湖南高考数学理科高考试题word版附答案.docx
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湖南高考数学理科高考试题word版附答案
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1•答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2•回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
要求的。
D•、、2
某地区经过一年的新农村建设,
农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经
济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:
则下面结论中不正确的是
A•新农村建设后，种植收入减少
B・新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C・新农村建设后，养殖收入增加了一倍
7.
D•新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
设Sn为等差数列
A•12
设函数f（x）
A•y2x
在△ABC中,
an的前n项和，若3S3S2S4,a12，则a5
B•10
C•10
D•12
（a1）x2ax，若f（x）为奇函数，则曲线yf（x）在点（0,0）处的切线方程为
C•y2x
AD为BC边上的中线，E为AD的中点，贝UEB
3uuu1uuurA•ABAC
44
1uuur3uuurB•ABAC44
3uuuC•一AB
4
1uuur
AC4
1uuu
D•一AB
4
3uuur
AC
4
某圆柱的高为2,底面周长为16，其三视图如图•圆柱表面上的点
M在正视图上的对应点为
A，圆柱
表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M
到N的路径中，最短路径的长度为
A•2.17
B•
2.5
C•
3
D•2
2
uuuu
设抛物线c：
y
■=4x的焦点为F,
过点（—,
0）且斜率为一
的直线与C交于M,
N两点，贝UFM
3
A•5
B•
6
C•
7
D•8
x
e,x0,
已知函数f（x）
g（x）f（x）
xa•若g
（x）存在2个零点，则
a的取值范围是
lnx,x0,
A•[-,0）
B•
[0,+m）
C•
[-,+m）
D•[1,+〜
8•
9•
10•下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形•此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
uuurFN=
直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为
II,
其余部分记为III•在整个图形中随机取一点，此点取自I,H,III的概率分别记为P1,P2,P3,则
A.
P1=P2
B•p1=p3
11.已知双曲线C:
—y21,O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点
3
分别为M、N.若厶OMN为直角三角形，则|MN|=
A.3
2
B.3
C.2.3
D.4
12.已知正方体的棱长为
1,每条棱所在直线与平面
a所成的角相等，
则a截此正方体所得截面面积的最大
值为
A.兰
B.二
C.口
D.二
4
3
4
2
、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
x2y20
13•若x，y满足约束条件xy10，则z3x2y的最大值为.
y0
14•记Sn为数列an的前n项和，若Sn2a.1，则Q.
15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有
种.（用数字填写答案）
16.已知函数fx2sinxsin2x，则fx的最小值是.
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
60分。
17.（12分）
在平面四边形ABCD中，ADC90°,A45o,AB2,BD5.
（1）求cosADB；
（2）若DC22，求BC.
18.（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.
（1）证明：
平面PEF平面ABFD;
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值•
19.（12分）
2
X2
设椭圆C:
y21的右焦点为F，过F的直线丨与C交于代B两点，点M的坐标为（2,0）.
2
（1）当丨与x轴垂直时，求直线AM的方程;
（2）设O为坐标原点，证明：
OMAOMB.
20.（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱
200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不
合格品，则更换为合格品•检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余
下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0p1），且各件产品是否为不合格品相
互独立.学科&网
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）,求f（p）的最大值点p0.
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费
用.学科网
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21.（12分）
1
已知函数f（x）xaInx.
x
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x-|,x2，证明:
fx2
%x2
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选修4坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2•以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线C2的极坐标方程为
2cos30.
（1）
求C2的直角坐标方程；
参考答案:
（2）若C!
与C2有且仅有三个公共点，求G的方程.
23.［选修4—
不等式选讲］（10分）
已知
f（x）
|x1||ax
1|.
（1）
当a
1时，求不等式
f（x）
1的解集；
（2）
若x
（0,1）时不等式
f（x）
x成立，求a的取值范围
由题设知，52，所以sinADB2
sin45sinADB5
由题设知，ADB90，所以cosADBt1223.
丫255
（2）由题设及
（1）知，cosBDCsinADB
在厶BCD中，由余弦定理得
2
5
25.
