考研数学三真题与解析.docx

1、考研数学三真题与解析2005 年考研数学（三）真题一、填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）（ 1）极限 lim x sin22x=.xx1（ 2） 微分方程 xyy0 满足初始条件y(1) 2 的特解为 _.（ 3）设二元函数 zxexy( x 1) ln(1y) ，则 dz_.(1,0 )（ 4）设行向量组 (2,1,1,1) ， (2,1, a, a) ， (3,2,1, a) ， (4,3,2,1) 线性相关，且 a1 ，则 a=_.（ 5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X,再从 1,2, X 中任取一个数，记为Y, 则P Y

2、 2 =_.（ 6）设二维随机变量 (X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件 X0 与XY1 相互独立，则 a=， b=.二、选择题 （本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 7）当 a 取下列哪个值时，函数f(x) 2x39x212 x a 恰好有两个不同的零点 .(A)2.(B)4.(C) 6.(D)8.（8）设 I1cos x 2y 2 d, I 2cos(x 2y 2 )d , I 3cos(x2y 2 ) 2d ,其中DDDD ( x, y) x2y 21 ，则(A

3、)I 3I 2I 1 .（B） I1I 2I 3 .(C)I 2I1I 3 .(D)I 3I 1I 2 .（ 9）设 an0, n 1,2, , 若an 发散，( 1)n 1 an 收敛，则下列结论正确的是n 1n 1(A)a2 n 1 收敛，a2 n 发散 .（ B）a2n 收敛，a2n 1 发散 .n1n 1n 1n 1(C)(a2n 1a2 n ) 收敛 .(D)(a2n 1a2n ) 收敛 .n1n1（ 10）设 f ( x)x sin xcos x ,下列命题中正确的是- 1 -(A)f(0) 是极大值，f () 是极小值 .（ B） f(0) 是极小值， f () 是极大值 .22

4、（ C）f(0) 是极大值， f () 也是极大值 .(D)f(0) 是极小值， f () 也是极小值 .22（ 11）以下四个命题中，正确的是(A)若 f ( x) 在（ 0， 1）内连续，则 f(x) 在（ 0， 1）内有界 .（B ）若 f ( x) 在（ 0， 1）内连续，则f(x) 在（ 0， 1）内有界 .（C）若 f ( x) 在（ 0， 1）内有界，则f(x) 在（ 0， 1）内有界 .(D)若 f ( x) 在（ 0，1）内有界，则f(x) 在（ 0， 1）内有界 .（ 12）设矩阵 A= (aij ) 3 3满足 A*AT ，其中 A* 是 A 的伴随矩阵， AT 为 A

5、的转置矩阵 . 若 a11 , a12 , a13为三个相等的正数，则a11 为(A)3(B)3.(C)1(D)3 .3.3（ 13）设 1 , 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2 ，则1，A( 12 ) 线性无关的充分必要条件是(A)10 .(B)2 0 .(C)10 .(D)20 .（ 14） 设一批零件的长度服从正态分布N ( ,2 )，其中,2均未知 . 现从中随机抽取 16个零件，测得样本均值 x20(cm) ，样本标准差 s1(cm) ，则的置信度为 0.90的置信区间是(A)(201 t0. 05 (16),201 t0. 05 (16).(B)( 2

6、01 t 0.1 (16),201 t0. 1 (16).14141414(C)(20t 0.05 (15),20t 0.05 (15).(D)(20t0 .1 (15),20t 0.1 (15).4444三、解答题（本题共 9 小题，满分 94分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（ 15）（本题满分8 分）求 lim ( 1x1 ).x 01 e xx（ 16）（本题满分8 分）设 f(u) 具有二阶连续导数，且( ,)f( y )yf( x)，求 x22 gy22 gg x yxyx2y2 .（ 17）（本题满分9 分）- 2 -计算二重积分x2y21d，其中D ( x, y)

7、 0 x 1,0 y 1.D（ 18）（本题满分 9 分）求幂级数(11) x 2n在区间 (-1,1) 内的和函数 S(x).n 12n1（ 19）（本题满分8 分）设 f(x),g(x) 在0， 1上的导数连续，且 f(0)=0, f ( x) 0 , g (x)0 .证明：对任何a 0,1 ,有a1f ( x) g ( x) dx f (a) g(1).g( x) f( x)dx00（20）（本题满分 13 分）已知齐次线性方程组x12x23x30,（ i ） 2x13x25x30,x1x2ax30,和（ ii ）x1bx2cx3 0,2x1 b2 x2(c1) x3 0,同解，求 a,

8、b, c 的值 .（ 21）（本题满分13 分）AC为正定矩阵，其中A,B 分别为 m 阶， n 阶对称矩阵， C 为 mn 矩阵 .设 DBC T(I) 计算 PT DP ，其中 PEmA1C ；oEn（ II ）利用 (I) 的结果判断矩阵BC TA 1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论 .（22）（本题满分 13 分）设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为f ( x, y)1, 0 x1,0 y 2x,0,其他.求：（ I） (X,Y) 的边缘概率密度f X ( x), f Y ( y) ；（II） Z2 X Y 的概率密度 f Z ( z).( III ) PY1 X1.22（23）

