
3
2
3
5设f
（x）为:
连续函数，且
x
x
0
f（x）dx,
则f（7）
（）
（A）
1
（B
）1
（C）
1
（D）
1
12
3
12
3
6已知
x
0f（:
x）dx
ln（1x
2）,则f
（x）（
）
（A）
1
2
（B）-
x
.2
（C）
2x
.2
（D）2x
2、22
1x1x1x
二填空
1
7、已知f（x）x2f（x）dx,贝Vf（x）；
o
8I2（x2sin3x）sinxdx;
2
9、设f（x）lntdt（x0）,贝》f（x）f（丄）=；
11tx
3
x
10、lim;
x0X
o（1cost）dt
11、设x1,求：
（1t）dt；
1x1
12、已知f（）,x0，贝Uf（x）dx；
x1x0
sinx
13、已知当x0时，1cosx与0ln（1at）dt为等价无穷小，则a
完成下列各题
一、填空与选择
OM=
1、已知点A（3,2,1）和点B（7,2,3），取点M使AM2MB，则向量
2已知点A（012）和点B（1,1,0），则AB0=。
3、设向量a与三个坐标面的夹角分别为，，，则cos2cos2cos2=
L2:
0
0，则L1与L2的夹角为（）
（A）.—
（B）.—
（C）.
（D）
6
4
3
2
9、平面Ax
By
CzD
0过x轴，
则（）
（A）AD
0
（B）B
0,C0
（C）B0,C0（D）BC0
10、平面3x
5z
10（
）
（A）平行于zox平面（B）平行于y轴（C）垂直于y轴（D）垂直于x轴
11、点M（1,2,1）到平面x2y2z100的距离为（）
1
（A）1（B）1（C）—1（D）-
3
12、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为。
13、过点（1,2,1）与向量S；i2j3k,S；jk平行的平面方程为。
14、平面19x4y8z210和19x4y8z420之间的距离等于？
?
?
?
?
？
。
15、过点（0,2,4）且与平面x2z1及y3z2都平行的直线方程为。
x2y4z70
16、过点（2,0,3）并与垂直的平面的方程为？
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
？
。
3x5y2z10
二、完成下列各题
1、设OCa13b,OB2a8b,0C（ab）与b是不平行的非零向量，求的值，使
三点在同一直线上。
2、已知不平行的两向量
3、设点为矢量的起点，
（1）与轴的夹角；
a和b，求它们的夹角平分线上的单位向量。
AB10,AB与轴、轴的夹角分别为，试求:
4、求与向量共线且满足的向量。
注平面过轴，且与平面成的角，求它的方程。
3,2），且垂直于平面4xy2z8的平面方程。
x1
3
5、若
6、求过原点及点（6,
（2）点的坐标。
5、函数f（x,y）在P（x,y）点沿向量
（A）{0,—1}（B）{—1,0}
6、zf（x,y）在（Xo,y。
）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又（Xo,y。
）是驻
点，令fxx（Xo,y。
）A、fxy（Xo,yo）B、
fyy（Xo,yo）C,则f（x,y）在（Xo,yo）处取得极值的条件为（）
（A）B2AC0（B）
（C）B2AC0（D）
7、梯度的方向是方向导数取得（
B2AC0
A、B、C任何关系。
）的方向，梯度的模是方向导数的最大值
（A）
fx
0且fy
0（B）
fxy连续
（C）
fyX连续（D）fxy与fyx都连续
9、设z
z（x,y）由方程F（xaz,y
bz）0所确定，其中
F（u,v）可微，a,b为常数，则
必有
（
）
（A）
z
z
1
z
z
a-
b-
（B）
ba-
1
X
y
X
y
（C）
z
z
1
z
z’
a-
b-
（D）
ba-
1
X
y
X
y
-二二
填空
10、
已知
f（x
y,xy）
2
xyx
，则
f（x,y）
（A）极大值（B）最小值（C）
最大值（D）极小值
&二元函数的二阶混合偏导数相等的充分条件是（）
11、已知A一ay）'2yj为某一二元函数的梯度，则a
（xy）2—
22
12、已知zIn寸xy，则在点（2,1）处的全微分dz
13、曲面zez2xy3在点（1,2,0）处的切平面方程为。
2
14、设函数zz（x,y）由方程xzyarctany0所确定，则一z。
xy
15、由方程xyzx2y2z20所确定的隐函数zz（x,y）在点M（1,0,1）处的全微
分。
16、若f（x）2x2xy2ax2y在点（1,1）处取得极值，则a
17、设F（u,v,w）是可微函数，且Fu（2,2,2,）Fw（2,2,2,）3，Fv（2,2,2,）6。
曲面
F（xy,y乙zx）
4x29y2
z0
0通过1,1,1点，则过这点的法线方程是
72绕y轴旋转一周而得到的旋转面在点
位法向量为
三
完成下列各题
2
xy
2X
2
y
0
当（x,y）
19、
证明函数f（x）
24
xy
（0,0）时极限不存在。
0
2X
2
y
0
20、
设zsin（X2
yeu）,uxy
求-
z
—21、设z
arctany，求dz
X
y
xy
22、设zf（axby）,f可导，证明：
b~a~
xy
2yz
23、设zf（x2y丄）xg（xy）,f具有二阶连续偏导数，g二阶可导，求一
xxy
24、已知隐函数zz（x,y）由方程G（xy,yz,zx）0所确定，且G（u,v,w）具有一阶连续
偏导，g2xg?
25、
26、
少？
求曲面
函数U
22
xy
ln（x
0，求-z
x
29
zx3在点（1,1,1）处的切平面方程。
z）在点M（1,2,2）处沿那个方向的方向导数最大？
其值为多
22
yz
2
y
27、
已知f（x,y）
xye0
t2
dt，
28、
29、
30、
求函数求球面求由x
z
2x
2
2
x
2
y
10y2
xy
2
z
2
z
求证U
yx
xy1的极值.
y2f
22
2exy
选择填空
2
y
25到平面3x4y5z60的最长与最短距离。
6xy
2yz180所确定隐函数zz（x,y）的极值.
第九、
十章多元函数积分学
I1（xy）3dxdy与I2
D
（xy）2dxdy，其中
D
22
D：
x2）（y1）2的大小关系为：
（）
（A）丨112（B）
h12（C）I1I2（D）无法判断
2、已知
f（u）为连续函数，则
1
dx
f（x2
y2）dy=
（A）7d
0
tan
sec
tan
sec
rf（r2）dr
（B）
tan2
（C）-
4
2
rf（r）dr
80
tansec
sec2
rf（r）dr
（D）
3、区域
D1D2,D1:
1
、x
（A）
（B）
D2：
80
2
、、x
rf（r）dr
4
按Y型区域应为（
2
（C）
）
（D）
1
、x
4、已知D:
x
0,y0,xy
1,
（x
y）d
J
（x
D1
y）d
，则（
）
（A
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