考研数学三真题与解析.docx
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考研数学三真题与解析
2005年考研数学（三）真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
（1）极限limxsin
22x
=.
x
x
1
（2）微分方程xy
y
0满足初始条件
y
（1）2的特解为______.
（3）设二元函数z
xex
y
（x1）ln（1
y），则dz
________.
（1,0）
（4）设行向量组（2,1,1,1），（2,1,a,a），（3,2,1,a），（4,3,2,1）线性相关，且a
1，则a=_____.
（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,
再从1,2,
X中任取一个数，记为
Y,则
P{Y2}=______.
（6）设二维随机变量（X,Y）
的概率分布为
X
Y
0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
已知随机事件{X
0}与{X
Y
1}相互独立，则a=
，b=
.
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a取下列哪个值时，函数
f
（x）2x3
9x2
12xa恰好有两个不同的零点.
（A）
2.
（B）
4.
（C）6.
（D）
8.
[
]
（8）设I1
cosx2
y2d
I2
cos（x2
y2）d,I3
cos（x2
y2）2d,其中
D
D
D
D{（x,y）x2
y2
1}，则
（A）
I3
I2
I1.
（B）I1
I2
I3.
（C）
I2
I1
I3.
（D）
I3
I1
I2.
[
]
（9）设an
0,n1,2,,若
an发散，
（1）n1an收敛，则下列结论正确的是
n1
n1
（A）
a2n1收敛，
a2n发散.
（B）
a2n收敛，
a2n1发散.
n
1
n1
n1
n1
（C）
（a2n1
a2n）收敛.
（D）
（a2n1
a2n）收敛.
[]
n
1
n
1
（10）设f（x）
xsinx
cosx,下列命题中正确的是
-1-
（A）
f（0）是极大值，
f（
）是极小值.
（B）f（0）是极小值，f（
）是极大值.
2
2
（C）
f（0）是极大值，f（
）也是极大值.
（D）
f（0）是极小值，f（
）也是极小值.
2
2
[
]
（11）以下四个命题中，正确的是
（A）
若f（x）在（0，1）内连续，则f（x）在（0，1）内有界.
（B）若f（x）在（0，1）内连续，则
f（x）在（0，1）内有界.
（C）若f（x）在（0，1）内有界，则
f（x）在（0，1）内有界.
（D）
若f（x）在（0，1）内有界，则
f
（x）在（0，1）内有界.
[
]
（12）设矩阵A=（aij）33
满足A*
AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵.若a11,a12,a13
为三个相等的正数，则
a11为
（A）
3
（B）
3.
（C）
1
（D）
3.
[
]
3
.
.
3
（13）设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，
对应的特征向量分别为
1,
2，则
1，A（1
2）线
性无关的充分必要条件是
（A）
1
0.
（B）
20.
（C）
1
0.
（D）
2
0.
[
]
（14）设一批零件的长度服从正态分布
N（,
2）
，其中
2
均未知.现从中随机抽取16
个零件，
测得样本均值x
20（cm），样本标准差s
1（cm），则
的置信度为0.90
的置信区间是
（A）
（20
1t0.05（16）,20
1t0.05（16））.
（B）
（20
1t0.1（16）,20
1t0.1（16））.
1
4
1
4
1
4
1
4
（C）
（20
t0.05（15）,20
t0.05（15））.
（D）
（20
t0.1（15）,20
t0.1（15））.
[
]
4
4
4
4
三
、解答题（本题共9小题，满分94
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.）
（15）（本题满分
8分）
求lim（1
x
1）.
x0
1ex
x
（16）（本题满分
8分）
设f（u）具有二阶连续导数，且
（,
）
f
（y）
yf
（x）
，求x
2
2g
y
2
2g
gxy
x
y
x
2
y
2.
（17）（本题满分
9分）
-2-
计算二重积分
x
2
y
2
1
d
，其中
D{（x,y）0x1,0y1}
.
D
（18）（本题满分9分）
求幂级数
（
1
1）x2n
在区间（-1,1）内的和函数S（x）.
n1
2n
1
（19）（本题满分
8分）
设f（x）,g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0,f（x）0,g（x）
0.证明：
对任何
a[0,1],有
a
1
f（x）g（x）dxf（a）g
（1）.
g（x）f
（x）dx
0
0
（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组
x1
2x2
3x3
0,
（i）2x1
3x2
5x3
0,
x1
x2
ax3
0,
和
（ii）
x1
bx2
cx30,
2x1b
2x2
（c
1）x30,
同解，求a,b,c的值.
（21）（本题满分
13分）
A
C
为正定矩阵，其中
A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m
n矩阵.
设D
B
CT
（I）计算PTDP，其中P
Em
A1C；
o
En
（II）利用（I）的结果判断矩阵
B
CT
A1C是否为正定矩阵，并证明你的结论.
（22）（本题满分13分）
设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
f（x,y）
1,0x
1,0y2x,
0,
其他.
求：
（I）（X,Y）的边缘概率密度
fX（x）,fY（y）；
（II）Z
2XY的概率密度fZ（z）.
