金属的结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算doc.docx

1、金属的结构及性质体心立方堆积中八面体空隙及四面体空隙半径计算doc实用标准文案8金属的结构和性质【8.1 】半径为 R 的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。解： 4 个等径圆球作紧密堆积的情形示于图 9.1 （ a）和 (b) ，图 9.1(c) 示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的 2 倍。图9.1由图和正四面体的立体几何知识可知：边长 AB=2R221221AMAEEM2ABBEDE高312 212122222AB21AB1AER23R2R2332

2、6R1.633R3OA3 AM6 R1.225R中心到顶点的距离：42OM1 AM6 R0.408R中心到底边的高度：46中心到两顶点连线的夹角为：AOB26R / 2222222Rcos 1OAOBABcos 126R / 222 OAOBcos 11/3109.47中心到球面的最短距离OA R0.225R本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为 R 的等径圆球最密堆积结构中四面体空隙所能容纳的小球的最大半径为 0.225R 。而 0.225 正是典型的二元离子晶体中正离子的配位精彩文档实用标准文案多面体为正四面体时正、 负离子半径比的下限。 此题的结果也是了解 hcp 结构中晶胞参数的基

3、础 ( 见习题 9.04) 。【8.2 】半径为 R 的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。解：正八面体空隙由 6 个等径圆球密堆积而成， 其顶点即圆球的球心， 其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。 图 9.2 中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。图 9.2由图（ c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：111OCAC2 AB2 2R2R222而八面体空隙中心到球面的最短距离为：OC R 2R R 0.414R此即半径为 R 的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。0.414是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时r / r

4、 的下限值。【8.3 】半径为 R 的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。解：由图 9.3 可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为：OA2 AD23R 1.155R33图 9.3三角形空隙中心到球面的距离为：OA R 1.155R R 0.155R此即半径为 R的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，0.155 是“三角形离子配位多面体”中r / r 的下限值。【8.4 】半径为 R 的圆球堆积成 A3 结构，计算简单立方晶胞参数 a 和 c 的数值。精彩文档实用标准文案解：图 9.4 示出 A3 型结构的个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、 4 个正四面体空隙和

5、两个正八面体空隙。 由图可见， 两个正四面体空隙共用一个顶点， 正四面体高的两倍即晶胞参数 c，而正四面体的棱长即为晶胞参数 a 或 b 。根据 9.01 题的结果，可得：图 9.4ab2Rc26R246R32 63c / a1.6333【8.5 】证明半径为 R 的圆球所作的体心立方堆积中，八面体空隙只能容纳半径为0.154R 的小球，四面体空隙可容纳半径为0.291R 的小球。证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图9.5 （ a）和（ b）。由图 9.5 （ a）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。因此，每个晶胞中6 个八面体空隙6 1 12 12 4。而每个晶胞中含 2

6、 个圆球，所以每个球平均摊到 3 个八面体空隙。这些八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体， 长轴为 2a ，短轴为 a（ a 是晶胞参数） 。（ 圆球， 八面体空隙中心， 四面体空隙中心）图9.5八面体空隙所能容纳的小球的最大半径r0 即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该aRC3距离为 2。体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在轴方向上互相接触，因而a4aRr02R0.154RR。代入 213，得3。由图 9.5 （ b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有4 个四面体中641心，因此每个晶胞有12 个四面体空隙2 。而每个晶胞有2 个球，所以每个球平均摊到 6 个四面体

7、空隙。这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为3 aa，4 条短棱皆为 2 。精彩文档实用标准文案四面体空隙所能容纳的小球的最大半径 rT 等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球2212aa的半径 R。而从空隙中心到顶点的距离为245 a4，所以小球的最大半径为5 a R54 R R 0.291R443【8.6 】计算等径圆球密置单层中平均每个球所摊到的三角形空隙数目及二维堆积密度。解：图 9.6 示出等径圆球密置单层的部分。图 9.6由图可见，每个球 ( 如 A)周围有 6 个三角形空隙，而每个三角形空隙由 3 个球围成，所612以每个球平均摊到3个三角形空隙。也可按图中画出的平行四边形单位计

