第90炼 取球问题.docx

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第90炼取球问题

第90炼取球问题

一、基础知识：

在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：

1、独立重复试验模型：

关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。

2、超几何分布模型：

关键词“不放回的抽取”

3、与条件概率相关：

此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响

4、古典概型：

要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。

5、数字问题：

在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。

二、典型例题：

例1：

一袋中有6个黑球，4个白球

（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率

（3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数的分布列，期望和方差

（1）思路：

因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。

第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为，从而能够得到第三次取到黑球的概率

解：

设事件为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”

（2）思路：

因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为

解：

设事件为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”

（3）思路：

本问依然属于独立重复试验模型，的取值为，则符合二项分布，即，所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列

解：

的取值为，依题意可得：

例2：

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球

（1）求取出的4个球中没有红球的概率

（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率

（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望

思路：

本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概率

（1）设事件为“甲盒中取出个红球”，事件为“乙盒中取出个红球”

则

设事件为“4个球中没有红球”

则

（2）设事件为“4个球中恰有1个红球”

（3）可取的值为

的分布列为：

例3：

甲、乙两袋中各装有大小相同的小球个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为、、，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．

（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量，求的分布列和数学期望．

解：

（1）设事件为“两只手中所取的球颜色不同”，则为“两只手中所取的球颜色相同”

（2）可取的值为

左手取球成功的概率

右手取球成功的概率

的分布列为

例4：

袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束

（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率

（2）记摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及其期望

（1）思路：

本题为有放回摸球，可理解为独立重复试验，如果摸球四次就停止，说明在这四次中一共摸到3次红球，且前三次有两次摸到红球，第四次又摸到红球。

通过红白球数量关系可知一次摸球中摸到红球的概率为，然后可按照分析列式并求出概率。

解：

设事件为“摸球四次即停止摸球“

解：

依题意可得：

在一次摸球中，摸到红球的概率为

（2）思路：

可知可取的值为，当时，摸球是通过完成5次后停止，所以可利用独立重复试验模型计算概率；当时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸球的次数（3次，4次，5次）分类讨论后再汇总

解：

可取的值为

的分布列为：

例5：

某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：

依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．

（1）求分别获得一、二、三等奖的概率；

（2）设摸球次数为，求的分布列和数学期望．

解：

（1）设为“获得等奖”

（2）摸球次数可取的值为

的分布列为：

例6：

学校游园活动有这样一个游戏项目：

甲箱子里装有3个白球，2个黑球；乙箱子里面装有1个白球，2个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱）

（1）求在一次游戏中

①摸出3个白球的概率

②获奖的概率

（2）求在三次游戏中获奖次数的分布列与期望

（1）思路：

本题的结果实质上是一个“拼球”的过程，即两个箱子各自拿球，然后统计白球的个数。

则①：

若摸出3个白球，则情况为甲2乙1。

②：

若获奖，则白球个数不少于2个，可分成白球有3个或有2个两种情况，分别求出概率再求和即可

解：

设为“甲箱子里取出个白球”，为“乙箱子里取出个白球”

①设事件为“摸出3个白球”

②设事件为“获奖”（即白球不少于2个）

（2）思路：

三次游戏可视为独立重复试验，所以获奖次数服从二项分布，由

（1）可得，从而可利用公式计算概率，列出分布列

解：

可取的值为，依题意可得：

的分布列为：

例7：

一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。

（1）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；

（2）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为，求的分布列和数学期望。

（1）思路：

此问可用古典概型解决，事件为“10个球中任意摸出3个球”，则，所求事件为“均是白球”，则，从而

解：

设事件为“3个球均为白球“

（2）思路：

按题目叙述可知对于摸3次球，由于是有放回的摸，所以相当于独立重复试验，结合的含义可知服从二项分布。

但“摸球成功”的概率还未知，所以先根据“摸球成功”的要求利用古典概型计算出一次成功的概率，再通过二项分布的公式计算的分布列即可

解：

设事件为“一次摸球成功”

的取值为，依题意可得：

的分布列为：

例8：

袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等.

（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（2）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.

（1）思路：

本题的特点在于每个编号都有3个球，若将这12个球视为不同元素，则可利用古典概型进行计算，设为“12个球中任取3个”，则，事件为“三个球数字各不相同”，则计数时第一步要先选出不同的三个编号，即，然后每个编号中都有3个小球可供选择，即，所以。

进而可计算出

解：

设事件为“三个球数字各不相同”

（2）思路：

依题意可知的取值为，依然用古典概型解决，但要明确取每个值时所代表的情况：

当时，只能3个球均为1号球；当时，说明至少有一个2号球，其余的用1号球组成，即，或者使用间接法：

从1,2号共6个球中先随意取三个，再减去不含2号球的情况，即个，同理可得：

时，至少有一个3号球，其余的球为1,2号球，所以由个，时，至少有一个4号球，其余的球为1,2,3号球，所以由个，进而求得概率得到分布列

解：

的取值为

的分布列为：

例9：

一个盒子中装有大小相同的小球个，在小球上分别标有的号码，已知从盒子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为的概率为，

（1）盒子中装有几个小球？

（2）现从盒子中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量（如取2468时，；取1246时，，取1235时，）

（1）思路：

以两球号码最大值为的概率为入手点，则该叙述等价于“取出一个号球和一个其它号码球的概率为，从而利用古典概型列出关于的方程并解出

解：

设事件为“两球号码最大值为”

即解得：

（2）思路：

由

（1）可得小球的编号为，结合所给的例子可知的取值为，其概率可用古典概型计算。

代表所取得数两两不相邻，可能的情况有，共5种；表示只有一对相邻的数或两对相邻的数（两队相邻的数之间不再相邻）；表示有三个相邻的数，与另一个数不相邻；表示四个数均相邻，共5个。

由于包含情况较复杂，所以可以考虑算出其他情况的概率再用1减即可。

解：

的取值为

的分布列为：

例10：

袋中装有35个球，每个球上分别标有的一个号码，设号码为的球重克，这些球等可能的从袋中被取出

（1）如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率

（2）如果不放回任意取出2球，试求它们重量相等的概率

（3）如果取出一球，当它的重量大于号码数，则放回，将拌均匀后重取；当它的重量小于号码数时，则停止取球，按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为，求的分布列和期望

思路：

（1）本题的球重与编号存在函数关系，要解得重量大于号码数的概率，先要判断出在35个球中，那些球的重量大于号码数，即解不等式，可解出或，所以的解集为共30个数，所以取出球重量大于号码数的概率为

解：

设事件为“取1球其重量大于号码数”

若球重量大于号码数，则

，解得：

或

的取值集合为，共30个元素

（2）思路：

不妨设取出的球的编号为，从而，可推得：

，从而取出球的组合为共4组，所以概率为

解：

设所取球的编号为，依题意可得：

取出球的组合为

设事件为“取出2球重量相等”

（3）思路：

依题意可知：

可取的值为，由

（1）可知球重量大于号码的概率为，因为是可放回的抽取，所以每次抽取为独立重复试验。

当时，可知取出的球重量小于号码数；当时，则第一次取出的球比号码数大，第二次取出的球比号码数小；当时，则前两次取出的球比号码数大（无论第三次如何都终止取球），从而求出概率得到分布列

解：

可取的值为，由

（1）可知取出球重量大于号码的概率

的分布列为：

三、历年好题精选

1、（2014，福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规