平面向量课标解读.docx

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平面向量课标解读

第二章平面向量

数学4是高中数学课程的必修模块，内容包括三角函数、平面上的向量（简称平面向量）、三角恒等变换。

平面向量是1996年进入高中数学课程的内容，《标准》对其中的一些内容作了新的处置，在要求上也有转变。

一、教育价值

向量是近代数学中重要和大体的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极为丰硕的实际背景。

这部份内容的教育价值要紧体此刻以下几个方面。

一、有助于学生体会数学与实际生活的联系和数学在解决实际问题中的作用。

向量是刻画现实世界的重要数学模型。

力、速度、位移等在实际生活中到处可见，这些都是向量的实际背景，也能够用向量加以刻画和描述。

《标准》突出向量的实际背景与应用。

因此，通过本模块内容的学习，有助于学生熟悉到向量与实际生活的紧密联系，和向量在解决实际问题中的普遍应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观看、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，进展数学应用意识。

二、有助于学生熟悉数学内容之间的内在联系，体验数学发觉与制造进程。

向量既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通代数与几何的桥梁。

《标准》将向量与三角函数设计在一个模块中，主若是为了通过向量沟通代数、几何与三角函数的联系，表现向量在处置三角函数问题中的工具作用。

《标准》要求学生经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的进程，并由此公式作为起点，推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式和积化和差、和差化积、半角公式等，那个进程有助于学生体会向量与三角函数的联系、数与形的联系和三角恒等变换公式之间的内在联系。

3、有助于进展学生的运算能力和推理能力。

向量作为代数对象，能够象数一样进行运算。

运算对象的不断扩展是数学进展的一条重要线索。

数运算，字母运算，向量运算，函数运算，映射、变换、矩阵运算等是数学中的大体运算。

从数运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，关于进一步明白得其它数学运算具有基础作用。

《标准》要求学生把握向量的加、减、数乘、数量积的运算，推导三角恒等变换公式。

三角恒等变换公式的推导即是一种三角函数运算，也表现了公理化方式和推理论证在数学研究中的作用。

因此，本模块内容的学习有助于学生体会数学运算的意义，和运算、推理在探讨、发觉数学结论，成立数学体系中的作用，进展学生的运算能力和推理能力。

二、课程内容增强的方面及依据

一、增强几何直观。

关于平面向量，《标准》强调向量概念的几何背景，强调明白得向量运算（加、减、数乘、数量积）及其性质的几何意义。

二、强调数学建模。

《标准》将向量作为刻画现实世界的数学模型。

学习数学模型的最好方式是经历数学建模的进程，即“问题情景—成立模型—数学结果—说明、应用与拓展”

。

《标准》对向量内容的处置，第一提供丰硕的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、归纳与抽象，成立向量模型（引出向量的概念），再运用数学的方式研究向量模型的性质，最后运用向量模型及其性质去解决包括现实原型在内的加倍普遍的一类实际问题。

如此处置表现了数学知识的产生、进展进程，反映了数学的“前因后果”，有助于学生明白得数学的本质，形成对数学完整的熟悉。

4、强调数学知识之间的内在联系和数学与其他学科的联系。

向量是近代数学中重要和大体的数学概念之一，是沟通代数与几何的一种工具，表现了数形结合的思想。

本模块用向量的数量积来推导两角差的余弦公式、刻画平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题，表现了向量方式在研究和解决数学问题中的作用，也沟通了代数、几何与三角的联系。

三角函数与向量在物理中有着普遍的应用，物理背景也是向量模型的重要原型。

《标准》强调突出向量的物理背景和向量在物理中的应用，表现了数学与物理等学科的紧密联系。

三、课程内容减弱的方面及依据

平面向量与2002年公布的《全日制一般高级中学数学教学大纲》相较，《标准》在平面向量部份删减了平面两点间的距离公式，线段定比分点及中点坐标公式，平移公式等内容。

四、对标准内容的有关说明与建议

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．向量是刻画现实和描述现实世界的重要数学模型。

《标准》将向量看成数学模型来处置，表现了数学模型观，渗透了数学建模的思想。

关于数学模型，徐利治先生在《数学方式论选讲》一书中作了如此的说明：

所谓数学模型，是指针对或参照某种事物系统的特点或数量相依关系，采纳形式化的数学语言，归纳地或近似地表述出来的一种数学结构。

徐利治先生在该书中还对数学模型作了广义的说明：

凡一切数学概念、数学理论体系、各类数学公式、各类方程（代数方程、函数方程、微分方程、差分方程、积分方程

）和有公式系列组成的算法系统等等都可称之为数学模型。

这是一种广义的数学模型观。

以这种观点看待本模块的内容，向量的概念、向量的运算等等都是数学模型。

学习数学模型的最好方式是经历数学建模进程，即第一从大量的实际背景中归纳抽象出三角函数、向量的概念（数学模型），然后利用数学的方式研究向量的性质，再运用这些数学模型去解决实际问题。

