圆心角和圆周角.docx
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圆心角和圆周角
学员：
----------------教师------------------日期---------------------辅导时段-------------
学思教育学科导学案教研主任签字：
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课题
圆心角和圆周角
学习目标
1、掌握弧、弦、圆心角的关系
2、理解并掌握圆心角和圆周角的关系，应用直径所对的圆周角为直角
3、涉及圆心角和圆周角的题型有清晰的认识
重点、难点
圆心角和圆周角的关系的理解和灵活运用
1、热身练习
1.下列说法正确的是（）
A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆
C．弦的垂线必过圆心D．平分弦的直径垂直于弦
2．已知⊙O的直径为10，圆心O到弦的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）
A．4B．6C．7D．8
3、边长为2的等边三角形的外接圆半径长为（）
A.1B.
C.
D.
4、若一个直角三角形的两条边分别为3cm和5cm，则此直角三角形的外接圆半径为.
5.、如图，这是一个残破的轮片，量得AB=80cm，弧AB的中点C到AB的距离是20cm，则这个残破的轮片所在圆的半径是cm．
6、已知⊙O的半径为3,OA=1,则过A点的最短的弦长为___________
7、直角坐标系中，圆心O′的坐标是（2，0），半径是4，则点P（-2，1）在⊙O′（“内”“外”“上”）
8、如图，⊙O中，弦AB=8，C为
中点，CD⊥AB于D，若CD=2，求⊙O的半径。
2、回顾所学，强化旧知
1、圆心角
1）、圆心角：
顶点在圆心的角叫做圆心角．
2）1°圆心角所对的弧叫做1°的弧．n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．
2、圆心角的性质
性质1：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．
性质2：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．
如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：
①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③
；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：
若①成立
②，③，④成立；若②成立
①，③，④成立；
若③成立
①，②，④成立；若④成立
①，②，③成立．
特别强调：
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．
（2）若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．
3.圆周角
（1）圆周角：
顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．
（2）圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
推论1：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论2：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．
4、重要结论：
（1）圆的内接四边形对角互补
（2）圆的内接四边形外角等于其内对角
三、典型例题讲解
例1、判断题：
（1）相等的圆心角所对的弧相等（）；
（2）等弦对等弧（）；
（3）等弧对等弦（）；（4）长度相等的两条弧是等弧（）；
（5）平分弦的直径垂直于弦（）。
例2、如上右图，⊙O中，∠AOB=100º，则AB弧的度数为______，AnB弧的度数为______。
例3.如图，⊙O中，AB弧的度数等于100º，那么∠ACB的度数是多少？
由此你得到什么结论？
试证明你的结论。
例4、⊙O中，弦AB所对的圆心角有_______个，所对的圆周角有______个，因此能不能说“一条弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍”？
为什么？
【练习】
1、80º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、下列命题中是真命题的是（）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120º的弧所对的圆周角是60º
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32º，则∠BOC=________。
第3题图
第4题图
4、如图，⊙O中，∠ACB=130º，则∠AOB=______。
5、如图，在⊙O中，∠A=40º，则∠BOC=___，∠BDC=___。
例5、已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数．
例6.条弦分圆为1：
4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？
【练习】
1.在⊙O中，弦AB把⊙O分为度数比为
的两条弧，则
所对的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 、 、
中有一组是相等，那么，所对应的其余各组量都分别相等．
例7.如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
例8.一条弧所对的圆周角为80°，它所对的圆心角是____度，它所含的圆周角是____度．
【练习】
1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝130°，
则∠BOD的度数是__________．
2.一条弧所对的圆周角为80°，它所对的圆心角是____度，它所含的圆周角是____度．
例9.如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，
求BC、AD和BD的长．
课堂练习：
1.同弧所对的圆心角的度数是它所对圆周角度数的_____倍．
2.下图所示的角中，圆周角是（ ）
3.如右图，已知圆心角∠AOB=120°，则圆周角∠ACB的度数是（ ）
A．60°B．100°C．120°D．80°
4.如图，AB是⊙O的直径，∠C＝30°．则∠ABD等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5..如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝140°，
则∠BCD等于（ ）
A．140°B．110°C．70°D．20°
6．若圆的一条弦把圆分成度数的比为1∶3的两条弧，
则劣弧所对的圆周角等于（ ）
A．45°B．90°C．135°D．270°
7.如图，在⊙O中，弦BC//半径OA，AC与OB相交于M，
∠C=20°，则∠AMB的度数为（ ）
A．30°B．60°C．50°D．40°
8.如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的长．
9、如图，AB为⊙O的弦，在⊙O的上找到点C，使得△ABC是等腰三角形，用直尺和圆规找出所有满足条件的C点，保留作图痕迹，不写作法.
10、如图，AB和CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，AB=2，∠EAB=150，AE、DB的延长线交于点F，求：
（1）求∠FAD的度数；
（2）△ADF的面积．
（第10题）
11.（8分）如图，CD是⊙O的直径，A为DC的延长线上一点，点E在⊙O上，∠EOD=81°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数．
课后作业
1、下列说法正确的是（）
A圆周角的度数等于所对弧的度数的一半
B圆是中心对称图形，也是轴对称图形
C垂直于直径的弦必被直径平分
D劣弧是大于半圆的弧
2、在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，AB=8，AC=6，则⊙O的半径为（）
A4B5C8D10
3、同圆中两条弦长为10和12，它们的弦心距为m和n，则（）
Am＞nBm＜nCm＝nDm、n的大小无法确定
4、平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆n个，则n的值不可能为（）
A4B3C2D1
第5题第6题
5、如图，AB、CD为⊙O直径，则下列判断正确的是（）
AAD、BC一定平行且相等
BAD、BC一定平行但不一定相等
CAD、BC一定相等但不一定平行
DAD、BC不一定平行也不一定相等
6、点P为⊙O内一点，且OP＝4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（）
A
B12C8D10.5
二、填空
7．一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角为________
8．如图所示，已知AB、CD是⊙O的两条直径，弦DE∥AB，
∠DOE=70°则∠BOD=___________
9．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，则∠ACD=___________
10．D、C是以AB为直径的半圆弧上两点，若弧BC所对的圆周角为25°弧AD所对的圆周角为35°，则弧DC所对的圆周角为_____度
11．如图所示，在⊙O中，A、B、C三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=__________
12．如图所示，CD是圆的直径，O是圆心，E是圆上一点且
∠EOD=45°，A是DC延长线上一点，AE交圆于B，如果AB=OC，则∠EAD=____________
三、解答题
13.已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点。
求证：
MC=NC
14．如图所示，已知：
AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，
求证：
CE=BE
☆15．如图所示，△ABC为圆内接三角形，AB＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：
BE=CF
☆16．如图所示，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°
（1）求证△BDE是等边三角形；
（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。
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