最大公约数和最小公倍数竞赛题.docx
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最大公约数和最小公倍数竞赛题
新课标七年级数学竞赛培训第32讲：
最大公约数和最小公倍数
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1.（3分）设a与b是正整数，且a+b=33，最小公倍数[a,b]=90,则最大公约数（a,b）=（）
A.1B.3C.11D.9
2.（3分）古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：
甲，乙，丙，丁，戊，已，庚，辛，壬，癸，地支有12
个：
子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如
下两列：
甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸…
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…
从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅••则第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（）
A.31B.
3.（3分）两个正数的和是60,1
61
N们的最小公倍数是273
C.91
则它们的乘积是（）
D.
121
A.273B.
4.（3分）2001的正约数的个数是
819
（）
C.
1199
D.
1911
A.3
B.
4
C.
6
D.
8
5.（3分）下面的四句话中正确的是（）
A.正整数a和b的最大公约数大于等于a
B.正整数a和b的最小公倍数大于等于ab
C.正整数a和b的最大公约数小于等于a
D.正整数a和b的公倍数大于等于ab
6.（3分）360>473和172X361这两个积的最大公约数是（）
A.43B.86C.172D.4
7.（3分）所有形如F…w的六位数（a,b,c分别是0〜9这十个数之一，可以相同，但a和）的最大公约数是（）
A.1001B.101C.13D.11
&（3分）用长为45cm,宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块.
A.6B.8C.12D.16
9.（3分）祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610,那么祖孙两人今年的年龄分别是（B）
A.70岁、23岁B.69岁、22岁C.115岁、14岁D.114岁、13岁
10.（3分）在正整数1,2,3,•••,100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）
A.33B.34C.35D.37
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20
11.（4分）a,b是彼此不相等的非零数字，则与4017的最大公约数是_一.
12.（4分）写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自
然数依次为1735,1736,1737,1738.
13.（4分）设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225.
（1）如果m和n的最大公约数为15,贝Um+n=__;
（2）如果m和n的最小公倍数为45,则m+n=.
14.（4分）两个正整数之和为667,其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有—组.
15.（4分）（a,b）表示两个正整数a和b的最小公倍数，例如[14,35]=70，则满足[x,y]=6,[y,z]=15的正整数组（x,y,z）共有组.
三、解答题（共8小题，满分100分）
16.（12分）甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆.现在改成每隔60m安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？
17.（12分）如图，一个圆圈上有n（nv100=个孔.小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳
动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔.他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4
个孔，结果还是跳到B;最后他每步跳过6孔，正好回到A孔.问这个圆圈上一共有多少个孔？
18.（12分）23个不同的正整数的和是4845,问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论，并说明你的理由.
19.（12分）张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张.如果已知x,y,z的最小公倍数为60,x和y的最大公约数为4,y和z的最大公约数为3,那么张华发出的新年贺卡是多少张？
20.（12分）在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1,2,3,•••,100.每盏电灯上
有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍
数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第100
个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的？
21.（12分）用整元的人民币购物，若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两种雪糕，一定可以把钱花
完，请证明这一结论.
22.（14分）已知两数和是60,它们的最大公约数与最小公倍数之和是84,求此二数.
23.（14分）甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？
新课标七年级数学竞赛培训第32讲：
最大公约数和最小公倍数
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1.（3分）设a与b是正整数，且a+b=33，最小公倍数［a,b］=90,则最大公约数（a,b）=（）
A.1
B.3
C.11
D.9
考点：
约数与倍数.2383486
专题：
特疋专题.
分析：
假设出（a,b）=x，得出x是a,b,a+b及［a,
b］的公约数，得出
x的值是x=1或x=3,进一步利用数的整
除性知识进行分析，得出符合要求的答案.
解答：
解：
令（a,b）=x，则x是a,b,a+b及［a,b］的公约数，
故x是33和90的公约数，知x=1或x=3.
当x=1时，a与b互质，而a+b=33，当a不能被3整除，则b不能被3整除，
而［a,b］=90,说明a、b至少有一个能被3整除.
当a能被3整除，由a+b=33,则b也能被3整除，
故（a,b）工1即xMl
当x=3时，即有（a,b）=3,
ab=［a,b］,（a,b）=3X90=32x5勺6而a+b=33,「.a=15,b=18,（a,b）=3.故选B.
