版高考数学一轮复习 第五章 数列课时作业 理.docx

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版高考数学一轮复习第五章数列课时作业理

2019版高考数学一轮复习第五章数列课时作业理

第1讲　数列的概念与简单表示法

1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为（　　）

A．15B．16C．49D．64

2．在数列{an}中，已知a1＝1，且当n≥2时，a1·a2·…·an＝n2，则a3＋a5＝（　　）

A.B.C.D.

3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图X511.

图X511

他们研究过图X511

（1）中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图X511

（2）中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（　　）

A．289B．1024C．1225D．1378

4．已知数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2017＝（　　）

A.B．－C．2D．－2

5．（2015年辽宁大连模拟）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝（　　）

A．2＋lnnB．2＋（n－1）lnn

C．2＋nlnnD．1＋n＋lnn

6．（2014年新课标Ⅱ）若数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.

7．已知数列{an}满足：

a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝________，a2014＝________.

8．已知递增数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn＋2，则实数k的取值范围为________．

9．（2013年新课标Ⅰ）若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an＝________.

10．（2016年上海）无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和．若对任意n∈N*，Sn∈{2,3}，则k的最大值为________．

11．已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋1）n（n∈N*），则当n为多大时，an最大？

12．（2012年大纲）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.

（1）求a2，a3；

（2）求{an}的通项公式．

第2讲　等差数列

1．（2017年江西南昌二模）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，2a7－a8＝5，则S11＝（　　）

A．110B．55

C．50D．不能确定

2．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝（　　）

A．2B．－2

C.D．－

3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＋a7＋a13的值是一个确定的常数，则下列各式：

①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5.

其结果为确定常数的是（　　）

A．②③⑤B．①②⑤

C．②③④D．③④⑤

4．（2017年新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则数列{an}前6项的和为（　　）

A．－24B．－3C．3D．8

5．（2017年湖北七市4月联考）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：

今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：

几日相逢？

（　　）

A．9日B．8日C．16日D．12日

6．已知等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式x2＋x＋c≥0的解集是[0,22]，则使得数列{an}的前n项和最大的正整数n的值是（　　）

A．11B．11或12

C．12D．12或13

7．（2017年广东揭阳一模）已知数列{an}对任意的n∈N*都有an＋1＝an－2an＋1an，若a1＝，则a8＝__________.

8．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－10（n∈N*），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.

9．（2016年新课标Ⅱ）在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

10．（2014年大纲）数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.

（1）设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；

（2）求{an}的通项公式．

11．（2014年新课标Ⅰ）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

（1）证明：

an＋2－an＝λ；

（2）是否存在λ，使得{an}为等差数列？

并说明理由．

第3讲　等比数列

1．对任意的等比数列{an}，下列说法一定正确的是（　　）

A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列

2．（2016年河北衡水模拟）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝（　　）

A．80B．30C．26D．16

3．（2013年新课标Ⅰ）设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（　　）

A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2

C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an

4．（2017年广东深圳一模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·3n－1＋b，则＝（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

5．（2016年河南模拟）已知等比数列{an}的首项为，公比为－，其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（　　）

A.B.C.D.

6．（2017年北京）若等差数列{an}和等比数列满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝__________.

7．（2017年江西南昌二模）在等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，满足S7－4S6＋3S5＝0，则S4＝________.

8．（2017年广东深圳第二次调研）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：

“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？

”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝__________尺．

9．（2016年新课标Ⅰ）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求{bn}的前n项和．

10．（2016年新课标Ⅲ）已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5＝，求λ.

11．（2017年广东广州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{Sn}的前n项和Tn.

第4讲　数列的求和

1．（2017年辽宁鞍山一中统测）数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的前n项和Sn＝（　　）

A.B.

C.D.

2．若数列{an}的通项公式是an＝（－1）n·（3n－2），则a1＋a2＋…＋a10＝（　　）

A．15B．12C．－12D．－15

3．已知等差数列{an}满足a1>0，5a8＝8a13，则当前n项和Sn取最大值时，n＝（　　）

A．20B．21C．22D．23

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则数列{|an|}的前n项和Tn等于（　　）

A．6n－n2B．n2－6n＋18

C.D.

5．（2016年湖北七校2月联考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：

“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：

有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（　　）

A．192里B．96里C．48里D．24里

6．（2015年江苏）已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1（n∈N*），则数列的前10项和为________．

7．如图X541，它满足：

①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n≥2）行的第2个数是______________．

1

2　2

3　4　3

4　7　7　4

5　11　14　11　5

　……

图X541

8．（2017年安徽合肥第二次质检）已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n，则Sn＝__________.

9．（2016年浙江金华模拟）设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn＋1＝9an（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

10．（2017年广东佛山二模）已知{an}是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.

