届四川省自贡市高三第一次诊断性考试数学文试题word版含答案.docx
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届四川省自贡市高三第一次诊断性考试数学文试题word版含答案
2021届四川省自贡市高三第一次诊断性考试
数学(文)试题
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则为()
A.B.C.D.
2.在区间内任取一个实数满足的概率是()
A.B.C.D.
3.已知复数,则在复平面内对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.已知函数的定义域为,为常数.若:
对,都有;:
是函数的最小值,则是的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知直角坐标系中点,向量,则点的坐标为()
A.B.C.D.
6.已知,则等于()
A.B.C.D.
7.已知,则()
A.B.C.D.
8.某企业节能降耗技术改造后,在生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据如下表所示:
3
4
5
6
3
4
若根据表中数据得出关于的线性回归方程为,则表中的值为()
A.B.C.D.
9.将函数的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为,则函数的单调递增区间()
A.B.
C.D.
10.设,则对任意实数,若,则()
A.B.C.D.
11.若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图,则输出的等于()
A.B.21C.22D.23
12.设函数是上的偶函数,当时,,函数满足,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直,则实数.
14.设实数满足,则的最小值为.
15.已知一个多面体的三视图如图所示:
其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形,俯视图是边长为1的正方形,若该多面体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为.
16.设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的拐点,某同学经过探究发现:
任何一个三次函数都有拐点,任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心,设函数,利用上述探究结果
计算:
.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
在中,的对边分别为,,的面积为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
18.(本小题满分12分)
已知数列是公差为2的等差数列,数列满足,若时,.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,求的前项和.
19.(本小题满分12分)
甲、乙两位射击运动员,在某天训练中已各射击10次,每次命中的环数如下:
甲78795491074
乙9578768677
(Ⅰ)通过计算估计,甲、乙二人的射击成绩谁更稳;
(Ⅱ)若规定命中8环及以上环数为优秀,请依据上述数据估计,在第11次射击时,甲、乙人分别获得优秀的概率.
20.(本小题满分12分)
如图,三棱柱中,侧面,,且.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求三棱锥的体积..
21.(本小题满分12分)
已知函数(为自然对数的底数),.
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)若,求的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数),现以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出直线和曲线的普通方程;
(Ⅱ)已知点为曲线上的动点,求到直线的距离的最小值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知是常数,对任意实数,不等式都成立.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,求证:
.
2021届四川省自贡市高三第一次诊断性考试
数学(文)试题参考答案
一、选择题
1-5:
BBABC6-10:
ACDCB11、12:
CB
解析:
2.本题考查对数函数的基本性质,,即,根据题中所给条件符合的为3(在2,3之间)故概率为.
5.,设,则.
6.∵故,而,
(巧妙转换).
7.因为,,..
8.,由回归方程:
,解得.
10.定义域为,∵,
∴是奇函数,∵在上是增函数,故在上为增函数,而,所以.
11.由已知中的程序框图得:
该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件:
①被3除余1,②被5除余2,最小为两位数,故输出的.
12.当时,是增函数,且,当时,是减函数,且,故函数在上是减函数,∵,∴,解得或.
二、填空题
13.114.815.16.76
试题解析:
13.因为,∴..
14.作出不等式组表示的平面区域如图:
根据图形得:
当直线经过点时取得最大值,
由解得:
,∴.
15.由三视图知几何体为四棱锥,且四棱锥的一条侧棱垂直于底面,高等于1,其底面是边长为1的正方形,∴四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球,∴外接球的直径为,∴外接球的表面积.
16.由,∴所以,由得.
∴函数的对称中心为,∴,故设
,则,
两式相加得.
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)已知,,
因为,即,解得,
由余弦定理得:
解得(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
由于是三角形的内角,得,
所以(12分)
18.解:
(Ⅰ)由数列满足,,
当时,,即,
又因为数列是公差为2的等差数列,所以(3分)
所以.(6分)
(Ⅱ),
,
∴,
整理(裂项)
∴(12分)
19.解:
(Ⅰ)∵,,
∴,
,
∵,
∴乙比甲的射击成绩稳定.
(Ⅱ)由题意得:
甲运动员获得优秀的概率为,乙运动员为,
则甲、乙在第11次射击中获得优秀次数的情况为取值0、1、2,
∴;
;
.
∴甲、乙两人分别获得优秀的概率:
(12分)
20.解:
(Ⅰ)证明:
取中点,连接,,
∵,∴(1分)
又,∴(2分)
∵,∴(3分)
又(4分)
∴(5分)
(Ⅱ)由条件得:
(6分)
∵三棱柱中,侧面,
,且,
∴,,.(9分)
∴.(12分)
21.解:
(Ⅰ)∴,
又在上递增,且,
∴当时,,时,,
故为极值点,∴(4分)
(Ⅱ)得,
①当时,在上单调递增,时,
与相矛盾;
②当时,,得:
当时,,
即,
∴,(9分)
令,则,
∴,,
当时,,
即当,时,的最大值为,
∴的最大值为.(12分)
22.解:
(Ⅰ)直线:
消去参数得普通方程(2分)
由得,
由,以及,
整理得:
(2分)
(Ⅱ)由得圆心坐标为,半径,
则圆心到直线的距离为:
,
而点在圆上,即(为圆心到直线的垂足点)
所以到直线的距离最小值为.
23.解:
(Ⅰ),
,
∵对任意实数,不等式都成立,
∴(4分)
(Ⅱ)证明:
,
∵,
∴,
∴,
即(6分)