15 用样本的数字特征估计总体的数字特征教案高中数学北师大版必修3.docx

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15用样本的数字特征估计总体的数字特征教案高中数学北师大版必修3

1.5用样本的数字特征估计总体的数字特征教案

【教学目标】

1．理解用样本的频率分布估计总体分布的方法．

2．会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图．

3．能够利用图形解决实际问题．

【教法指导】

本节重点是频率分布直方图、频率分布折线图的意义；难点是应用频率分布直方图估计总体的分布；

本节知识的主要学习方法是：

动手与观察，思考与交流，归纳与总结.加强新旧知识之间的联系，培养自己分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法.

【教学过程】

课本导读

1.频数、频率

将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数，叫做该组的频数，每组频数除以全体数据的个数即得该组的频率.

2.频率分布表

当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布,反映总体频率分布的表格称为频率分布表.

3.频率分布直方图

以横轴表示总分,纵轴表示

的比值,以每个组距为底,以各频率除以组距的商为高,分别画成矩形,这样就得到了频率分布直方图.

4.频率分布折线图

把频率分布直方图中各个长方形上端的中点顺次连接起来,就得到频率分布折线图.

5.总体密度曲线

频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势,如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,则相应的频率分布折线图将越来越接近于一条光滑曲线y=f（x）,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

难点辨析：

1.如何理解用样本的频率分布估计总体分布?

总体分布是指总体取值的分布规律,这种分布我们一般是不知道的.用样本去估计总体,是研究统计问题的一个基本思想,对于不易知道的总体分布,常常用样本的频率分布对它进行估计.样本的容量越大,这种估计就越精确.用样本估计的思想就是用部分考察全体、用离散考察连续、用有限考察无限的思想,是用观察测量值来探究客观规律的一种重要的基本思想.

2.如何理解频率分布折线图与总体密度曲线?

（1）为了方便看图,一般习惯于把频率分布折线图画成与横轴相连,所以横轴上的左右两端点没有实际的意义.

（2）总体密度曲线呈中间高、两边低的“钟”形分布,总体的数据大致呈对称分布,并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内.

（3）用样本的频率分布估计总体的分布时,要使样本能够很好地反映总体的特征,必须随机抽取样本.由于抽样的随机性,当抽取的样本变化时,所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同.但是,它们都可以近似地看作总体的分布.

（4）用样本的频率分布估计总体的分布时,要使样本能够很好地反映总体的特征,必须随机抽取样本.由于抽样的随机性,当抽取的样本变化时,所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同.但是,它们都可以近似地看作总体的分布.

典例分析：

1、（08·广东文）为了调查某厂工人生产某种产品的能力随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45,55），[55,65），[65,75），[75,85），[85,95），由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75）的人数是________．

2、一个容量为20的样本数据，分组后组距为10，区间与频数分布如下：

（10,20]，2；（20,30]，3；（30,40]，4；（40,50]，5；（50,60]，4；（60,70]，2.则样本在（－∞，50]上的频率为（　　）

A.

　　B.

C.

D.

3、对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:

寿命（h）

100~200

200~300

300~400

400~500

500~600

个数

20

30

80

40

30

（1）列出频率分布表;

（2）画出频率分布直方图及折线图;

（3）估计电子元件寿命在400h以上的电子元件出现的频率.

4、为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图（如图所示）,图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为12.

（1）第二小组的频率是多少?

样本容量是多少?

（2）若次数在110以上（含110次）为达标,试估计该校全体高

一学生的达标率是多少?

故第二小组的频率是0.08,样本容量是150，高一学生达标率是88%.

【评析】

（1）频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到题意中看不清楚的信息和数据模式.

（2）频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性,利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性.

5、某中学同年级40名男生的体重数据如下（单位:

千克）:

61　60　59　59　59　58　58　57　57　57　57　5656　56　56　56　56　56　55　55　55　55　54　54

54　54　53　53　52　52　52　52　52　51　51　5150　50　49　48

列出样本的频率分布表,画出频率分布直方图及频率分布折线图.

（6）取各小长方形上边的中点并用线段连接就构成了频率分布折线图.

总结规律、提高升华：

用样本的频率分布估计总体的分布时,要使样本能够很好地反映总体的特性,必须随机抽取样本.由于样本的随机性,可以想到,如果随机抽取另外一个样本,所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同.但是,它们都可以近似地看作总体的分布.

变式训练：

1．在样本的频率分布直方图中，一共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余n－1个小矩形面积和的

，且样本容量为160，则中间一组的频数是（　　）

A．32　　　B．20　　　C．40　　　D．25

2、（2010·福建文，14）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第

六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于________．

3、已知样本7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,13,12，那么这组数据落在8.5～11.5内的频率为________．

4、如图所示是一批产品中抽样得到数据的频率分布直方图，由图中可看出频率最大时数据所落在的范围是________．

5、下面列出43位美国历届总统（从1789年的华盛顿到2001年的小布什）的就任年龄:

57　61　57　57　58　57　61　54　68　51　49　64　5048　65　52　56　46　54　49　51　47　55　55　54　4251　56　55　51　54　51　60　62　43　55　56　61　5269　64　46　54

（1）分别以5和4为组距画出相应的频率分布直方图,并用自己的语言描述一下历届美国总统就任年龄的分布情况;

（2）两次所作的频率分布直方图相同吗?

试分别估计就任年龄在55岁以下的频率,并与实际频率作比较.

6、在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：

分组

频数

频率

4

25

30

29

10

2

合计

100

（1）完成频率分布表，并画出频率分布直方图；

（2）估计纤度落在[1.38,1.50）内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？

6.茎叶图

当样本的数据较少,且最大数是两位有效数字时,用中间的数字表十位数,即第一个有效数字,两边的数

字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出的叶子,因此,通常把这种图叫做茎叶图.

7.茎叶图有哪些优点?

用茎叶图表示有两个突出的优点:

其一,在统计图上没有原始信息的损失,所有的信息都可以从这个茎叶图中得到;其二,茎叶图可以在比赛时随时记录,方便记录与表示.但茎叶图便于表示两位有效数字的数据,虽然可以表示两个人以上的比赛结果（或两个以上的记录）,但没有分别表示两个记录那么直观、清晰.

例:

1、随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：

cm），获得身高数据的茎叶图如图．

根据茎叶图判断________班的平均身高较高．

2、下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据下图可知（　　）

A．甲运动员的成绩好于乙运动员B．乙运动员的成绩好于甲运动员

C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D．甲运动员的最低得分为0分

3、某中学高一

（1）班甲、乙两名同学自高中以来每次数学考试成绩情况如下:

甲的得分:

95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107

乙的得分:

83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101,97,102

作出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人成绩进行比较.

【评析】茎叶图在数据较少,较为集中时比较适用,由于较好地保留了原始数据,所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布,还可以用来分析样本数据的一些数字特征.

总结规律、提高升华：

1、茎叶图和频率分布表极为类似，事实上，茎相当于频率分布表中的分组；茎上叶的数目相当于频率分布表中指定区间组的频率;

2、对茎叶图的分析一般从中位数、对称性两方面来说明情况.

变式训练：

1、某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是（　　）

A．5B．4C．3D．2

2、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下:

甲的得分:

12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.

乙的得分:

8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.

（1）画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图；

（2）根据茎叶图分析甲、乙两运动员的水平.

课堂小结:

表示样本分布的方法：

（1）频率分布表

（2）频率分布图（包括直方图和条形图）

（3）频率分布折线图

（4）茎叶图

作业：

课后习题