初中函数知识点总结大全含有高中衔接内容.docx

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初中函数知识点总结大全含有高中衔接内容

一次函数一、定义与定义式：

有如下关系：

y和因变量x自变量y=kx+b则此时称的一次函数。

x是y的正比例函数。

x是y时，b=0特别地，当为常数，k≠0）k（y=kx即：

二、一次函数的性质：

k的变化值成正比例，比值为x的变化值与对应的1.yk（y=kx+b即：

取任何实数）b为任意不为零的实数轴上的截距。

y为函数在b时，x=0当2.三、一次函数的图像及性质：

个步骤3．作法与图形：

通过如下1）列表；1（（）描点；2）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次3（x（通常找函数图像与点，并连成直线即可。

2函数的图像只需知道轴的交点）y轴和

），都满y，x（P）在一次函数上的任意一点1．性质：

（2，0轴交点的坐标总是（y）一次函数与2。

（y=kx+b足等式：

，b））正比例函数的图像总是过原点。

0，-b/k轴总是交于（x与与函数图像所在象限：

b，k．3的增大而增大；x随y时，直线必通过一、三象限，0＞k当＜k当的增大而减小。

x随y时，直线必通过二、四象限，0时，直线必通过一、二象限；0＞b当时，直线通过原点b=0当时，直线必通过三、四象限。

0＜b当）表示的是正0，0（O时，直线通过原点b=O特别地，当比例函数的图像。

k时，直线只通过一、三象限；当0＞k这时，当时，0＜直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

，x2（B）；y1，x1（A已知点的B、A），请确定过点y2一次函数的表达式。

。

y=kx+b）设一次函数的表达式（也叫解析式）为1（

），都满足等y，x（P）因为在一次函数上的任意一点2（个方程：

y1=kx1+b……2。

所以可以列出y=kx+b式和①②y2=kx2+b……的值。

b，k）解这个二元一次方程，得到3（）最后得到一次函数的表达式。

4（五、一次函数在生活中的应用：

。

s=vt的一次函数。

v是速度s一定，距离t当时间1.一定，水池中水量f当水池抽水速度2.的一t是抽水时间g。

g=S-ft。

S次函数。

设水池中原有水量六、常用公式：

（不全，希望有人补充）求函数图像的1.y1-y2）/（x1-x2）值：

（k|x1-x2|/2轴平行线段的中点：

x求与2.|y1-y2|/2轴平行线段的中点：

y求与3.（注：

根号-x2）^2+（y1-y2）^2求任意线段的长：

√（x14.y1-y2）与（x1-x2）下（的平方和）二次函数定义与定义表达式I.之间存在如下关系：

y和因变量x一般地，自变量

y=ax^2+bx+c时，a>0决定函数的开口方向，a为常数，a≠0，且c，b，a（,IaI开口方向向下时，a<0开口方向向上，,IaI还可以决定开口大小）.越小开口就越大,IaI越大开口就越小的二次函数。

x为y则称二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二次函数的三种表达式II.为常数，a≠0）c，b，a（y=ax^2+bx+c一般式：

，h（P抛物线的顶点y=a（x-h）^2+k[顶点式：

]）k，₁x（A轴有交点x仅限于与）[₂）（x-x₁y=a（x-x交点式：

）0]）的抛物线0，₂x（B和3注：

在:

种形式的互相转化中，有如下关系-4ac）/2ab±√b^2=（-₂,x₁xk=（4ac-b^2）/4ah=-b/2a二次函数的图像III.的图像，y=x^2在平面直角坐标系中作出二次函数可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线的性质IV.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线1.。

x=-b/2a。

P对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点）x=0轴（即直线y时，抛物线的对称轴是b=0特别地，当，坐标为P抛物线有一个顶点2.

