金属的结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算doc.docx
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金属的结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算doc
实用标准文案
8金属的结构和性质
【8.1】半径为R的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。
解：
4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图9.1（a）和（b），图9.1（c）示出堆积所形成
的正四面体空隙。
该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。
图9.1
由图和正四面体的立体几何知识可知：
边长AB=2R
2
2
1
2
2
1
AMAE
EM
2
AB
BE
DE
高
3
1
22
1
2
1
2
2
2
2
2
AB2
1
AB
1
AE
R2
3
R
2R
2
3
3
26R
1.633R
3
OA
3AM
6R
1.225R
中心到顶点的距离：
4
2
OM
1AM
6R
0.408R
中心到底边的高度：
4
6
中心到两顶点连线的夹角为：
AOB
2
6R/2
2
2
2
2
2
2R
cos1
OA
OB
AB
cos1
2
6R/2
2
2OA
OB
cos1
1/3
109.47
中心到球面的最短距离
OAR
0.225R
本题的计算结果很重要。
由此结果可知，半径为R的等径圆球最密堆积结构中四面体空
隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R。
而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配
位
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实用标准文案
多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。
此题的结果也是了解hcp结构中晶胞参数的基础（见习题9.04）。
【8.2】半径为R的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。
解：
正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。
空隙的实际体积小于八面体体积。
图9.2中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。
图9.2
由图（c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：
1
1
1
OCAC
2AB
22R2R
2
2
2
而八面体空隙中心到球面的最短距离为：
OCR2RR0.414R
此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。
0.414
是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时
r/r的下限值。
【8.3】半径为R的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。
解：
由图9.3可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为：
OA
2AD
2
3R1.155R
3
3
图9.3
三角形空隙中心到球面的距离为：
OAR1.155RR0.155R
此即半径为R的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，
0.155是“三
角形离子配位多面体”中
r/r的下限值。
【8.4】半径为R的圆球堆积成A3结构，计算简单立方晶胞参数a和c的数值。
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解：
图9.4示出A3型结构的—个简单六方晶胞。
该晶胞中有两个圆球、4个正四面体
空隙和两个正八面体空隙。
由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍
即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数a或b。
根据9.01题的结果，可得：
图9.4
a
b
2R
c
2
6R
2
4
6R
3
26
3
c/a
1.633
3
【8.5】证明半径为R的圆球所作的体心立方堆积中，
八面体空隙只能容纳半径为
0.154R的
小球，四面体空隙可容纳半径为
0.291R的小球。
证明：
等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图
9.5（a）和（b）。
由图9.5（a）可见，
八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。
因此，每个晶胞中
6个八面体空隙
61121
24
。
而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球平均摊到3个八面体空隙。
这些
八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为2a，短轴为a（a是晶胞参数）。
（圆球，八面体空隙中心，四面体空隙中心）
图9.5
八面体空隙所能容纳的小球的最大半径
r0即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该
a
R
C3
距离为2
。
体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在
轴方向上互相接触，因而
a
4
a
Rr0
2
R
0.154R
R
。
代入2
1
3
，得
3
。
由图9.5（b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有
4个四面体中
6
4
1
心，因此每个晶胞有
12个四面体空隙
2。
而每个晶胞有
2个球，所以每个球平均