9、（本题满分 13 分）- 3 -设 X1 , X 2 , , X n (n 2)为来自总体 N(0,2X 为样本均值，记)的简单随机样本，Yi X i X ,i1,2, , n.求：（ I）Yi 的方差 DYi ,i1,2, , n；（II ） Y1 与 Yn 的协方差 Cov (Y1 ,Yn ).（ III ）若 c(Y1 Yn ) 2 是 2 的无偏估计量，求常数 c.- 4 -2005 年考研数学（三）真题解析一、填空题 （本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）（ 1）极限 limx sin2x2=2 .xx1【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的

10、等价代换进行计算即可.【详解】lim x sin2x2x2= lim x22.xx1xx1（ 2）微分方程 xyy 0 满足初始条件 y(1)2 的特解为xy2 .【分析 】 直接积分即可 .【详解 】 原方程可化为(xy)0 ，积分得xyC ，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2.（ 3）设二元函数 zxex y( x1) ln(1 y) ，则 dz(1,0 )2edx(e2)dy.【分析 】 基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】zex yxexyln(1y) ,xzxexyx1,y1y于是 dz(1,0 )2edx(e2)dy .（ 4）设行向量组 (2,1,1,1) ， (2

11、,1, a, a) ， (3,2,1, a) ， (4,3,2,1)线性相关，且 a11，则 a=.2【分析 】 四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】由题设，有211121aa(a1)( 2a1) 0 , 得 a 1, a1，但题设 a1，故 a1 .321a224321（ 5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为X, 再从 1,2, X 中任取一个数，记为Y, 则P Y2 =13.48【分析 】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分 .【详解】P Y2=PX1PY2X 1+PX2P

12、Y2 X2- 5 -+ PX3 PY2 X3+ PX4 PY2X 41(011113=23).4448（ 6）设二维随机变量 (X,Y) 的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件 X0 与XY1 相互独立，则 a= 0.4, b=0.1 .【分析】 首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定 a,b 的取值 .【详解 】 由题设，知 a+b=0.5又事件 X 0 与 X Y 1 相互独立，于是有PX 0,X Y 1 PX 0PX Y 1 ，即 a= (0.4 a)(a b) , 由此可解得 a=0.4, b=0.1二、选择题 （本

13、题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（ 7）当 a 取下列哪个值时，函数f (x) 2x39x212 x a 恰好有两个不同的零点 .(A) 2.(B) 4. (C) 6.(D) 8.B【分析 】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数 f(x) 恰好有两个不同的零点 .【详解】f (x)6x218x12 = 6( x1)( x2) ，知可能极值点为x=1,x=2 ，且f (1)5 a, f ( 2)4a ，可见当a=4 时，函数 f(x)恰好

14、有两个零点，故应选(B).（8）设 I1cosx2y 2 d, I 2cos(x 2y 2 )d, I 3cos(x2y 2 ) 2 d, 其 中DDDD ( x, y) x2y 21 ，则(A)I 3I 2I 1 .（B） I1I 2I 3 .(C)I 2I1I 3 .(D)I 3I 1I 2 . A【分析】关键在于比较x 2y 2 、 x2y 2 与 ( x 2y 2 ) 2 在区域 D( x, y) x 2y 21 上的大小 .【详解】在区域D(, )x2y2 1上，有 0x2y21，从而有x y1x2y 2x 2y 2( x2y2 ) 202- 6 -由于 cosx 在 (0,)上为单

15、调减函数，于是20cosx 2y2cos( x2y 2 )cos( x2y 2 ) 2因此cosx2y 2 dcos(x 2y 2 )dcos(x 2y 2 ) 2 d ，故应选 (A).DDD（ 9）设 an0, n1,2, 若an 发散，( 1)n 1 an 收敛，则下列结论正确的是n 1n 1(A)a2 n 1 收敛，a2 n 发散 .（ B）a2n 收敛，a2n 1 发散 .n 1n 1n 1n 1(C)(a2n1a2 n ) 收敛 .(D)(a2n 1 a2n ) 收敛 . D n 1n1【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】取 an1，则an 发散，( 1) n 1 an

16、 收敛，nn 1n 1但a2 n 1 与a2n 均发散，排除 (A),(B) 选项，且(a2n 1 a2 n ) 发散，进一步排除 (C),故应选 (D).n 1n 1n 1事实上，级数n 1(a2 n 1a2n ) 的部分和数列极限存在 .（ 10）设 f ( x) x sin xcos x ,下列命题中正确的是(B)f(0) 是极大值， f () 是极小值 .（ B） f(0) 是极小值，f ( ) 是极大值 .22（ C）f(0) 是极大值， f () 也是极大值 .(D)f(0) 是极小值，f ( ) 也是极小值 .22B【分析 】 先求出 f ( x), f( x) ，再用取极值的充分条件判断