数值分析实验报告模板12信息.docx
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数值分析实验报告模板12信息
院系：
数学与统计学学院
专业：
信息与计算科学
年级：
2012级
课程名称：
数值分析
学号：
姓名：
实验成绩：
指导教师：
实验名称：
（填写样本:
实验一:
Lagrange插值）
实验日期2015年4月17日（填写做实验当日日期）
实验目的
实验目的与要求
1、了解插值问题的意义；
2、熟悉并掌握Lagrange插值的构造原理；
3、通过本实验加深对Lagrange插值基函数以及插值多项式的理解；
实验内容
（填写：
一、实验题目；二、实验要求；三、实验的基本步骤（包含具体求解过程、程序及实验结果分析）
实验内容：
给出一组数据
试构造具有
个节点的Lagrange插值多项式，用上述数据验证其正确性，并计算函数在
的近似值。
实验内容
程序：
functionyy=lagrange（x,y,xi）
m=length（x）;n=length（y）;
ifm~=n,error（'向量x与y的长度必须一致'）;
end
fork=1:
length（xi）%最外层循环用于输出结果
s=0;
fori=1:
m%外循环用于计算求和
z=1;
forj=1:
n%内循环
ifj~=i
z=z*（xi（k）-x（j））/（x（i）-x（j））;
end
end
s=s+z*y（i）;
end
yy=s
end
在命令窗口调用函数M文件lagrange，输出结果如下：
>>x=[0.56160,0.56280,0.56401,0.56521];
>>y=[0.82741,0.82659,0.82577,0.82495];
>>xi=[0.5626,0.5635,0.5645];
>>yi=lagrange（x,y,xi）
yi=
0.86280.82610.8254
心得体会
（填写：
从本次实验中学到了什么，是真实感受而非空话）
教师评语
实验名称：
（填写样本:
实验二:
Newton插值）
实验日期2015年4月24日（填写做实验当日日期）
实验目的
实验目的与要求
1、了解插值问题的意义；
2、熟悉并掌握Newton插值的构造原理；
3、通过本实验加深对Newton插值基函数以及插值多项式的理解；
4、熟练掌握Lagrange插值与Newton插值二者的区别。
实验内容
（填写：
一、实验题目；二、实验要求；三、实验的基本步骤（包含具体求解过程、程序及实验结果分析）
实验内容：
给出一组数据
1
2
3
4
0
-5
-6
3
试构造具有
个插值节点的Newton插值多项式，用上述数据验证其正确性，并计算函数在
的近似值。
实验内容
程序：
x=[1234];
y=[0-5-63];
r1=length（x）;
r2=length（y）;
H=[0000]';
f=y
（1）;
m=sym（'m'）;
xi=1.5;
fork=1:
r1
a（k）=0;
fori=1:
k
b（i）=y（i）;
forj=1:
k
ifi~=j
b（i）=b（i）/（x（i）-x（j））;
end
end
a（k）=a（k）+b（i）;
end
H（k）=a（k）;
end
forh=2:
r1
g=H（h）;
ford=1:
h
ifdg=g*（m-x（d））;
end
end
f=f+g;
end
H
f=simplify（f）
y1=subs（f,'m',xi）
yc=subs（f,'m',x）
输出结果：
H=
0
-5
2
1
f=
m^3-4*m^2+3
y1=
-2.6250
yc=
0-5-63
心得体会
（填写：
从本次实验中学到了什么，是真实感受而非空话）
教师评语
实验名称：
（填写样本:
实验三:
用Matlab数值求解常微分方程）
实验日期2015年5月8日（填写做实验当日日期）
实验目的
一、实验目的与要求：
1、熟悉几种常见的常微分方程数值解法的区别与联系；
2、掌握Matlab中的几种常见的常微分方程数值求解的命令；
3、从图形上，观察这几种数值解法哪个精度更好。
实验内容
（填写：
一、实验题目；二、实验要求；三、实验的基本步骤（包含具体求解过程、程序及实验结果分析）
二、实验内容：
利用Matlab中ODE23，ODE45，计算常微分方程的数值解，并画出二者与真实值的误差曲线图，比较哪个近似效果好。
题目如下：
1、求解初值问题
，
准确解为
。
比较准确解的曲线与近似解的曲线的误差。
观察在这两种命令下，哪个近似效果更好。
2、对于如下的常微分方程组：
其中
，利用ode45分别画出
的曲线图。
三、实验步骤
1、掌握Matlab中的ode23，ode45等相关命令；
2、上机操作，并画出相应的函数曲线图，以及误差图；
3、分析图像，得出结论，并整理实验报告。
实验内容
五、实验注意事项
1、命令格式：
[t,x]=ode45（'fname',[t0,tf],x0,options）;
2、题目2，对用的微分方程组的程序：
functionxdot=eq（t,x）
xdot=[a*（x
（2）-x
（1））;c*x
（1）-x
（1）*x（3）-x
（2）;x
（1）*x
（2）-b*x（3）
程序1：
functiony=funt（x,y）
y=y-2*x/y;
end
%%在命令窗口调用函数M文件
subplot（2,1,1）;
x0=0;xf=1;%自变量区间
y0=1;%初值
[x,y]=ode23（'funt',[x0,xf],y0）;%ode23求数值解
y2=sqrt（1+2*x）;%求精确解
plot（x,y,'b*',x,y2,'r-'）%通过图形比较ode23与精确解的误差
title（'ode23'）;%第一幅图标题
subplot（2,1,2）;
x0=0;xf=1;%自变量区间
y0=1;%初值
[x,y1]=ode45（'funt',[x0,xf],y0）;%ode45求数值解
y2=sqrt（1+2*x）;%求精确解