所以BC5.
18.（12分）
解：
（1）由已知可得，BF丄PF,BF丄EF，所以BF丄平面PEF.
又BF平面ABFD，所以平面PEF丄平面ABFD.
（2）作PH丄EF，垂足为比由
（1）得，PH丄平面ABFD.
uuiruuu
xyz.
以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H
可得PH-^,EH
2
uuuuuur3
HPDP4
-uturuuur|IHPIIDPI.3
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为
19.（12分）
解：
（1）由已知得F（1,0）,l的方程为x=1.
由已知可得，点
）.
A的坐标为（1,
一2
所以AM的方程为y—x\2或y—X2.
22
（2）当I与x轴重合时，OMAOMB0.
20.
（12分）
f（P）
218217217
C20【2p（1p）18p（1p）]2C20P（1p）（110p）.
令f（p）0,得p0.1.当p（0,0.1）时，f（p）0;当p（0.1,1）时，f（p）0.
所以f（p）的最大值点为p00.1.
（2）由
（1）知，p0.1.
（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y:
B（180,0.1），X20225Y，
即X4025Y.
所以EXE（4025Y）4025EY490.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为
400元.
由于EX400，故应该对余下的产品作检验
21.（12分）
解:
（1）f（x）的定义域为
（0,），f（x）
X2
ax1
-2
x
（i）若a
2，则f（x）
0,当且仅当a
（x）0,所以f（x）在（0,）单调递减.
（ii）
2，令f（x）
0得，x---或x
2
aa24
2
（0,a
■^）U（
2
）时，f（x）
a、；a24a；a24、
（^^,^^）时,
f（x）0.所以
f（x）在（0,
a；a24、，aa24
2
）,（
调递减，在（jp,jp）单调递增.
（2）由
（1）知，f（x）存在两个极值点当且仅当a2.
由于f（x）的两个极值点x1,x2满足x2ax
0，所以XM1，
不妨设
X1X2，则X2
1•由于
f（xjf（X2）
所以
X|x2
x1x2
lnx1lnx2
1a
x1x2
lnx1lnx2
2a12
X1x2
2lnx2
X2
X2
f（x1）f（X2）
X1x2
1
2等价于—x2
X2
2lnx20.
1
设函数g（x）—
X
2山乂，由
（1）知，g（x）在（0,）单调递减，又g
（1）0,从而当
x（1,）
时，g（x）0.
1
所以丄X22ln
X2
X2
f（X1）f（X2）
X1x2
a2.
22.［选修4-4：
坐标系与参数方程］（10分）
【解析】
（1）由xcos,ysin得C?
的直角坐标方程为（x1）2y24.
（2）由
（1）知C?
是圆心为A（1,0），半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B（0,2）且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为11,y轴左边的射线为
12.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于h与C2只有一个公共点且12与C2有
两个公共点，或12与C2只有一个公共点且11与C2有两个公共点•学#科网
Ik2|,4
当h与C2只有一个公共点时，A到h所在直线的距离为2，所以22，故k或k0.
Jk13
4
经检验，当k0时，h与C2没有公共点；当k-时，h与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公
3
共点.
|k2|,^4
当12与C2只有一个公共点时，A到12所在直线的距离为2，所以22，故k0或k—.
Vk213
4
经检验，当k0时，11与C2没有公共点；当k-时，J与C2没有公共点.
3
4
综上，所求G的方程为y|x|2.
3
23.［选修4-5：
不等式选讲］（10分）
2,x1,
【解析】
（1）当a1时，f（x）|x1||x1|，即f（x）2x,1x1,
2,x1.
1
故不等式f（x）1的解集为{x|x-}.
2
（2）
当x
（0,1）时|x1|Iax1|
x成立等价于当
x（0,1）时|ax1|1成立
若a
0,
则当x（0,1）时|ax1|1
;
若a
0,
Iax1|1的解集为0x
2
2
所以一
1，故0a2.
a
a
综上，a的取值范围为（0,2］.
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