（III）P{Y
1X
1}.
22
（23）（本题满分13分）
-3-
设X1,X2,,Xn（n2）
为来自总体N（0,
2
X为样本均值，记
）的简单随机样本，
YiXiX,i
1,2,,n.
求：
（I）
Yi的方差DYi,i
1,2,,n；
（II）Y1与Yn的协方差Cov（Y1,Yn）.
（III）若c（Y1Yn）2是2的无偏估计量，求常数c.
-4-
2005年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
（1）极限lim
xsin
2x
2
=
2.
x
x
1
【分析】
本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可
.
【详解】
limxsin
2x
2x
2
=limx
2
2.
x
x
1
x
x
1
（2）
微分方程xy
y0满足初始条件y
（1）
2的特解为
xy
2.
【分析】直接积分即可.
【详解】原方程可化为
（xy）
0，积分得
xy
C，
代入初始条件得
C=2，故所求特解为
xy=2.
（3）设二元函数z
xexy
（x
1）ln（1y），则dz
（1,0）
2edx
（e
2）dy
.
【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.
【详解】
z
exy
xex
y
ln（1
y）,
x
z
xex
y
x
1
y
1
y
于是dz
（1,0）
2edx
（e
2）dy.
（4）设行向量组（2,1,1,1），（2,1,a,a），（3,2,1,a），（4,3,2,1）
线性相关，且a
1
1
，则a=.
2
【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定
a.
【详解】
由题设，有
2
1
1
1
2
1
a
a
（a
1）（2a
1）0,得a1,a
1
，但题设a
1，故a
1.
3
2
1
a
2
2
4
3
2
1
（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为
X,再从1,2,
X中任取一个数，记为
Y,则
P{Y
2}=
13
.
48
【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式
且第一次试验的各种两两互不相容的结果即
为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】
P{Y
2}=P{X
1}P{Y
2X1}+P{X
2}P{Y
2X
2}
-5-
+P{X
3}P{Y
2X
3}+P{X
4}P{Y
2X4}
1
（0
1
1
1
13
=
2
3
）.
4
4
48
（6）设二维随机变量（X,Y）的概率分布为
X
Y0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
已知随机事件{X
0}与{X
Y
1}相互独立，则a=0.4
b=
0.1.
【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.
【详解】由题设，知a+b=0.5
又事件{X0}与{XY1}相互独立，于是有
P{X0,XY1}P{X0}P{XY1}，
即a=（0.4a）（ab）,由此可解得a=0.4,b=0.1
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）当a取下列哪个值时，函数
f（x）2x3
9x2
12xa恰好有两个不同的零点.
（A）2.（B）4.（C）6.
（D）8.
[B]
【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f（x）恰好有两个不同的零点.
【详解】
f（x）
6x2
18x
12=6（x
1）（x
2），知可能极值点为
x=1,x=2，且
f
（1）
5a,f
（2）
4
a，可见当
a=4时，函数f（x）
恰好有两个零点，故应选
（B）.
（8）设I1
cos
x2
y2d
I2
cos（x2
y2）d
I3
cos（x2
y2）2d
其中
D
D
D
D{（x,y）x2
y2
1}，则
（A）
I3
I2
I1.
（B）I1
I2
I3.
（C）
I2
I1
I3.
（D）
I3
I1
I2.
[A
]
【分析】
关键在于比较
x2
y2、x2
y2与（x2
y2）2在区域D
{（x,y）x2
y2
1}上的大小.
【详解】
在区域
D
{（
）
x
2
y
21}
上，有0
x
2
y
2
1，从而有
xy
1
x2
y2
x2
y2
（x2
y2）2
0
2
-6-
由于cosx在（0,
）
上为单调减函数，于是
2
0
cos
x2
y2
cos（x2
y2）
cos（x2
y2）2
因此
cos
x2
y2d
cos（x2
y2）d
cos（x2
y2）2d，故应选（A）.
D
D
D
（9）设an
0,n
1,2,
若
an发散，
（1）n1an收敛，则下列结论正确的是
n1
n1
（A）
a2n1收敛，
a2n发散.
（B）
a2n收敛，
a2n1发散.
n1
n1
n1
n1
（C）
（a2n
1
a2n）收敛.
（D）
（a2n1a2n）收敛.
[D]
n1
n
1
【分析】
可通过反例用排除法找到正确答案.
【详解】
取an
1
，则
an发散，
（1）n1an收敛，
n
n1
n1
但
a2n1与
a2n均发散，排除（A）,（B）选项，且
（a2n1a2n）发散，进一步排除（C）,
故应选（D）.
n1
n1
n1
事实上，级数
n1
（a2n1
a2n）的部分和数列极限存在.
（10）设f（x）xsinx
cosx,下列命题中正确的是
（B）
f（0）是极大值，f（
）是极小值.
（B）f（0）是极小值，
f（）是极大值.
2
2
（C）
f（0）是极大值，f（
）也是极大值.
（D）
f（0）是极小值，
f（）也是极小值.
2
2
[
B
]
【分析】先求出f（x）,f
（x），再用取极值的充分条件判断
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