（1）求数列{an}，的通项公式；

（2）设cn＝anbn，求数列的前n项和Tn.

11．（2017年广东湛江二模）观察下列三角形数表，数表

（1）是杨辉三角数表，数表

（2）是与数表

（1）有相同构成规律（除每行首末两端的数外）的一个数表．

对于数表

（2），设第n行第二个数为an.（n∈N*）

（如a1＝2，a2＝4，a3＝7）

（1）归纳出an与an－1（n≥2，n∈N*）的递推公式（不用证明），并由归纳的递推公式求出{an}的通项公式an；

（2）数列{bn}满足：

（an－1）·bn＝1，求证：

b1＋b2＋…＋bn<2.

第5讲　合情推理和演绎推理

1．在平面几何中有如下结论：

正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝（　　）

A.B.C.D.

2．（2017年广东惠州三模）我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：

“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：

如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图X551，在平面直角坐标系中，图X551

（1）是一个形状不规则的封闭图形，图X551

（2）是一个上底为1的梯形，且当实数t取[0,3]上的任意值时，直线y＝t被图X551

（1）和图X551

（2）所截得的两线段长始终相等，则图

（1）的面积为__________.

（1）　　　

（2）

图X551

3．（2017年北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

①男学生人数多于女学生人数；

②女学生人数多于教师人数；

③教师人数的两倍多于男学生人数．

（1）若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_____________；

（2）该小组人数的最小值为__________．

4．观察下列等式：

12＝1

12－22＝－3

12－22＋32＝6

12－22＋32－42＝－10

照此规律，第n个等式为_____________________________________．

5．如图X552，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下的一个直角三角形按如图X552

（1）所标边长，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图X552

（2）所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OABC，若用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，则可以类比得到的结论是__________________．

（1）　　　　　　　　　

（2）

图X552

6．已知cos＝，cos·cos＝，cos·cos·cos＝，…，根据以上等式，可猜想出的一般结论是___________________________________．

7．（2017年东北三省四市一联）在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．

8．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b（n－m≥1，m，n∈N*），则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}（bn>0，n∈N*），若bm＝c，bn＝d（n－m≥2，m，n∈N*），则可以得到bm＋n＝________.

9．某同学在一次研究性学习中发现，以下5个式子的值都等于同一个常数．

①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；

②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；

③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；

④sin2（－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos48°；

⑤sin2（－25°）＋cos255°－sin（－25°）cos55°.

（1）试从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据

（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

10．在等差数列{an}中，a1＋a2＝5，a3＝7，记数列的前n项和为Sn.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）是否存在正整数m，n，且1

若存在，求出所有符合条件的m，n的值；若不存在，请说明理由．

第6讲　直接证明与间接证明

1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是（　　）

A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：

“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证

A．a－b>0B．a－c>0

C．（a－b）（a－c）>0D．（a－b）（a－c）<0

3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．

4．用反证法证明命题：

若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）存在有理数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设正确的是________．

①假设a，b，c都是偶数；

②假设a，b，c都不是偶数；

③假设a，b，c至多有一个偶数；

④假设a，b，c至多有两个偶数．

5．凸函数的性质定理：

如果函数f（x）在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f.已知函数y＝sinx在区间（0，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．

6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

_________________________________________________

________________________________________________________________________.

7．下表中的对数值有且仅有一个是错误的：

x

3

5

8

9

15

lgx

2a－b

a＋c

3－3a－3c

4a－2b

3a－b＋c＋1

请将错误的一个改正为________________．

8．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：

①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝__________.

9．已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

（1）求d及Sn；

（2）求m，k（m，k∈N*）的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65成立．

10．（2016年湖北武汉调研）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S8＝64.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：

＋>（n≥2，n∈N*）．

第7讲　数学归纳法

1．用数学归纳法证明：

（n＋1）（n＋2）·…·（n＋n）＝2n×1×3×…×（2n－1）（n∈N*），从“n＝k”到“n＝k＋1”左端需乘的代数式是（　　）

A．2k＋1B．2（2k＋1）

C.D.

2．用数学归纳法证明：

12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝，第二步证明由“k到k＋1”时，左边应加（　　）

A．k2B．（k＋1）2

C．k2＋（k＋1）2＋k2D．（k＋1）2＋k2

3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝（a≠1，n∈N*）时，当验证n＝1时，左边计算所得的式子是（　　）

A．1B．1＋a

C．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a4

4．用数学归纳法证明等式：

1＋2＋3＋…＋n2＝（n∈N*），则从n＝k到n＝k＋1时，左边应添加的项为（　　）

A．k2＋1

B．（k＋1）2

C.

