广东省东莞市学年高一上学期期末数学试题.docx
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广东省东莞市学年高一上学期期末数学试题
广东省东莞市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＜13，x∈N}，则A∩B等于（）
A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2}D．{0，1，2}
2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．y＝1，yB．y＝x2，y＝（x+1）2
C．y＝x，yD．y＝|x|，y
3．若函数y＝ax﹣1+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点P，则点P的坐标是（）
A．（1，3）B．（1，1）C．（3，1）D．（2，2）
4．已知底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积是（）
A．πB．C．D．
5．已知直线经过点（1，﹣2）且与直线2x+3y＝1垂直，则l的方程为（）
A．2x+3y+4＝0B．2x+3y﹣8＝0C．3x﹣2y﹣7＝0D．3x﹣2y﹣1＝0
6．函数f（x）＝log3x的零点所在的区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
7．已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）
A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a
8．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为40，则侧视图中的a＝（）
A．5B．6C．12D．18
9．若函数f（x）＝ax3+bx+1（ab≠0）的图象上有两点A，B，且它们的坐标分别为A（2017，2018）和B（﹣2017，m），则实数m的值为（）
A．2016B．﹣2018C．﹣2017D．﹣2016
10．如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，AA1＝1，底面三角形A1B1C1是边长为2的正三角形，E是BC中点，则下列说法正确的是（）
①CC1与AB1所成角的余弦值为
②AB⊥平面ACC1A1
③三角形AB1E为直角三角形
④A1C1∥平面AB1E
A．①②B．③④C．①③D．②④
11．对于任意x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]＝1，[﹣2.1]＝﹣3定义R上的函数，f（x）＝[2x]+[4x]，且A＝{y|y＝f（x），0≤x≤1}，则集合A中所有元素的和为（）
A．13B．14C．15D．16
12．已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．函数f（x）＝ln（2x+1）的定义域是_____．
14．已知两条平行直线l1：
3x+my+5＝0，l2：
6x﹣8y+25＝0，则直线l2，l2之间的距离是_____．
15．已知四棱锥P﹣ABCD满足PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，且底面ABCD为正方形，则该四棱锥的外接球的体积为_____．
三、解答题
16．已知函数，若不式对任意恒成立，则实数的取值范围是________.
17．已知集合A＝{x|﹣2≤2x﹣1≤5}，集合B＝{x|x≥a}．
（1）当a＝1时，求（∁RB）∩A；
（2）若A∪B＝B、求实数a的取值范围．
18．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2﹣x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）（x≠0），求证：
函数g（x）在（0，+∞）单调递增．
19．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，每桶水的进价是8元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
9
10
11
12
13
14
日均销售量/桶
550
500
450
400
350
300
请根据以上数据分析，这个店怎样定每桶水的单价才能获得最大利润？
最大利润是多少？
20．已知△ABC的边AB所在直线方程为y＝3x，BC所在直线方程为y＝ax+12，AC边上的高BD所在直线方程为y＝﹣x+8．
（1）求实数a的值；
（2）若AC边上的高BD，求边AC所在的直线方程．
21．如图，四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，BE⊥平面ABCD．
（1）求证：
AC⊥平面BED；
（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，AB＝2，求三棱锥E﹣ABD的体积．
22．已知函数f（x）＝x|x﹣a|+2x（a∈R）．
（1）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若存在实数a∈[﹣4，4]使得关于x的方程f（x）﹣tf（a）＝0恰有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
求出集合由集合的交运算即可求解
【详解】
又
故选：
D
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式解法，属于基础题.
2．C
【分析】
根据相等函数需函数的三要素：
定义域、值域、对应关系相同即可判断.
【详解】
对于A，定义域为，定义域为且，定义域不同，
故A不正确；
对于，与对应关系不同，故B不正确；
对于C，与对应关系相同，定义域都为，故为同一函数，故C正确；
对于D，定义域为，定义域为，故D不正确；
故选：
C
【点睛】
本题主要考查函数的基本要素，函数的三要素：
定义域、值域、对应法则，属于基础题.
3．A
【分析】
根据指数函数过定点即可求解.
【详解】
函数过定点，则，解得
所以
故选：
A
【点睛】
本题主要考查指数函数的性质，需掌握指数函数过定点，属于基础题.
4．A
【分析】
利用底面半径为1的圆锥侧面展开图是一个半圆，求出圆锥的母线长，再由底面半径与母线长求出圆锥的高，由锥体的体积公式即可求解.
【详解】
设圆锥的母线长为，则
，
设圆锥的高为
所以圆锥的体积
故选：
A
【点睛】
本题主要考查圆锥的体积公式，解题的关键借助圆锥的底面周长与圆锥侧面展开的弧长相等求出母线长度，熟记锥体体积公式，属于基础题.
5．C
【分析】
根据两条直线垂直，斜率之积等于求出直线的斜率，再由点斜式方程即可求解.