8、算。该单位只包含一个球（截面）和2 个三角形空隙，即每个球摊到2 个三角形空隙。设等径圆球的半径为R，则图中平行四边形单位的边长为2R。所以二维堆积系数为：R2R224R20.9062R sin 603 / 2【8.7 】指出 A1 型和 A3型等径圆球密置单层的方向是什么？解： A1 型等径团球密堆积中，密置层的方向与 C3 轴垂直，即与 (111) 面平行。 A3 型等径圆球密堆积中，密置层的方向与六重轴垂直，即与 (001) 面平行。下面将通过两种密堆积型式划分出来的晶胞进一步说明密置层的方向。A1 型密堆积可划分出如图 9.7(a) 所示的立方面心晶胞。在该晶胞中，由虚线连接的圆球所处

9、的平面即密置层面，该层面垂直于立方晶胞的体对角线即 C3 轴。每一晶胞有 4 条体对角线， 即在 4 个方向上都有 C3 轴的对称性。 因此， 与这 4 个方向垂直的层面都是密置层。图 9.7精彩文档 用 准文案A3 型密堆 可划分出如 9.7(b) 所示的六方晶胞。球 A 和球 B 所在的堆 都是密置 些 面平行于 (001) 晶面，即垂直于 c ，而 c 平行于六重 C6 。【8.8 】 按下面（ a） （ c） A1 、 A2 及 A3型金属晶体的 构特征。（a） 原子密置 的堆 方式、重复周期（ A2 型除外）、原子的配位数及配位情况。（b） 空隙的种 和大小、空隙中心的位置及平均每个

10、原子 到的空隙数目。（c） 原子的堆 系数、所属晶系、晶胞中原子的坐 参数、晶胞参数与原子半径的关系以及空 点 型式等。解：(a)A1 ，A2 和 A3 型金属晶体中原子的堆 方式分 立方最密堆 (ccp) 、体心立方密堆 (bcp) 相六方最密堆 (hcp) 。A1 型堆 中密堆 的重复方式 ABCABCABC，三 一重复周期， A3 型堆 中密堆 的重复方式 ABABAB，两 一重复周期。 Al 和 A3型堆 中原子的配位数皆 12，而 A2 型堆 中原子的配位数 8 14，在 A1 型和 A3 型堆 中，中心原子与所有配位原子都接触同 6 个，上下两 各 3 个。所不同的是， A1 型堆

11、 中，上下两 配位原子沿 C3 的投影相差 60 呈 C6 的 称性，而 A3 型堆 中，上下两 配位原子沿 c 的投影互相重合。在 A2 型堆 中， 8 个近距离 ( 与中心原子相距 3 a2) 配位原子 在立方晶胞的 点上， 6 个 距离 ( 与中心原子相距 a ) 配位原子 在相 品胞的体心上。(b)A1型堆 和 A3 型堆 都有两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。四面体空隙可容 半径 0.225R 的小原子 八面体空隙可容 半径 0.414R 的小原子 (R 堆 原子的半径 ) 。在 两种堆 中， 每个原子平均 到两个四面体空隙和 1 个八面体空隙。 差 在于，两种堆 中空隙的分布不同

12、。在 A1 型堆 中，四面体空隙的中心在立方面心晶胞的体 角6 R 上，到晶胞 点的距离 2 。八面体空隙的中心分 在晶胞的体心和棱心上。在0,0, 3 ;0,0,5 ; 2 , 1 , 1 ; 2 , 1 , 7A3 型堆 中， 四面体空隙中心的坐 参数分 88 3 3 8 3 3 8 。而八面体2 , 1 , 1 ; 2 , 1 , 3空隙中心的坐 参数分 3 3 4 3 3 4 。A2 型堆 中有 形八面体空隙、 形四面体空隙和三角形空隙 ( 亦可 形三方双 空隙 ) 。八面体空隙和四面体空隙在空 上是重复利用的。 八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上。 每个原子平均 到 3 个八