（4ac-b^2）/4a），P（-b/2a轴x在P时，=b^2-4ac=0Δ轴上；当y在P时，-b/2a=0当上。

决定抛物线的开口方向和大小。

a二次项系数3.时，抛物线向下开口。

0＜a时，抛物线向上开口；当0＞a当越大，则抛物线的开口越小。

|a|共同决定对称轴的位置。

a和二次项系数b一次项系数4.轴左；y），对称轴在0＞ab同号时（即b与a当轴右。

y），对称轴在0＜ab异号时（即b与a当轴交点。

y决定抛物线与c常数项5.）c，0轴交于（y抛物线与轴交点个数x抛物线与6.x时，抛物线与0＞=b^2-4acΔ个交点。

2轴有个交点。

1轴有x时，抛物线与=b^2-4ac=0Δ＜=b^2-4acΔ的取值是虚数X轴没有交点。

x时，抛物线与0，整个式子除i的值的相反数，乘上虚数4acb±√b^2－x=-（）2a以二次函数与一元二次方程V.，y=ax^2+bx+c特别地，二次函数（以下称函数）的一元二次方程（以下称方程），x时，二次函数为关于y=0当ax^2+bx+c=0即轴有无交点即方程有无实数根。

x此时，函数图像与

轴交点的横坐标即为方程的根。

x函数与，y=a（x-h）^2+k，y=a（x-h）^2，y=ax^2．二次函数1各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它y=ax^2+bx+c（们的顶点坐标及对称轴如下表：

轴称对顶点坐标解析式0），（0y=ax^2x=0x=h0），（hy=a（x-h）^2k），（hy=a（x-h）^2+kx=hx=-b/2ay=ax^2+bx+c，（-b/2a[4ac-b^2]/4a）向右平行移y=ax^2的图象可由抛物线y=a（x-h）^2时，h>0当个单位得到，h动h<0当个单位得到．|h|时，则向左平行移动个单位，再向h向右平行移动y=ax^2时，将抛物线h>0,k>0当的图象；y=a（x-h）^2+k个单位，就可以得到k上移动个单位，再向h向右平行移动y=ax^2时，将抛物线h>0,k<0当下移动的图象；y=a（x-h）^2+k个单位可得到|k|k个单位，再向上移动|h|时，将抛物线向左平行移动h<0,k>0当的图象；y=a（x-h）^2+k个单位可得到

|k|个单位，再向下移动|h|时，将抛物线向左平行移动h<0,k<0当的图象；y=a（x-h）^2+k个单位可得到y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一因此，研究抛物线可确定其顶点坐标、的形式，y=a（x-h）^2+k般式化为抛物对称轴，线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．时，开口向上，a>0y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：

当．抛物线2，（-b/2a，顶点坐标是x=-b/2a时开口向下，对称轴是直线a<0当．[4ac-b^2]/4a）y时，-b/2ax≤，当a>0y=ax^2+bx+c（a≠0），若．抛物线3x随y时，-b/2ax≥当的增大而减小；x随，a<0若的增大而增大．的x随y时，-b/2ax≥的增大而增大；当x随y时，-b/2ax≤当增大而减小．的图象与坐标轴的交点：

y=ax^2+bx+c．抛物线4；c），（0轴一定相交，交点坐标为y图象与

（1），0），₂B（x和0），₁A（x轴交于两点x，图象与=b^2-4ac>0当△

（2）ax^2+bx+c=0是一元二次方程x1,x2其中的AB=|x（a≠0）的两根．这两点间的距离|₁-x₂轴只有一个交点；x．图象与=0当△a>0轴没有交点．当x．图象与<0当△轴的上方，x时，图象落在为x轴的下方，x时，图象落在a<0；当y>0为任何实数时，都有x．y<0任何实数时，都有

x=-b/2a则当，a>0（a<0）如果的最值：

y=ax^2+bx+c抛物线．5．=（4ac-b^2）/4a值）大（最小y时，顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．．用待定系数法求二次函数的解析式6的三对对应y、x当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知

（1）值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c（a≠0）．当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为

（2）h）^2+k（a≠0）．y=a（x-顶点式：

轴的两个交点坐标时，可设解析式x当题给条件为已知图象与（3））（a≠0）．₂）（x-x₁y=a（x-x为两根式：

．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的7以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考因此，综合题目。

题，往往以大题形式出现．反比例函数的函数，叫做反比例函数。

k≠0）为常数且x（k／k＝y形如的一切实数。

0的取值范围是不等于x自变量反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

图像关于原点对称。

f（-x）=-f（x）,由于反比例函数属于奇函数，有

在反比例函数的图像上任取从反比例函数的解析式可以得出，另外，一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面∣。

k积是定值，为∣）时的函数图像。

-2和2分别为正和负（k如图，上面给出了时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数0＞K当当时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数0＜K反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

这两条垂线段过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，1.。

|k|与坐标轴围成的矩形的面积为／k＝y对于双曲线2.／k＝y即（，若在分母上加减任意一个实数x就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。