plot（x,y1,'k.',x,y2,'r-'）%通过图形比较ode45与精确解的误差
title（'ode45'）;%第二幅图标题
运行结果得如下：
程序2：
functiondy=Eq（t,y）%y
（1）=x,y
（2）=y,y（3）=z
dy=zeros（3,1）;%建立一个三维列向量
dy
（1）=10*（y
（2）-y
（1））;
dy
（2）=28*y
（1）-y
（2）-y
（1）*y（3）;
dy（3）=y
（1）*y
（2）-8*y（3）/3;
%在命令窗口调用函数M文件
[t,y]=ode45（@Eq,[0,30],[0.2,0.6,1]）;%表示在0~30秒内求解
subplot（3,1,1）;
plot（t,y（:
1））;%用ode45画出x-t的曲线图
title（'x-t图'）;
subplot（3,1,2）;
plot（t,y（:
2））%用ode45画出y-t的曲线图
title（'y-t图'）;
subplot（3,1,3）;
plot（t,y（:
3））;%用ode45画出z-t的曲线图
title（'z-t图'）;
运行结果得如下：
实验内容
心得体会
（填写：
从本次实验中学到了什么，是真实感受而非空话）
教师评语
实验名称：
（填写样本:
实验四:
Runge现象）
实验日期2015年5月15日（填写做实验当日日期）
实验目的
一、实验目的与要求
1、观察多项式插值问题的Runge现象，了解数值不稳定现象；
2、借助Lagrange插值，从图形中观察准确曲线与插值函数对应的曲线；
3、熟练掌握Matlab中的画图工具。
实验内容
（填写：
一、实验题目；二、实验要求；三、实验的基本步骤（包含具体求解过程、程序及实验结果分析）
二、实验内容：
对于函数
进行Lagrange插值，取不同的节点数
（如取：
），在区间
上取等距间隔的节点为插值点。
把准确曲线和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。
三、实验步骤
1、编写算法实现题目要求；
2、观察图形，并调整节点个数，看精度有哪些变化；
如
，或
，分别观察准确曲线与插值多项式的曲线的误差，回答：
是否插值节点越多，即插值多项式次数越高，精度越高？
3、验证分析实验结果，并整理报告；
四、实验注意事项
本程序的关键，需要调用实验1的Lagrange插值程序。
如果区间划分为10等份：
实验内容
程序
functiony=lagrange（x0,y0,x）
n=length（x0）;m=length（x）;
fori=1:
m
z=x（i）;
L=0.0;
forj=1:
n
T=1.0;
fork=1:
n
ifk~=j
T=T*（z-x0（k））/（x0（j）-x0（k））;
end
end
L=T*y0（j）+L;
end
y（i）=L;
end
x0=[-5:
1:
5];
y0=5./（1+x0.^2）;
x=[-5:
0.1:
5];
y=lagrange（x0,y0,x）;
y1=5./（1+x.^2）;
plot（x,y,'-r'）
holdon
plot（x,y1,'-b'）
holdoff
运行结果：
yy=
0.1923
yy=
6.1516
yy=
9.0219
yy=
9.7948
yy=
9.2292
yy=
7.8936
yy=
6.2011
yy=
4.4404
yy=
2.8022
yy=
1.4011
yy=
0.2941
yy=
-0.5036
yy=
-1.0065
yy=
-1.2480
yy=
-1.2730
yy=
-1.1310
yy=
-0.8717
yy=
-0.5416
yy=
-0.1816
yy=
0.1744
yy=
0.5000
yy=
0.7768
yy=
0.9936
yy=
1.1461
yy=
1.2358
yy=
1.2688
yy=
1.2551
yy=
1.2072
yy=
1.1392
yy=
1.0654
yy=
1
yy=
0.9558
yy=
0.9439
yy=
0.9731
yy=
1.0496
yy=
1.1767
yy=
1.3551
yy=
1.5825
yy=
1.8542
yy=
2.1630
yy=
2.5000
yy=
2.8548
yy=
3.2158
yy=
3.5711
yy=
3.9087
yy=
4.2170
yy=
4.4854
yy=
4.7045
yy=
4.8667
yy=
4.9664
yy=
5
yy=
4.9664
yy=
4.8667
yy=
4.7045
yy=
4.4854
yy=
4.2170
yy=
3.9087
yy=
3.5711
yy=
3.2158
yy=
2.8548
yy=
2.5000
yy=
2.1630
yy=
1.8542
yy=
1.5825
yy=
1.3551
yy=
1.1767
yy=
1.0496
yy=
0.9731
yy=
0.9439
yy=
0.9558
yy=
1
yy=
1.0654
yy=
1.1392
yy=
1.2072
yy=
1.2551
yy=
1.2688
yy=
1.2358
yy=
1.1461
yy=
0.9936
yy=
0.7768
yy=
0.5000
yy=
0.1744
yy=
-0.1816
yy=
-0.5416
yy=
-0.8717
yy=
-1.1310
yy=
-1.2730
yy=
-1.2480
yy=
-1.0065
yy=
-0.5036
yy=
0.2941
yy=
1.4011
yy=
2.8022
yy=
4.4404
yy=
6.2011
yy=
7.8936
yy=
9.2292
yy=
9.7948
yy=
9.0219
yy=
6.1516
yy=
0.1923
>>
心得体会
（填写：
从本次实验中学到了什么，是真实感受而非空话）
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