版高考数学一轮复习第十四章推理与证明.docx

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第十四章　推理与证明

题组1　合情推理与演绎推理

1.[2016北京,8,5分][文]某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.

学生序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

立定跳远（单位:

米）

1.96

1.92

1.82

1.80

1.78

1.76

1.74

1.72

1.68

1.60

30秒跳绳（单位:

次）

63

a

75

60

63

72

70

a-1

b

65

在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则（　　）

A.2号学生进入30秒跳绳决赛

B.5号学生进入30秒跳绳决赛

C.8号学生进入30秒跳绳决赛

D.9号学生进入30秒跳绳决赛

2.[2017北京,14,5分][文]某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:

（i）男学生人数多于女学生人数;

（ii）女学生人数多于教师人数;

（iii）教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为　　　　. 

②该小组人数的最小值为　　　　. 

3.[2016山东,12,5分][文]观察下列等式:

（sin）-2+（sin）-2=×1×2;

（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2=×2×3;

（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+（sin）-2=×3×4;

（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+（sin）-2=×4×5;

……

照此规律,（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+（sin）-2=　　　　　　　　　　. 

4.[2015陕西,16,5分][文]观察下列等式

1-=

1-+-=+

1-+-+-=++

……

据此规律,第n个等式可为　　　　　　　　　. 

5.[2014新课标全国Ⅰ,14,5分][文]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,

甲说:

我去过的城市比乙多,但没去过B城市;

乙说:

我没去过C城市;

丙说:

我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为　　　　. 

6.[2014福建,15,4分]若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:

①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组（a,b,c,d）的个数是　　　. 

7.[2014安徽,12,5分][文]如图14-1,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=　　　. 

图14-1

8.[2014陕西,14,5分][文]已知f（x）=,x≥0,若f1（x）=f（x）,fn+1（x）=f（fn（x））,n∈N+,则f2014（x）的表达式为　　　. 

9.[2013湖北,17,5分][文]在平面直角坐标系中,若点P（x,y）的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图14-2中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.

图14-2

（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是　　　　; 

（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=　　　　（用数值作答）. 

题组2　直接证明与间接证明

10.[2017北京,20,13分]设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}

（n=1,2,3,…）,其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数.

（Ⅰ）若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列;

（Ⅱ）证明:

或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.

11.[2016浙江,20,15分][文]设函数f（x）=x3+,x∈[0,1].证明:

（Ⅰ）f（x）≥1-x+x2;

（Ⅱ）

12.[2013北京,20,13分]已知{an}是由非负整数组成的无穷数列.该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.

（Ⅰ）若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*,an+4=an）,写出d1,d2,d3,d4的值;

（Ⅱ）设d是非负整数.证明:

dn=-d（n=1,2,3,…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列;

（Ⅲ）证明:

若a1=2,dn=1（n=1,2,3,…）,则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.

A组基础题

1.[2018郑州一中高三入学测试,12]数学上称函数y=kx+b（k,b∈R,k≠0）为线性函数.对于非线性可导函数f（x）,在点x0附近一点x的函数值f（x）,可以用如下方法求其近似代替值:

f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x-x0）.利用这一方法,m=的近似代替值（　　）

A.大于mB.小于mC.等于mD.与m的大小关系无法确定

2.[2018吉林百校联盟联考,5]甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:

丙被录用了;乙说:

甲被录用了;丙说:

我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是（　　）

A.丙被录用了B.乙被录用了

C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了

3.[2017南昌市三模,4]已知13+23=（）2,13+23+33=（）2,13+23+33+43=（）2,…,若13+23+33+43+…+n3=3025,则n=（　　）

A.8B.9C.10D.11

4.[2017长春市高三第二次质量监测,14]将1,2,3,4,…这样的正整数按如图14-3所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为　　　　. 

图14-3

5.[2017甘肃兰州高考实战模拟,14]观察下列式子:

1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推测出一个一般性结论:

对于n∈N*,则1+2+…+n+…+2+1=　　　　. 

6.[2017郑州市高三第三次质量预测,13][数学文化题]中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:

表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6613用算筹表示就是

则5288用算筹可表示为　　　　. 

B组提升题

7.[2017长沙市五月模拟,7]某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步,每52秒跑完一圈,在学生A开始跑步时,在教室内有一个学生B,往操场看了一次,以后每50秒他都往操场看一次,则该学生B“感觉”到学生A的运动是（　　）

A.逆时针方向匀速前跑

B.顺时针方向匀速前跑

C.顺时针方向匀速后退

D.静止不动

8.[2017沈阳市高三三模,9][数学文化题]“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是（　　）

2017　2016　2015　2014……6　5　4　3　2　1

　4033　4031　4029……………11　9　7　5　3

　　8064　8060……………………20　16　12　8

　　　16124…………………………36　28　20

　　　　　　…………………………

A.2017×22016B.2018×22015

C.2017×22015D.2018×22016

9.[2018山东省东明一中模拟,15]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为,记第n个k边形数为N（n,k）（k≥3）,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:

三角形数:

N（n,3）=n2+n;正方形数:

N（n,4）=n2;五边形数:

N（n,5）=n2-n;六边形数:

N（n,6）=2n2-n,…,由此推测N（8,8）=　　　　. 

10.[2017长春市高三第四次质量监测,16]有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m月n日,张老师把m告诉了甲,把n告诉了乙,然后张老师列出来如下10个日期供选择:

2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:

“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:

“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:

“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是　　　　. 

答案

1.B　由数据可知,进入立定跳远决赛的8人为1~8号,所以进入30

秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生.数据排序后可知3号,6号,7号必定进入30秒跳绳决赛,则得分为63,a,60,63,a-1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛.若1号,5号学生未进入30秒跳绳决赛,则4号学生就会进入决赛,与事实矛盾,所以1号,5号学生必进入30秒跳绳决赛.故选B.

2.6　12　令男学生、女学生、教师人数分别为x,y,z,且x>y>z,①若教师人数为4,则4

3.n（n+1）　根据已知,归纳可得结果为n（n+1）.

4.1-+-+…+-=++…+　观察所给等式的左右两边可以归纳出1-+-+…+-=++…+.

5.A　根据甲和丙的回答推测乙没去过B城市,又知乙没去过C城市,故乙去过A城市.

6.6　因为①正确,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为（2,3,1,4）,（3,2,1,4）;若只有③正确,①②④都不正确,则符合条件的有序数组为（3,1,2,4）;若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为（2,1,4,3）,（3,1,4,2）,（4,1,3,2）.综上,符合条件的有序数组的个数是6.

7.　解法一　直接递推归纳:

等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,A1A2=a3=1,…,A5A6=a7=a1×（）6=.

解法二　求通项:

等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2,所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,…,An-1An=an+1=