由于数学模型是从现实原型中抽象出来的，它高于原型，可用于刻画和解决包括原型在内的加倍普遍的一类问题。

那个进程突出了数学的前因后果。

因此，教师在向量的教学中，应树立一种数学模型的观念，用数学模型的观点看待这些内容。

在向量概念的教学中，教师也应关注以下两点：

第一，依照学生的生活体会，创设丰硕的情境。

例如，物理中的力、速度、加速度和几何中的有向线段等概念是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型。

通过这些实例，可使学生了解向量的物理背景和几何背景，熟悉到向量是描述和刻画现实问题、物理和数学等学科中的问题的工具。

这关于学生明白得向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。

第二，注重向量模型的运用，引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。

例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。

2

．向量是数学中重要的、大体的概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。

作为代数对象，向量能够运算。

作为几何对象，向量有方向，能够刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，能够刻画长度、面积、体积等几何气宇问题。

向量由大小和方向两个因素确信，大小反映了向量数的特点，方向反映了向量形的特点，因此，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型表现。

向量是重要的数学模型。

（V,+）是一个群的模型，即向量对加法运算组成群；（V,R,+,.）是一个线性空间的模型，即向量、实数对向量加法、数与向量乘法组成线性空间；（V,║║,R,+,.）是一个线性赋范空间的模型，即给向量赋以长度，向量、实数对向量加法、数与向量乘法组成线性赋范空间。

因此，向量是抽象代数、线性代数、泛函分析中的大体数学模型，是明白得这些数学内容的基础。

向量也是重要的物理模型。

平面力场、平面位移场和二者混合产生的做功问题，都能够用向量空间来刻画和描述。

向量不仅沟通了代数与几何的联系，而且，表现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重腹地位是不言而喻的。

《标准》中，对向量内容也是分层次处置的。

在必修数学4中设计了平面向量，在选修系列2中设计了空间向量。

下面对数学4中的平面向量作进一步分析。

平面上任意向量可唯一表示成一组不共线的向量的线性组合，也确实是说，关于平面上的向量，任意一组不共线的向量都可作为基底。

为了方便，通常咱们选择一组标准正交的向量（一组夹角为90度，长度为1的向量）作为基底。

将平面上的一个向量用标准正交基表示确实是向量的正交分解，即平面上的任一贯量都能够分解成两个正交的向量。

从几何的角度看，向量的正交分解确实是把一个向量分解成两个相互垂直（正交）的向量，这两个相互垂直的向量的长度正是原向量别离在正交基的两个方向上的投影的长度。

从代数的角度看，向量的正交分解确实是把一个向量表示为标准正交基的线性组合，那个线性组合的系数（唯一的数对）确实是该向量在此标准正交基下的坐标，即向量能够用数对来表示。

向量的数量积是向量的一种重要运算。

为便于说明向量的数量积的意义，咱们不妨以一个向量与单位向量的数量积为例。

一个向量与单位向量的数量积，其物理意义确实是由向量表示的力使物体沿单位向量方向作运动所做的功，其几何意义确实是向量在单位向量上的投影的长度。

一个向量与自身的数量积确实是该向量长度的平方。

因此，向量的坐标确实是该向量与标准正交基中的两个单位向量的数量积。

运用向量的数量积很容易推导出两角差的余弦公式。

设（e1,e2）是平面上的标准正交基，a，b是平面上的单位向量，a与e1的夹角为

，b与e1的夹角为

，且

。

向量a在（e1,e2）下的坐标为

，向量b在（e1,e2）下的坐标为

，向量a，b的数量积ab=

。

由于a，b是单位向量，因此，

。

运用向量也能够说明三角函数。

设（e1,e2）是平面上的标准正交基，a是平面上的向量，a与e1的夹角为

，那么能够用向量的数量积来讲明三角函数如下。

，

，

。

三角函数的向量说明常作为物理、工程中研究力、速度、加速度的工具。

5．通过本模块内容学习，学生对大体初等函数已经有一个较为完整的熟悉和明白得。

因此，在本模块的教学中，能够插入数学探讨或数学建模活动，鼓舞学生综合运用大体初等函数模型解决实际问题。

例如，能够提供一个实际问题的背景及一些数据信息，让学生自己选择适当的初等函数模型来刻画和解决该问题。

在此进程中，应鼓舞学生利用计算器和运算机探讨和解决问题。