专题九 相似三角形 考点卡片中考数学二轮复习.docx

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专题九相似三角形考点卡片中考数学二轮复习

考点卡片

1．坐标确定位置

平面内特殊位置的点的坐标特征

各象限内点P的坐标特征：

①第一象限：

a＞0，b＞0；②第二象限：

a＜0，b＞0；③第三象限：

a＜0，b＜0；④第四象限：

a＞0，b＜0．

坐标轴上点P的坐标特征：

①x轴上：

a为任意实数，b＝0；②y轴上：

b为任意实数，a＝0；③坐标原点：

a＝0，b＝0．

两坐标轴夹角平分线上点P的坐标特征：

①一、三象限：

a＝b；②二、四象限：

a＝﹣b．

2．坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：

①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．

3．动点问题的函数图象

函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．

用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．

4．三角形的重心

三角形的重心是三角形三边中线的交点．

重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：

1．

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．

③重心到三角形3个顶点距离的和最小．

5．全等三角形的判定与性质

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

6．角平分线的性质

角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

注意：

①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：

如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

7．等腰三角形的性质

等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称：

等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．

8．等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．

9．等边三角形的性质

等边三角形的定义：

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：

等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．

等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

10．等边三角形的判定与性质

等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．

等边三角形的特性如：

三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．

等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．

11．直角三角形的性质

有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质1：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

性质2：

在直角三角形中，两个锐角互余．

性质3：

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

性质4：

直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．

12．含30度角的直角三角形

含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．

注意：

①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．

13．勾股定理

勾股定理：

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：

a＝

，b＝

及c＝

．

由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

14．等腰直角三角形

两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：

两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径；

若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝

+1，所以r：

R＝1：

+1．

15．三角形中位线定理

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

几何语言：

如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点

∴DE∥BC，DE＝

BC．

16．平行四边形的性质

平行四边形的概念：

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

平行四边形的性质：

①边：

平行四边形的对边相等．

②角：

平行四边形的对角相等．

③对角线：

平行四边形的对角线互相平分．

平行线间的距离处处相等．

平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．

②同底同高的平行四边形面积相等．

17．菱形的性质

菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式．

②菱形面积＝

ab．

18．矩形的性质

矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：

矩形的四个角都是直角；

③边：

邻边垂直；

④对角线：

矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

19．垂径定理

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理的推论

推论1：

平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：

平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

20．圆周角定理

圆周角的定义：

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：

圆周角必须满足两个条件：

①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：

半圆所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

注意：

①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

21．三角形的外接圆与外心

外接圆：

经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

外心：

三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．

22．直线与圆的位置关系

直线和圆的三种位置关系：

①相离：

一条直线和圆没有公共点．

②相切：

一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．

③相交：

一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．

判断直线和圆的位置关系：

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d

．

①直线l和⊙O相交⇔d＜r

②直线l和⊙O相切⇔d＝r

③直线l和⊙O相离⇔d＞r．

23．切线的性质

切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：

①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：

见切点，连半径，见垂直．

24．作图-轴对称变换

几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：

①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；

②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；

③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．

25．生活中的平移现象

1、平移的概念

在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．

2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．

3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．

26．旋转的性质

旋转的性质：

　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　旋转三要素：

①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．　　　　注意：

三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．

27．作图-旋转变换

旋转图形的作法：

根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．

28．比例的性质

比例的基本性质：

组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．

常用的性质有：

①内项之积等于外项之积．若

＝

，则ad＝bc．

②合比性质．若

＝

，则

＝

．

③分比性质．若

＝

，则

＝

．

④合分比性质．若

＝

，则

＝

．

⑤等比性质．若

＝

＝…＝

，则

＝

．

29．比例线段

对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如ab＝cd，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．

30．黄金分割

黄金分割的定义：

如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．

其中AC＝

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．

黄金三角形：

黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．

黄金三角形分两种：

①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：

；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：

．

黄金矩形：

黄金矩形的宽与长之比确切值为

．

31．平行线分线段成比例

定理1：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．

推论1：

如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

推论2：

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

32．相似图形

相似图形

我们把形状相同的图形称为相似图形．

相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：

①相似图形的形状必须完全相同；

②相似图形的大小不一定相同；

③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．

相似三角形

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．

33．相似多边形的性质

如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．

相似多边形对应边的比叫做相似比．

全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．

相似多边形的性质为：

①对应角相等；

②对应边的比相等．

34．相似三角形的性质

相似三角形的定义：

如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．

相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

相似三角形的周长的比等于相似比；

相似三角形的对应线段的比也等于相似比．

相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．

35．相似三角形的判定

平行线法：

平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

三边法：

三组对应边的比相等的两个三角形相似；

两边及其夹角法：

两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

两角法：

有两组角对应相等的两个三角形相似．

36．相似三角形的判定与性质

相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．

三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．

37．相似三角形的应用

利用影长测量物体的高度．①测量原理：

测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：

在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．

利用相似测量河的宽度．①测量原理：

测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：

通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．

借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．

38．作图-相似变换

两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．

相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．

39．位似变换

位似图形的定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

注意：

①两个图形必须是相似形；

②对应点的连线都经过同一点；

③对应边平行．

位似图形与坐标

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

40．作图-位似变换

画位似图形的一般步骤为：

①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．

借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．

注意：

①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．

41．射影定理

射影定理：

①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．

②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．

Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

①AD2＝BD•DC；

②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC．

42．相似形综合题

相似形综合题．

43．锐角三角函数的定义

在Rt△ABC中，∠C＝90°．

正弦：

我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．

即sinA＝∠A的对边除以斜边＝

．

余弦：

锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．

即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝

．

正切：

锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．

即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝

．

三角函数：

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．

44．解直角三角形

解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．

解直角三角形要用到的关系

①锐角、直角之间的关系：

∠A+∠B＝90°；

②三边之间的关系：

a2+b2＝c2；

③边角之间的关系：

sinA＝

＝

，cosA＝

＝

，tanA＝

＝

．