D．（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2

5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n－1是31的整数倍时，当n＝1时，上式等于（　　）

A．1＋2B．1＋2＋22

C．1＋2＋22＋23D．1＋2＋22＋23＋24

6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1（n∈N＋）时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是（　　）

A．1项B．k－1项C．k项D．2k项

7．用数学归纳法证明“n3＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N*）能被9整除”，利用归纳法假设证明当n＝k＋1时，只需展开（　　）

A．（k＋3）3B．（k＋2）3

C．（k＋1）3D．（k＋1）3＋（k＋2）3

8．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由k推导到k＋1时，不等式左边增加的式子是________________．

9．是否存在常数a，b，c，使等式1×22＋2×32＋…＋n（n＋1）2＝（an2＋bn＋c）对一切正整数n都成立？

证明你的结论．

10．（2017年浙江）已知数列{xn}满足：

x1＝1，xn＝xn＋1＋ln（1＋xn＋1）（n∈N*）．

证明：

当n∈N*时，

（1）0＜xn＋1＜xn；

（2）2xn＋1－xn≤；

（3）≤xn≤.

第五章　数列、推理与证明

第1讲　数列的概念与简单表示法

1．A　解析：

a8＝S8－S7＝82－72＝64－49＝15.

2．B

3．C　解析：

第n个三角形数可表示为n（n＋1），第n个四边形数可表示为n2.故选C.

4．C　解析：

由an＝，得an＋1＝，而a1＝2，

则有a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2.故数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a4＝1.

所以T2017＝（a1a2a3a4）504a1＝1504×2＝2.

5．A　解析：

由已知，得an＋1－an＝ln（n＋1）－lnn.

所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，…，an－an－1＝lnn－ln（n－1），以上（n－1）个式子左、右分别相加，得an－a1＝lnn．所以an＝2＋lnn．故选A.

6.　解析：

由已知，得an＝1－，a8＝2，

∴a7＝1－＝，a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2.

同理，a4＝，a3＝－1，a2＝2，a1＝.

7．1　0　解析：

a2009＝a4×503－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.

8．（－3，＋∞）　解析：

由{an}为递增数列，得an＋1－an＝（n＋1）2＋k（n＋1）＋2－n2－kn－2＝2n＋1＋k>0恒成立，即k>－（2n＋1）恒成立，即k>[－（2n＋1）]max＝－3.

9．（－2）n－1　解析：

当n＝1时，a1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，

故＝－2，故an＝（－2）n－1.

当n＝1时，也符合an＝（－2）n－1.

综上所述，an＝（－2）n－1.

10．4　解析：

从研究Sn与an的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{an}由k个不同的数组成”的“不同”和“k的最大值”．本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等．当n＝1时，a1＝2或a1＝3；当n≥2时，若Sn＝2，则Sn－1＝2，于是an＝0，若Sn＝3，则Sn－1＝3，于是an＝0.从而存在k∈N*，当n≥k时，ak＝0.其中数列{an}：

2,1，－1，0,0,0，…满足条件，所以kmax＝4.

11．解：

∵an＋1－an＝（n＋2）n＋1－（n＋1）n

＝n·，而n>0，

∴当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝9时，an＋1－an＝0，即a10＝a9；

当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1

因此a1a11>a12>….

∴当n＝9或n＝10时，数列{an}有最大项，最大项为a9或a10.

12．解：

（1）由a1＝1与Sn＝an可得

S2＝a2＝a1＋a2⇒a2＝3a1＝3，

S3＝a3＝a1＋a2＋a3⇒a3＝a1＋a2＝4⇒a3＝6.

故所求a2，a3的值分别为3,6.

（2）当n≥2时，Sn＝an，①

Sn－1＝an－1，②

①－②，可得Sn－Sn－1＝an－an－1，即

an＝an－an－1⇔an＝an－1⇔＝.

故有an＝××…××a1＝××…××1＝.

而＝1＝a1，所以{an}的通项公式为an＝.

第2讲　等差数列

1．B　解析：

设公差为d，则2a7－a8＝2（a1＋6d）－（a1＋7d）＝a1＋5d＝a6＝5，S11＝11×＝11a6＝55.故选B.

2．D　解析：

因为S1，S2，S4成等比数列，有S＝S1S4，即（2a1－1）2＝a1（4a1－6），解得a1＝－.

3．A　解析：

由a1＋a7＋a13是一个确定的常数，得3a7是确定的常数，故②正确；S13＝＝13a7是确定的常数，故③正确；S8－S5＝a6＋a7＋a8＝3a7是确定的常数，故⑤正确．

4．A　解析：

设等差数列的公差为d，由a2，a3，a6成等比数列，可得a＝a2a6，即（1＋2d）2＝（1＋d）（1＋5d）．整理，可得d2＋2d＝0.∵d≠0，∴d＝－2.则{an}前6项的和为S6＝6a1＋d＝6×1＋