知识讲解直线与抛物线的位置关系基础.docx
《知识讲解直线与抛物线的位置关系基础.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知识讲解直线与抛物线的位置关系基础.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
知识讲解直线与抛物线的位置关系基础
直线与抛物线的位置关系
编稿：
张希勇
审稿：
李霞
【学习目标】
1•能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；
2•能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；
3•能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题【知识网络】
【要点梳理】
【高清课堂：
直线与抛物线的位置关系371713】
要点一、抛物线的定义
定义：
平面内与一个定点F和一条定直线I（I不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
F叫做抛物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线.
要点诠释：
上述定义可归结为“一动三定”：
一个动点，一定点F（即焦点），一定直线（即准线）定值1（即动点M到定点F的距离与定直线I的距离之比）.
要点二、抛物线的标准方程
抛物线标准方程的四种形式：
y2=2px,y2=_2px,x2=2py,x2=-2py（p0）
要点诠释：
求抛物线的标准方程应从定形”定式”和定值”三个方面去思考•定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；定式”根据形”设抛物线方程的具体形式；定值”是指用定义法或待
定系数法确定p的值.
要点三、抛物线的几何性质
范围：
｛xx^O｝，｛yy^R｝，
2
抛物线y=2px（p>0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x,y）的横坐
标满足不等式x>0当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
抛物线是无界曲线。
对称性：
关于x轴对称
抛物线y2=2px（p>0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线只有一条对称轴。
顶点：
坐标原点
2
抛物线y=2px（p>0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线的顶点坐标是（0,0）。
离心率：
e=1.
抛物线y2=2px（p>0）上的点M至憔点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。
用e表
示，e=1o
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。
要点三、直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系
将直线的方程y=kxm与抛物线的方程y2=2px（p>0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元
二次方程，其判别式为△.
2
ky_2py2pm=0
若k=0，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点;
若k=0
1厶〉0：
=直线和抛物线相交，有两个交点；
2厶二0=直线和抛物线相切，有一个公共点；
3△<0=直线和抛物线相离，无公共点.
直线与抛物线的相交弦
2
设直线y=kx+m交抛物线y=2px（p>0）于点R（Xi,yJ卫化山）,两点，则
|RP2匸J（X1—X2）+（yi—y2）
（Xi—X2）2[1（
y^y2）2]=,rk2|x^-X2|
同理可得|PP2|二
：
1^2|yi_y2|（^~0）
这里|Xi-X21,|yi-y|,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
|Xi-X2|=（XiX2）2—4xiX2
|yi-y21=：
（yiy2）-4yiy2
抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。
设A（Xi,yi）,B（X2,y2），则:
1焦点弦长|AB戶治・x2•P或|AB|=—为AB的倾斜角）
sina
2
2p2
2为X2,YiY^-p
4
3二--，其中|AF|叫做焦半径，|FAFx「
|FA||FB|p2
2p兀
4焦点弦长最小值为2p。
根据|AB|2可见，当：
•为—时，即ab垂直于x轴时，弦AB的长最
sin口2
短，最短值为2p。
要点诠释：
直线与圆锥曲线的位置关系和其他圆锥曲线与直线一样，注意其中方程思想的应用和解析几何的通性通法
【典型例题】
类型一：
抛物线的方程与性质
【高清课堂：
直线与抛物线的位置关系371713例1】
例1.顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M（4,8）的抛物线有几条？
求出它们的标准方程.
【解析】因为抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M（4,8），所以可设它的标准方程
为y=2px或x=2py（p.0）因为点M在抛物线上，所以64=8p或16=16p即p=8或p=1，因此，所求抛
物线有两条，它们的标准方程是y2=16x或x2=2y,
【变式1】若抛物线通过直线
x2+y2+6x=0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物
【解析】因为圆
C:
x2y2-2x2.2^0的圆心是1,--、2
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点1,-：
$2,
设标准方程为y2=2px,
因为点1^.2在抛物线上，所以--三彳=2p,
所以p=1,
所以所求抛物线方程为：
y2=2x。
故选B。
类型二：
直线与抛物线的位置关系
例2.过定点P（0,2）作直线I,使I与抛物线y2=4x有且只有一个公共点，这样的直线I共有
条.
【答案】3
【解析】如图，过点P与抛物线y2=4x仅有一个公共点的直线有三条：
二条切线、一条与x轴平行的
直线.
【总结升华】直线与抛物线只有一个公共点时要考虑相交于一点的情况，不要漏掉
举一反三：
【变式】已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为.
【答案】•••
|AF|+|BF|=Xa+Xb+1=3,
2
•••Xa+Xb=
•线段AB的中点到y轴的距离为XaXb
2
类型三：
抛物线的弦
【高清课堂：
直线与抛物线的位置关系371713例2]
例3•斜率为1的直线I经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长.