13、面体空隙， 空隙可容 的小原子的最大半径 0.154R 。四面体空隙中心 在晶胞的面上。每个原子平均 到 6 个四面体空隙， 空隙可容 的小原子的最大半径 0.291R 。三角形空隙 上是上述两种多面体空隙的 接面，算起来，每个原子 到 12 个三角形空隙。（c）金属的 构形式 A1 A2 A3原子的堆 系数 74.05% 68.02% 74.05%所属晶系 立方 立方 六方晶胞形式 面心立方 体心立方 六方精彩文档实用标准文案晶胞中原子110,0,0;0,0,0;的坐标参数0,0,0;, ,0;111211221111,23,2232,0,;0,2222晶胞参数与a22R4ab2R原子半径的

14、关系aR43c6R3点阵形式面心立方体心立方简单六方综上所述， A1，A2 和 A3 型结构是金属单质的三种典型结构形式。它们具有共性， 也有差异。尽管 A2 型结构与 A1 型结构同属立方晶体，但A2 型结构是非最密堆积，堆积系数小，且空隙数目多，形状不规则，分布复杂。搞清这些空隙的情况对于实际工作很重要。A1 型和 A3型结构都是最密堆积结构，它们的配位数、 球与空隙的比例以及堆积系数都相同。差别是它们的对称性和周期性不同。A3型结构属六方晶系，可划分出包含两个原子的六方晶胞。其密置层方向与c 轴垂直。 而 A1 型结构的对称性比A3 型结构的对称性高， 它属立方晶系， 可划分出包含 4个

15、原子的面心立方晶胞，密置层与晶胞体对角线垂直。A1 型结构将原子密置层中 C6 轴所包含的 C3 轴对称性保留了下来。另外，A3 型结构可抽象出简单六方点阵，而A1 型结构可抽象出面心立方点阵。【8.9 】画出等径圆球密置双层图及相应的点阵素单位，指明结构基元。解：等径圆球的密置双层示于图9.9 。仔细观察和分子便发现，作周期性重复的最基本的结构单位包括 2 个圆球，即 2 个圆球构成一个结构基元。这两个球分布在两个密置层中，如球 A 和球 B。图 9.9密置双层本身是个三锥结构，但由它抽取出来的点阵却为平面点阵。即密置双层仍为二维点阵结构。 图中画出平面点阵的素单位， 该单位是平面六方单位，

16、 其形状与密置单层的点阵素单位一样，每个单位也只包含1 个点阵点，但它代表 2 个球。等径圆球密置双层是两个密置层作最密堆积所得到的唯一的一种堆积方式。在密置双层结构中， 圆球之间形成两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。前者由 3个相邻的 A球和1 个 B 球或 3 个相邻的 B 球和 1 个 A 球构成。后者则由 3 个相邻的 A 球和 3个相邻的 B 球构成。球数 :四面体空隙数 : 八面体空隙数 = 2 : 2 :1【8.10 】金属铜属于 A1 型结构， 试计算（ 111）、（ 110）和（100）等面上铜原子的堆积系数。解：参照金属铜的面心立方晶胞， 画出 3 个晶面上原子的分布情况

17、如下 （图中未示出原子的接触情况） ：精彩文档实用标准文案（ 111）面是密置面，面上的所有原子作紧密排列。该面还是的铜原子的堆积系数等于三角形单位中球的总最大截面积除以三角形的面积。三角形单位中包含两个半径为 R 的球1 13 326 ，所以该面上原子的堆积系数为：2R20.9062R23R23【8.11 】 金属铂为A1 型结构， 立方晶胞参数 a392.3 pm ， Pt 的相对原子质量为 195.0 ，试求金属铂的密度及原子半径。解：因为金属铂属于A1 型结构，所以每个立方晶胞中有4 个原子。因而其密度为：D4M4 195.0 g mol 1a3 N A392.310 10 cm36.