2.（3分）古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：
甲，乙，丙，丁，戊，已，庚，辛，壬，癸，地支有12
个：
子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如
下两列：
甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸…
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…
从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅••则第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（）
A.31B.61C.91D.121
考点：
约数与倍数.
分析：
此题是关于排列组合问题，找出最小公倍数是关键.
解答：
解：
根据题意分析可得：
其中天干有10个，地支有12个.12与10的最小公倍数是60,故序号每隔60循环一次，故第2次甲和子在同一列时，该列的序号是61.故答案B
点评：
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.
3.（3分）两个正数的和是60,它们的最小公倍数是273,则它们的乘积是（）
A.273
B.819C.1199D.1911
考点：
:
约数与倍数.
专题：
计算题；数字问题.
分析：
先对273分解质因数273=3X7X13,所以，两个数为3,7,13中的任意两数的乘积.
解答：
解：
•••273=3>7X13,
•这两个数为3,7,13中的任意两个数的乘积，•••有3,7,13,21,39,91,273这七个数，又•••两数和为60,
•这两个数为21,39,
所以乘积为21>39=819.故选B.
点评：
本题主要考查了有关于最大公约数与最小公倍数的题目，解答此题时，先用273分解质因数，然后利用凑
项法”解答.
4.（3分）2001的正约数的个数是（）
A.3
B.4C.6D.8
分析：
先分解质因数2001=3X567，然后根据约数个数定理来解答.
解答：
解：
•••2001=3X667,
•••2001的正约数的个数是：
（1+1）X（1+1）=4.故选B.
点评：
本题考查了最大公约数与最小公倍数的知识点，在解答此题时，用到了约数个数定理：
对于一个数a可以
分解质因数：
a=a1?
a2a3…则a的约数的个数就是（门+1）（「2+1）（「3+1）••需要指出来的是，a1,a2,a3••都
12332
是a的质因数.r,r,r••是a1,a2,a3…的指数.比如，360=2X3X,所以360约数的个数是（3+1）X（2+1）
X（1+1）=24个.
5.（3分）下面的四句话中正确的是（）
A.正整数a和b的最大公约数大于等于a
B.正整数a和b的最小公倍数大于等于ab
C.正整数a和b的最大公约数小于等于a
D.正整数a和b的公倍数大于等于ab
分析：
运用特殊值法进行排除，例如3是6和9的公约数，小于6，所以正整数a和b的最大公约数大于等于a,
同理可得出符合要求的答案.
解答：
解：
A、3是6和9的公约数，小于6，所以排除A;
B、6和9的最小公倍数是18,小于54,所以排除B;
C、正整数a与b的最大公约数小于等于a是成立的；故C正确；
D、6和9的最小公倍数是18,小于54,所以排除D;故选C.
点评：
此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，利用特殊值法进行排除，是解决问题的最简捷办法.
6.（3分）360>473和172X361这两个积的最大公约数是（）
A.43
B.86C.172D.4
分析：
解决此类问题一般需要将这两个式子分解质因数，但由于361是一个质数，我们只要将172分解，再看一
看前面的式子中有没有这几个质因数就不难得出答案.
解答：
解：
•••361是质数且不能被473整除，172=2XX3,473=43X1,360=4>90,
•360X473和172>361这两个积的最大公约数是4>43=172.故选C.
点评：
此题主要考查最大公约数的求法，熟练掌握特殊的最大公约数的求法是解题的关键.
7.（3分）所有形如：
-：
■：
的六位数（a,b,c分别是0〜9这十个数之一，可以相同，但a和）的最大公约数是（）
A.1001B.101C.13D.11
分析：
首先表示出这个六位数，100000a+10000b+1000c+100a+10b+c，再进行分解因数，得出它们的最大公约数.
解答：
解：
•••100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=100100a+10010b+1001c
=1001（100a+10b+c）
1001是四位数，比100a+10b+c大，
•最大公约数一定是1001.故选：
A.
点评：
此题主要考查了最大公约数，以及正确表示一个六位数，将这个六位数正确分解成两个因数是解决问题的关键.
&（3分）用长为45cm,宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块.
A.6
B.8C.12D.16
分析：
'
45与30的最小公倍数90就是所求正方形的边长，然后用该正方形的面积除以每一块砖的面积即为所求.
解答：
解：
•••[45,30]=90（cm）,
•••所求正方形的面积是：
90X90=8100（cm）2,
•••铺成该正方形所需的砖的块数为：
8100-（45X30=6（块）；故选A.