摊到6个四面体空隙。
这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为
3a
a，4条短棱皆为2。
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实用标准文案
四面体空隙所能容纳的小球的最大半径rT等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球
2
2
1
2
a
a
的半径R。
而从空隙中心到顶点的距离为
2
4
5a
4
，所以小球的最大半径为
5aR
5
4RR0.291R
4
4
3
【8.6】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度。
解：
图9.6示出等径圆球密置单层的—部分。
图9.6
由图可见，每个球（如A）周围有6个三角形空隙，而每个三角形空隙由3个球围成，所
6
1
2
以每个球平均摊到
3
个三角形空隙。
也可按图中画出的平行四边形单位计算。
该单
位只包含一个球（截面）和
2个三角形空隙，即每个球摊到
2个三角形空隙。
设等径圆球的半径为
R，则图中平行四边形单位的边长为
2R。
所以二维堆积系数为：
R2
R2
2
4R2
0.906
2Rsin60
3/2
【8.7】指出A1型和A3型等径圆球密置单层的方向是什么？
解：
A1型等径团球密堆积中，密置层的方向与C3轴垂直，即与（111）面平行。
A3型等
径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与（001）面平行。
下面将通过两种密堆积
型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。
A1型密堆积可划分出如图9.7（a）所示的立方面心晶胞。
在该晶胞中，由虚线连接的圆
球所处的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即C3轴。
每一晶胞有4条体
对角线，即在4个方向上都有C3轴的对称性。
因此，与这4个方向垂直的层面都是密置层。
图9.7
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用准文案
A3型密堆可划分出如9.7（b）所示的六方晶胞。
球A和球B所在的堆都是密置．些面平行于（001）晶面，即垂直于c，而c平行于六重C6。
【8.8】按下面（a）~（c）A1、A2及A3型金属晶体的构特征。
（a）原子密置的堆方式、重复周期（A2型除外）、原子的配位数及配位情况。
（b）空隙的种和大小、空隙中心的位置及平均每个原子到的空隙数目。
（c）原子的堆系数、所属晶系、晶胞中原子的坐参数、晶胞参数与原子半径的关系以及空点型式等。
解：
（a）A1，A2和A3型金属晶体中原子的堆方式分立方最密堆（ccp）、体心立方密
堆（bcp）相六方最密堆（hcp）。
A1型堆中密堆的重复方式ABCABCABC⋯，三
一重复周期，A3型堆中密堆的重复方式ABABAB⋯，两一重复周期。
Al和A3
型堆中原子的配位数皆12，而A2型堆中原子的配位数8—14，在A1型和A3型堆
中，中心原子与所有配位原子都接触．同6个，上下两各3个。
所不同的是，A1型
堆中，上下两配位原子沿C3的投影相差60呈C6的称性，而A3型堆中，上
下两配位原子沿c的投影互相重合。
在A2型堆中，8个近距离（与中心原子相距
3a
2）配位原子在立方晶胞的点上，6个距离（与中心原子相距a）配位原子在相品胞的体心上。
（b）A1型堆和A3型堆都有两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。
四面体空隙可
容半径0.225R的小原子．八面体空隙可容半径0.414R的小原子（R堆原子的
半径）。
在两种堆中，每个原子平均到两个四面体空隙和1个八面体空隙。
差在于，
两种堆中空隙的分布不同。
在A1型堆中，四面体空隙的中心在立方面心晶胞的体角
6R
上，到晶胞点的距离2。
八面体空隙的中心分在晶胞的体心和棱心上。
在
0,0,3;0,0,
5;2,1,1;2,1,7
A3型堆中，四面体空隙中心的坐参数分
8
8338338。
而八面体
2,1,1;2,1,3
空隙中心的坐参数分
334334。
A2型堆中有形八面体空隙、形四面体
空隙和三角形空隙（亦可形三方双空隙）。
八面体空隙和四面体空隙在空上是重复
利用的。
八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上。
每个原子平均到3个八面体空
隙，空隙可容的小原子的最大半径0.154R。
四面体空隙中心在晶胞的面上。
每个
原子平均到6个四面体空隙，空隙可容的小原子的最大半径0.291R。
三角形空隙
上是上述两种多面体空隙的接面，算起来，每个原子到12个三角形空隙。
（c）
金属的构形式A1A2A3
原子的堆系数74.05%68.02%74.05%
所属晶系立方立方六方
晶胞形式面心立方体心立方六方
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实用标准文案
晶胞中原子
1
1
0,0,0;
0,0,0;
的坐标参数
0,0,0;
,0;
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
3
2
2
3
2
0,
;0,
2
2
2
2
晶胞参数与
a
2
2R
4
a
b
2R
原子半径的关系
a
R
4
3
c
6R
3
点阵形式
面心立方
体心立方
简单六方
综上所述，A1，A2和A3型结构是金属单质的三种典型结构形式。
它们具有共性，也有差异。
尽管A2型结构与A1型结构同属立方晶体，但
A2型结构是非最密堆积，堆积系数小，且空
隙数目多，形状不规则，分布复杂。
搞清这些空隙的情况对于实际工作很重要。
A1型和A3
型结构都是最密堆积结构，
它们的配位数、球与空隙的比例以及堆积系数都相同。
差别是它
们的对称性和周期性不同。
A3
型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方晶胞。
其
密置层方向与
c轴垂直。
而A1型结构的对称性比
A3型结构的对称性高，它属立方晶系，可
划分出包含4
个原子的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直。