【解析】如图8-3-1,y2=4x的焦点为F（1,0），则I的方程为y=x—1.
y_4X消去y得x2—6x+1=0.y=x+1
设A（X1,y1）,B（x2,y2）贝UX1+X2=6.
又A、B两点到准线的距离为A,B，则
AA*BB‘=（%+1）+（x2+1）=（x1+x2）+2=6+2=8
【总结升华】抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
举一反三：
【变式】顶点在原点，焦点在x轴的抛物线截直线y=—2x—1所得的弦长|AB|=53，求抛物线的方
程.
【答案】y2=20x或y2=—12x.
例4.若直线I:
y=kx—2交抛物线y2=8x于A、B两点，且AB的中点为M（2,y。
），求y及弦AB的长.【解析】把y=kx—2代入y2=8x,得k2x2—（4k+8）x+4=0•设A（x1,y”，B（x2,y2）.
•••AB中点M（2,yo）,
二x1+x2=4，即4k?
8=4,
k2
解得k=2或k=-1.
又△=16k2+64k+64-16k2>0,
k>—1,・°・k=2,
此时直线方程为y=2x—2,
•-M（2,y。
）在直线上，
・yo=2,|AB|=,1k2|x2-人|=.5,42-4：
=215.
【总结升华】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想
也是解析几何的核心思想.
举一反三：
【变式】（2016商洛模拟改编）过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于AB两点，若线段AB中点的横坐标为3,则|AB等于•
【答案】8
【解析】抛物线的准线方程为x=—1,则AB中点到准线的距离为3—（—1）=4.由抛物线的定义得|AB
=8.
类型四：
抛物线的综合问题
例5.（2015福建文）已知点F为抛物线E:
y2=2px（p>0）的焦点，点A（2,m）在抛物线E上，且|AF|=3.
（I）求抛物线E的方程；
（H）已知点G（-1,0），延长AF交抛物线E于点B,证明：
以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线
【思路点拨】（I）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化•本题由|AF|=3可
得2•卫=3,可求p的值，进而确定抛物线方程；（H）欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与
2
直线GB相切.可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明/AGF
=/BGF,可转化为证明两条直线的斜率互为相反数.
【解析】解法一：
（I）（4分）由抛物线的定义得|AF|=2•卫.
2
P2
因为|AF|=3，即23，解得p=2,所以抛物线E的方程为y=4x.
（H）（8分）因为点A（2,m）在抛物线E:
y2=4x上，
所以m=_2、、2，由抛物线的对称性，不妨设A（2,2、②.
由A（2,22）,F（1,0）可得直线AF的方程为y=2、、2（x_1）.
Iy=2/2\x~^2
由，得2x-5x+2=0,
2
y=4x
解得x=2或x=—，从而BI—，…丿2.
212丿
又G（-1,0）,
2,2
3
所以22…02-、2|20
所以SY厂W—
2
GA相切
所以kGA+kG=0,从而/AGF=ZBGF这表明点F到直线GAGB的距离相等，故以F为圆心且与直线的圆必与直线GB相切.
解法二：
（I）同解法一.
（H）设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
2
因为点A（2,m）在抛物线E:
y=4x上，
所以m二2.2，由抛物线的对称性，不妨设A（2,2・、2）.
由A（2,2.,2）,F（1,0）可得直线AF的方程为y=2、&（x-1）.
解得x=2或x=—
2
又G（-1,0），故直线GA的方程为2、_2x—3y2：
2=0,
从而r
2「22「242
:
8~9一,17
又直线GB的方程为2.2x3y2...2=0,
4.2
2y/2+2yf2.\
所以点
F到直线GB的距离d=——,二I
J8+9
这表明以点F为圆心且与直线GAt目切的圆必与直线GB相切.
举一反三：
【变式1】定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标
yiy2
2
又设点A,B,M在准线l:
x=—1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N,则|AF|=|AA[=X1+1,|BF|=|BB/|=x2+丄,
44
111115
二x=—（X1+X2）=—（|AF|+|BF|—^>~（|AB|——）=-
222224
1
等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k（x—-）
4
y=k（x）+2222
由｛4得16kx—8（k+2）x+k=0
2
y=x
依题意|AB|=.1■k?
|X1—x|=1kX-2=1—L=3,
16kk
•••y=±—2即M（5,—2）,N（-,—）
24242
【变式2】已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点A（；4），则|PA|+|PM|的最小值是（）
7
9
A.-
2
B.4C.-D.5
2
【答案】C
【解析】设抛物线y2=2x的焦点为F，贝yF（1,0），又点A（7,4）在抛物线的外侧，抛物线的准线
22
1
方程为x=-1,
2
则|PM|=d—-，又|FA|+d=|PA|+|PF|决||=5,所以|PA|+|PM|里.故选C.
22
升级会员 