9.（3分）祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610,那么祖孙两人今年的年龄分别是（B）
A.70岁、23岁B.69岁、22岁C.115岁、14岁D.114岁、13岁
考点：
:
约数与倍数.
分析：
首先先了解下合数质数的概念质数：
除了1和它本身外，没有别的因数的数是质数.合数：
除了1和它
本身外，还有别的因数的数是合数.再据题意把1610写成几个质数的及的形式，然后确定其答案.
解答：
i
解:
1610/2=805,805/5=161,161/7=23，所以由明年他们的岁数相乘是1610，可得
1610=2X5>7X23.
这里可以确定孙子的年龄和爷爷的年龄不能分别是
（1）2和805,
（2）5和322,（3）7和230,（4）35和
46.
假设孙子明年的年龄是2>7=14，那么今年孙子明年的年龄是14-1=13（质数）与已知矛盾，不成立.
如果由1610=2>5XX，设孙子明年的年龄是23,那么爷爷明年的年龄是2X5X7=70.
又23-仁22,70-仁69,22、69都是合数符合题意.
故答案：
分别是69岁、22岁，选B
点评：
此题主要考查了学生对质数、合数意义的理解和掌握.此题关键是把1610写成几个质数的积的形式.
10.（3分）在正整数1,2,3,•••,100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）
A.33
B.34C.35D.37
分析：
在1-n之间，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，同时能被2和3整除的数有|个.
236
解答：
解：
在正整数1,2,3,•••,100中，能被2整除的数有100吃=50（个）;能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有100吒勺6（个）,
所以，能被2整除但不能被3整除的数的个数是50-16=34（个）.故选B.
点评：
本题主要考查了有关于最大公约数与最小倍数的一道题.最小公倍数：
①6及6的倍数能冋时被2和3整
除;②10及10的倍数能同时被2和5整除；③15及15的倍数能同时被3和5整除；④30及30的倍数能同时被2、3和5整除.
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20
11.（4分）a,b是彼此不相等的非零数字，则I，与4017的最大公约数是39
分析：
将.<■改写成10101X1的形式，再将他与4017分别分解质因数，找出相同的因数，相乘即可求出最大公约数.
解答：
解：
t则恥止ab=abxw+止X0+^b=10101xab=3XX3X37xnb,
又•••4017=3X13X103，而ab是两位数，
•命引泌与4017的最大公约数是3X3=39.
点评：
本题主要考查求最大公约数的方法，熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键.
12.（4分）写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自
然数依次为1735,1736,1737,1738.
分析：
根据题意，可先求出5,7,9,11的最小公倍数，我们可发现5,7,9,11是等差数列，所求得的最小公
倍数分别加上5,7,9,11仍然是5,乙9,11的倍数.然后试着求得新的4个数，既得答案.
解答：
解5,7,9,11的最小公倍数是5X7X9X仁3465
3465+5=3470仍能被5整除，
3465+7=3472仍能被7整除，
3465+9=3474仍能被9整除，
3465+11=3476仍能被11整除，
3470、3472、3474、3476这四个数相差2,所以把这四个数除以2,就可以得到4个连续自然数1735,1736,1737,1738，它们依次分别被5、7、9、11整除，且最小.
故写出一组4个连续自然数，这组自然数依次为1735,1736,1737,1738.
点评：
此题考查了学生对最小公倍数的理解和掌握•解答此题的关键是先求出5,7,9,11的最小公倍数.
13.（4分）设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225.
（1）如果m和n的最大公约数为15,则m+n=105;
（2）如果m和n的最小公倍数为45,则m+n=90.
分析：
根据题意及最大公约数、最小公倍数的意义先分析推断，得到
（1）m/15和n/15的最大公约数为1,互质.
（2）
m、n是不大于它们的最小公倍数a的.
解答：
解:
（1）m和n的最大公约数为15那么m/15和n/15的最大公约数为1,互质3（m/15）+2（n/15）=15,m/15=1,n/15=6m=15,n=90m+n=105故答案是105.
（2）vm和n的最小公倍数为45
•m、n是不大于它们的最小公倍数a的，
因此3m+2n<5a=225
使等号成立，必须要：
m=n=a=45.
所以m+n=90.故答案是：
90.