【详解】
由直线与直线垂直，则
所以，
所以直线的方程为：
，
整理可得，
故选：
C
【点睛】
本题主要考查由直线位置关系确定斜率关系以及点斜式方程，属于基础题.
6．B
【分析】
根据零点存在性定理即可求解.
【详解】
由在单调递增，
，
所以
由函数的零点存在性定理可知零点所在的区间为,
故选：
B
【点睛】
本题主要考查零点存在性定理，需掌握零点存在性定理的内容，属于基础题.
7．D
【分析】
根据指数函数的单调性即可比较，
【详解】
，
故选：
D
【点睛】
本题主要考查指数与指数函数的单调性，属于基础题.
8．B
【分析】
由已知三视图复原的几何体是以俯视图四边形为底面，以正视图的高为高的四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出即可.
【详解】
三视图复原的几何体是底面以的矩形，一条侧棱垂直于底面高为，
所以四棱锥的体积为：
，所以
故选：
B
【点睛】
本题立体几何的三视图以及棱锥的体积公式，解题的关键是根据三视图复原几何体的结构特征，属于基础题.
9．D
【分析】
为奇函数，由奇函数的定义可知，
又函数过和，代入上式即可求出的值.
【详解】
由，则
由函数的奇偶性定义易知为奇函数
所以
又因为函数过、两点，
所以，
所以
故选：
D
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记奇偶性的特征是解题的关键，属于基础题.
10．C
【分析】
根据异面直线所成角的求法可求解①；由线面垂直的定义可判断②；由线面垂直的判定定理可判断③；由线面平行的定义可判断④；
【详解】
根据题意可知，所以与的夹角即为，又因为
底面，且，，所以
即，故①正确；
由上下底面为正三角形可知，所以与面不垂直，根据线面垂直的定义可判断②不正确；
由底面为等边三角形，为中点可得，又因为，
底面，所以底面，所以，
所以，即为直角三角形，故③正确；
因为所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，所以与平面相交，故④不正确；
故选：
C
【点睛】
本题主要考查直线与平面的位置关系以及异面直线所成的角，需掌握立体几何中的定义和判定定理，考查学生的空间想象能力与推理能力.
11．B
【分析】
利用分类讨论思想求出中所有的元素，由此能求出中所有的元素的和.
【详解】
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以集合所有元素的和为
故选：
B
【点睛】
本题主要考查集合中的元素，解题的关键运用分类讨论的思想求出集合中的元素，属于中档题.
12．B
【分析】
作出函数的图像，设，从而可化条件为方程有两个根，利用数形结合可得，，根据韦达定理即可求出实数a的取值范围.
【详解】
由题意，作出函数的图像如下，
由图像可得，
关于的方程有且仅有6个不同的实数根，
设，
有两个根，不妨设为；
且，
又
故选：
B
【点睛】
本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.
13．．
【分析】
由对数函数的真数大于零即可求解.
【详解】
由，
所以，即
所以函数的定义域为，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查对数函数的定义域，需掌握对数函数真数大于零，属于基础题.
14．．
【分析】
由两直线平行斜率（斜率存在）相等求出，再根据两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】
由已知两条直线：
，：
平行，
则，解得，
所以：
，即的方程为
所以、之间的距离
故答案为：
【点睛】
本题主要考查两直线平行的条件以及两平行线间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.
15．．
【分析】
计算出四棱锥的外接球半径，由球的体积公式：
即可求解.
【详解】
由已知，四棱锥为正四棱锥，设外接球半径为，
作底面
，
同理可得
所以
所以外接球的体积为，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查立体几何的内切外接问题，解此题的关键找到外接球的球心和半径，同时要熟记球的体积公式，属于中档题.
16．
【分析】
根据函数的奇偶性及单调性，把函数不等式转化为自变量的不等式，这个问题就转化为，从二次函数的观点来分析恒小于零问题。
【详解】
易证为奇函数，∴
∴在上单调递增
∴
∴解得∴实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】
利用函数的奇偶性及单调性把函数不等式转化为自变量的不等式，对于二次函数，恒成立；恒成立。
17．
（1）；
（2）．
【分析】
（1）首先求出∁RB＝{x|x＜1}，根据集合的交集运算即可求解.
（2）由，得出，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】
（1），a＝1时，B＝{x|x≥1}，
∴∁RB＝{x|x＜1}，；
（2）∵A∪B＝B，
∴A⊆B，，，
∴，
∴实数a的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及由集合的包含关系求参数的取值范围，考查学生的计算能力，属于基础题.
18．
（1）f（x）．
（2）证明见解析
【分析】
（1）设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝x2+x，利用函数的奇偶性即可求解.
（2）根据函数单调性定义即可证明.
【详解】
（1）若x＜0，则﹣x＞0，
则f（﹣x）＝x2+x，
∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝x
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