18、0221023 mol121.45g cm 3a和原子半径 R 的A1 型结构中原子在立方晶胞的面对角线方向上互相接触，因此晶胞参数关系为 a 2 2R ，所以：Ra392.3 pm2222138.7 pm【8.12 】 硅的结构和金刚石相同，Si 的共价半径为 117pm ，求硅的晶胞参数，晶胞体积和晶胞密度。解：硅的立方晶胞中有 8 个硅原子， 它们的坐标参数与金刚石立方晶胞中碳原子的坐标参数相同。硅的共价半径和晶胞参数的关系可通过晶胞对角线的长度推导出来。 设硅的共价半径为 rSi ，晶胞参数为 a ，则根据硅原子的坐标参数可知，体对角线的长度为 8rSi 。而体对角线的长度又等于3a

19、，因而有 8rSi3a ，所以：a8 rSi8117 pm540 pm33晶胞体积为：83Va3117 pm1.58 108 pm33晶体密度为：D8 8.29g mol 18311710 10 cm6.022 1023 mol 132.37g cm 3金刚石、硅和灰锡等单质的结构属立方金刚石型（ A4 型），这是一种空旷的结构型式，原子的空间占有率只有 34.01%。精彩文档实用标准文案【8.13 】已知金属钛为六方最密堆积结构，钛原子半径为146 pm ，试计算理想的六方晶胞参数及晶体密度。解：晶胞参数为：ab2R2146 pm 292 pmc46R46146 pm 477 pm晶体密度为

20、：33D2Mabc sin120N A2 47.87g mol 1247710 10cm3 6.0221023 mol 1292 10 10 cm24.51g cm 3【 8.14 】 铝为面心立方结构，密度为2.70g cm 1，试计算它的晶胞参数和原子半径。用Cu Ka 射线摄取衍射图，33 衍射线的衍射角是多少？解：铝为面心立方结构，因而一个晶胞中有4 个原子。由此可得铝的摩尔质量M、晶胞参数a ，晶体密度 D 及 Avogadro 常数 N A 之间的关系为： D4M / a3N A ，所以，晶胞参数：111a4M3426.98g mol3DN A2.70g cm 36.022 102

21、3mol 1404.9 pm面心立方结构中晶胞参数a与原子半径 R 的关系为 a2 2R ，因此，铝的原子半径为：a404.9 pmR22143.2 pm22根据 Bragg 方程得：sin2dhkl将立方晶系面间距dhkl ，晶胞参数 a 和衍射指标 hkl 间的关系代入，得：1sinh2 k 2l 2154.2pm323232 22a2404.9pm0.989481.7【8.15 】 金属纳为体心立方结构，a429 pm ，计算：（a） Na 的原子半径；（b） 金属钠的理论密度；（d） （110）的间距。解：（a） 金属钠为体心立方结构， 原子在晶胞体对角线方向上互相接触， 由此推得原子

22、半径 r 和晶胞参数 a 的关系为：精彩文档实用标准文案r1 3a4代入数据得：r3185.8 pm429 pm（b）4每个晶胞中含两个钠原子，因此，金属钠的理论密度为：D2M222.99 g mol1a3 N A429 10 10 cm36.0221023 mol 10.967g cm 3d 110a429 pm12021/ 2303.4 pm122（c）【8.16 】 金属钽为体心立方结构，a 330 pm ，试求：（a） Ta 的原子半径；（b） 金属钽的理论密度（ Ta 的相对原子质量为 181）；（c） （ 110）面的间距（d） 若用154 pm 的 X 射线，衍射指标为220 的衍射角的数值是多少？解：（a）钽原子的半径为：r1 3a3330 pm143 pm（b）44金属钽的理论密度为：D2M2181g mol 1a3 N A33010 10 cm36.022 10 23mol 116.7g cm 3（c）（ 110）点阵面的间距为：d 110a330 pm233 pm12 12（d）根据 Bragg 方程得：sin 2202d 22002 2