点评：
此题考查了学生对最大公约数和最小公倍数的理解和掌握.关键是通过分析推断得出结论.
14.（4分）两个正整数之和为667,其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有_—组.
考点：
:
约数与倍数.
分析：
；
根据最大公约数与最小公倍数的关系：
设
X[ab]或[a,b]=ab/（a,b）来求解.
a,b为两个自然数，贝9（a,b）和[a,b]有如下关系：
ab=（a,b）
解答：
解：
设所求的两个数是a、b•则由已知条件得
[a,b]=120?
（a,b）,
•••a?
b=（a,b）?
[a,b]=120?
（a,b）2,
又•••a+b=667=23X29,
当（a,b）=23时，120=5X24,29=5+24,
•所求的数为5X23和24X23
即115和552,
当（a,b）=29时，120=8X15,23=8+15,
•所求的数为8X29和15X29即232和435,
故满足条件的正整数有2组•故答案为：
2.
点评：
本题考查的是关于最大公约数与最小公倍数的题目•最大公约数和最小公倍数之间的关系：
设a,b为两个
自然数，贝9（a,b）和口,b]有如下关系：
ab=（a,b）X[ab]或[a,b]=ab/（a,b）.
15.（4分）（a,b）表示两个正整数a和b的最小公倍数,例如[14,35]=70,则满足[x,y]=6,[y,z]=15的正整数组（x,y,z）共有5组.
考点：
:
约数与倍数.2383486
分析：
由[x,y]=6,[y,z]=15,可得y既能整除6,又能整除15,所以y整除3,因此，y只能为1,3.当y=1时,x=6,z=15;当y=3时，x=1或6,z=5或15,然后即可得出答案.
解答：
解：
由[x,y]=6,[y,z]=15,•y既能整除6,又能整除15,
•y整除3,因此，y只能为1,3.
•••当y=1时，x=6,z=15；
当y=3时，x=1或6,z=5或15,
•满足条件的正整数组（x,y,z）为：
（6,1,15）,（2,3,5）,（2,3,15）,（6,3,5）,（6,3,15）,所以共有5组.故答案为：
5.
点评：
本题考查了最小公倍数，难度适中，关键是对最小公倍数的理解和把握.
三、解答题（共8小题，满分100分）
16.（12分）甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆.现在改成每隔60m安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？
分析：
由题意得：
甲地到乙地距离为：
45X53-1）=2340（m）,根据45与60的最小公倍数为180,可得2340£80=13,然后即可得出答案.
解答：
：
解：
由题意得：
甲地到乙地距离为：
45X（53-1）=2340（m）,
•/45与60的最小公倍数为180,
•••2340出80=13,
•••除两端两根不需移动外，中途还有13-1=12根不必移动.
点评：
本题考查了最小公倍数，难度一般，关键是利用最小公倍数求解现实问题.
17.（12分）如图，一个圆圈上有n（nv100=个孔.小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔•他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4
个孔，结果还是跳到B;最后他每步跳过6孔，正好回到A孔•问这个圆圈上一共有多少个孔？
分析：
根据题意知，n是3、5、7的倍数，所以问题就转化为求3、5、7的最小公倍数的问题.
解答：
解：
依题意，每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是3的倍数，有3|n-1;每步跳过4个孔，连起点一步要跳过5个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是5的倍数，因此，有
5|n-1;又每步跳过6个孔时，可回到A孔，这表明7|门.因（3,5）=1，故15|n-1.因nv100,故n只可能是16,31,46,61,76,91,其中仅有91是7的倍数，故n=91,即圆圈上有91个孔.
点评：
本题主要考查了关于最小公倍数的应用题•提取公因数法适用于求两个以上数的最小公倍数，方法步骤是：
（1）先提取出这几个数的最大公因数，可以分次提取（此时所得的商互质，但不一定两两互质）；
（2）再
在不互质的商中提取公因数，其他商照写下来，直到各商两两互质为止；（3）最后把提取出的各数及各商
数连乘起来，乘积就是这几个数的最小公倍数.
18.（12分）23个不同的正整数的和是4845,问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论，并说明你的理由.
考点：
:
约数与倍数.
分析：
，
应先把4845分解，找到约数可能的数.再设出最大公约数，找出23个数最小值，进而求得最大公约数.
解答：
t
i
i
i
设23个不冋的正整数的最大公约数为d,则，
23个不同的正整数为:
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