A1型结构将原子密置
层中C6轴所包含的C3轴对称性保留了下来。
另外，
A3型结构可抽象出简单六方点阵，而
A1型结构可抽象出面心立方点阵。
【8.9】画出等径圆球密置双层图及相应的点阵素单位，指明结构基元。
解：
等径圆球的密置双层示于图9.9。
仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最基本
的结构单位包括2个圆球，即2个圆球构成一个结构基元。
这两个球分布在两个密置层中，如球A和球B。
图9.9
密置双层本身是个三锥结构，但由它抽取出来的点阵却为平面点阵。
即密置双层仍为
二维点阵结构。
图中画出平面点阵的素单位，该单位是平面六方单位，其形状与密置单层的
点阵素单位一样，每个单位也只包含
1个点阵点，但它代表2个球。
等径圆球密置双层是两个密置层作最密堆积所得到的唯一的一种堆积方式。
在密置双
层结构中，圆球之间形成两种空隙，
即四面体空隙和八面体空隙。
前者由3
个相邻的A球和
1个B球或3个相邻的B球和1个A球构成。
后者则由3个相邻的A球和3
个相邻的B球构
成。
球数:
四面体空隙数:
八面体空隙数=2:
2:
1
【8.10】金属铜属于A1型结构，试计算（111）、（110）和（100）等面上铜原子的堆积系数。
解：
参照金属铜的面心立方晶胞，画出3个晶面上原子的分布情况如下（图中未示出原子的接触情况）：
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实用标准文案
（111）面是密置面，面上的所有原子作紧密排列。
该面还是的铜原子的堆积系数等于
三角形单位中球的总最大截面积除以三角形的面积。
三角形单位中包含两个半径为R的球
11
33
26，所以该面上原子的堆积系数为：
2
R2
0.906
2R
2
3R
2
3
【8.11】金属铂为
A1型结构，立方晶胞参数a
392.3pm，Pt的相对原子质量为195.0，
试求金属铂的密度及原子半径。
解：
因为金属铂属于
A1型结构，所以每个立方晶胞中有
4个原子。
因而其密度为：
D
4M
4195.0gmol1
a3NA
392.3
1010cm
3
6.022
1023mol
1
21.45gcm3
a和原子半径R的
A1型结构中原子在立方晶胞的面对角线方向上互相接触，因此晶胞参数
关系为a22R，所以：
R
a
392.3pm
2
2
2
2
138.7pm
【8.12】硅的结构和金刚石相同，
Si的共价半径为117
pm，求硅的晶胞参数，晶胞体积
和晶胞密度。
解：
硅的立方晶胞中有8个硅原子，它们的坐标参数与金刚石立方晶胞中碳原子的坐标参数
相同。
硅的共价半径和晶胞参数的关系可通过晶胞对角线的长度推导出来。
设硅的共价半径
为rSi，晶胞参数为a，则根据硅原子的坐标参数可知，体对角线的长度为8rSi。
而体对角线
的长度又等于
3a，因而有8rSi
3a，所以：
a
8rSi
8
117pm
540pm
3
3
晶胞体积为：
8
3
V
a3
117pm
1.58108pm3
3
晶体密度为：
D
88.29gmol1
8
3
117
1010cm
6.0221023mol1
3
2.37gcm3
金刚石、硅和灰锡等单质的结构属立方金刚石型（A4型），这是一种空旷的结构型式，原子的空间占有率只有34.01%。
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【8.13】已知金属钛为六方最密堆积结构，钛原子半径为
146pm，试计算理想的六方晶胞
参数及晶体密度。
解：
晶胞参数为：
a
b
2R
2
146pm292pm
c
4
6R
4
6
146pm477pm
晶体密度为：
3
3
D
2M
abcsin120
NA
247.87gmol1
2
477
1010cm
36.022
1023mol1
2921010cm
2
4.51gcm3
【8.14】铝为面心立方结构，密度为
2.70gcm1
，试计算它的晶胞参数和原子半径。
用
CuKa射线摄取衍射图，
33衍射线的衍射角是多少？
解：
铝为面心立方结构，因而一个晶胞中有
4个原子。
由此可得铝的摩尔质量
M、晶胞参数
a，晶体密度D及Avogadro常数NA之间的关系为：
D
4M/a3NA，所以，晶胞参数：
1
1
1
a
4M
3
4
26.98gmol
3
DNA
2.70gcm3
6.0221023mol1
404.9pm
面心立方结构中晶胞参数
a与原子半径R的关系为a
22R，因此，铝的原子半径为：
a
404.9pm
R
2
2
143.2pm
2
2
根据Bragg方程得：
sin
2dhkl
将立方晶系面间距
dhkl，晶胞参数a和衍射指标hkl间的关系代入，得：
1
sin
h2k2
l2
154.2pm
32
32
322
2a
2
404.9pm
0.9894
81.7
【8.15】金属纳为体心立方结构，
a
429pm，计算：
（a）Na的原子半径；
（b）金属钠的理论密度；
（d）（110）的间距。
解：
（a）金属钠为体心立方结构，原子在晶胞体对角线方向上互相接触，由此推得原子半径r和晶胞参数a的关系为：
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实用标准文案
r13a
4
代入数据得：
r
3
185.8pm
429pm
（b）
4
每个晶胞中含两个钠原子，因此，金属钠的理论密度为：
D
2M
2
22.99gmol
1
a3NA
4291010cm
3
6.022
1023mol1
0.967gcm3
d110
a
429pm
12
02
1/2
303.4pm
12
2
（c）
【8.16】金属钽为体心立方结构，
a330pm，试求：
（a）Ta的原子半径；
（b）金属钽的理论密度（Ta的相对原子质量为181）；
（c）（110）面的间距
（d）若用
154pm的X射线，衍射指标为
220的衍射角
的数值是多少？
解：
（a）
钽原子的半径为：
r
13a
3
330pm
143pm
（b）
4
4
金属钽的理论密度为：
D
2M
2
181gmol1
a3NA
330
1010cm
3
6.0221023mol1
16.7gcm3
（c）（110）点阵面的间距为：
d110
a
330pm
233pm
1212
（d）根据Bragg方程得：
sin220
2d220
022
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