，）为常数m（x±m）（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）对数函数对数函数的一般形式为的反函数。

因此，它实际上就是指数函数的规定，同样适用于对数函数。

a指数函数里对于所表示的函数图形：

a右图给出对于不同大小y=x可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线的对称图形，因为它们互为反函数。

的实数集合。

0）对数函数的定义域为大于1（

）对数函数的值域为全部实数集合。

2（）这点。

0，1）函数总是通过（3（时，0大于1小于a时，为单调递增函数，并且上凸；1大于a）4（函数为单调递减函数，并且下凹。

）显然对数函数无界。

5（指数函数从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，，指数函数的一般形式为能够取整个实数集合为定义域，则只有使得x要想使得的不同大小影响函数图形的情况。

a如图所示为可以看到：

，0大于a这里的前提是指数函数的定义域为所有实数的集合，）1（a对于则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，的情况，0不大于因此我们不予考虑。

的实数集合。

0指数函数的值域为大于）2（函数图形都是下凹的。

）3（1小于a，则指数函数单调递增；1大于a）4（，则为单调0大于递减的。

趋向于无穷大的过0从a可以看到一个显然的规律，就是当）5（轴的正X轴与Y函数的曲线从分别接近于，）0（当然不能等于程中轴X轴的正半轴与Y半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于

是从递减到递y=1的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线增的一个过渡位置。

永不相交。

轴X函数总是在某一个方向上无限趋向于）6（）这点。

1，0函数总是通过（）7（显然指数函数无界。

）8（奇偶性）为偶函数2）为奇函数（1注图：

（．定义1f（x）一般地，对于函数，那f（x）－f（-x）=，都有x）如果对于函数定义域内的任意一个1（么函数就叫做奇函数。

f（x），那么f（-x）=f（x），都有x）如果对于函数定义域内的任意一个2（就叫做偶函数。

f（x）函数f（-x）=f（x）与f（-x）=-f（x），x如果对于函数定义域内的任意一个）3（既是奇函数又是偶函数，f（x）那么函数同时成立，称为既奇又偶函数。

f（-x）=f（x）与f（-x）=-f（x），x如果对于函数定义域内的任意一个）4（既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非f（x）都不能成立，那么函数偶函数。

说明：

①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言如果一个函数的定义域偶函数的定义域一定关于原点对称，②奇、不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

首先是检验其定义域是否关于原点对判断函数的奇偶性，（分析：

比较f（x）称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义．奇偶函数图像的特征：

2定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于轴或轴对称图形。

y的图像关于原点对称f（x）为奇函数《＝＝》f（x））-x,-y）→（x,y点（则在它的对称区间上也是单调递奇函数在某一区间上单调递增，增。

在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

偶函数奇偶函数运算3..两个偶函数相加所得的和为偶函数

（1）..两个奇函数相加所得的和为奇函数

（2）..一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数（3）..两个偶函数相乘所得的积为偶函数（4）..两个奇函数相乘所得的积为偶函数（5）..一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数（6）.定义域

如果按某个确定的对应是两个非空的数集，A,B设（高中函数定义）中都有唯一确定的B在集合，x中的任意一个数A使对于集合f,关系的一个函数，B到集合A为集合f:

A--B和它对应，那么就称f（x）数叫A的取值范围x叫作自变量，x。

其中，A属于集合y=f（x）,x记作作函数的定义域；值域名称定义在数学,函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法）图象法（数形结合），2）化归法；（1（）函数单调性法，3（）判7）反函数法（逆求法），（6）换元法，（5）配方法，（4（）基本不等式10）三角代换法，（9）复合函数法，（8别式法，（法等关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。

平时数学然而事物均具有二重性，无可置疑。

实行“定义域优先”的原则，中，对值域问题的探究，往往就削弱或谈化了，在强化定义域问题的同时，事实使学生对函数的掌握时好时坏，造成了一手“硬”一手“软”，

上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们（典型的例子是互为反函数定义域与值域二者随时处于互相转化之中如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总的相互转化）。

还必须联系函数反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，是容易的，的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

才能获求值域的问题有时比求定义域问题难，从这个角度来讲，得正确答案，有利于对定义域内如果加强了对值域求法的研究和讨论，实践证明，函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗？

许多同学“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，“值域”是所有实际上这是两个不同的概念。

常常将它们混为一谈，函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范（即集合中的元素不一围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合定都满足这个条件）。

也就是说:

“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。