圆周运动典型例题及答案详解.docx

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圆周运动典型例题及答案详解

“匀速圆周运动”的典型例题

1/

d

J

Hr

\f一

【例1】如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动.A、B、C三轮的半径大

小的关系是Ra=Rc=2Rb.当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速

度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？

【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心0且垂直于盘面的竖直轴转动.在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么

A.木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心

B.木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心

C.因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同

D.因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木

块的运动方向相反

E.因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力

【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数

相同.A的质量为2m，B、C各为m.A、B离转轴均为r，C为2r.贝U

[]

A.若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大

B.若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小

C.当转台转速增加时，C最先发生滑动

D•当转台转速继续增加时，A比B先滑动

【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B,相距Lo=O.1m.长L=1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球.小球的初始位置在AB连线上A的一侧.把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动.由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上.

若细线能承受的最大张力Tm=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长?

【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性.通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义.对本题，还应该熟练掌握数列求和方法.

如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到

细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？

【例5】如图（a）所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球,

圆锥顶角为2当圆锥和球一起以角速度①匀速转动时，球压紧锥面.此时绳

的张力是多少？

若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？

【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。

【例6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，

演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下

图所示，这是为什么？

【例7】如下图所示，自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动•若自行车以速度v转过半径为R的弯道.（1求自行车的倾角应多大？

（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？

【例8】用长L仁4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A,Li

和L2的另两端点分别系在一竖直杆的Oi,02处，已知OiO2=5m如下图（g=10m・s-2）

（1）当竖直杆以的角速度①匀速转动时，02A线刚好伸直且不受拉力•求此时

（2）当OiA线所受力为100N时，求此时的角速度7.

【说明】向心力是一种效果力，在本题中O2A受力与否决定于物体A做圆周运动时角速度的临界值.在这种题目中找好临界值是关键.

［例9］一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，有

一台发出细光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离MN为d=10m，如图所示。

转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s，光

束转动方向如图箭头所示。

当光束与MN的夹角为45。

时，光束正好射到小车上，如果再经过△t=2.光束又射到小车上，则小车的速度为多少？

（结果保留

二位数字）

]

\f一

［例10］图所示为测量子弹速度的装置，一根水平转轴的端部焊接一个半径为R的薄壁圆筒（图为其横截面），转轴的转速是每分钟n转，一颗子弹沿圆筒的水平直径由A点射入圆筒，在圆筒转过不到半圆时从B点穿出，假设子弹穿壁时速度大小不变，并在飞行中保持水平方向，测量出A、B两点间的孤长为L,写出

子弹速度的表达式。

［说明］

解题过程中，物理过程示意图，是常用的方法，它可以使抽象的物理过程具体形象化，便于从图中找出各物理量之间关系，以帮助建立物理方程，最后求出答案

典型例题答案

【例1】【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，也就是说，用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等•根据这个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解.

【解】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设VB=VC=V.由v=3R得两轮角速度大小的关系

必：

皿二Rc:

Rb=2:

1.

因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即@=5，所以A、B、C三轮角速度之比

（jjA：

^b:

wc=2:

2:

1.

因A轮边缘的线速度

vA=clARA=2g2bRb=2vb，

所以A、B、C三轮边缘线速度之比

VA:

vB：

VC=2:

1:

1.

根据向心加速度公式a=dR，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比

孤：

衍:

ac=COX:

叽RL呎瓦

=8:

4:

2=4:

2:

1.

【例2】【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力——向心力．

以木块为研究对象进行受力分析：

在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状态．在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动．所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心

【答】B．

【说明】常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘一起匀速转动时，时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动趋势方向相反，似乎应该选D.这是一种极普遍的错误认识，其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系．通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而言的．而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反，应该是指相互接触的两个相关物体来说的，即是对盘面参照系．也就是说，对站在盘上跟盘一起转动的观察者，木块时刻有沿半径向外滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心

【例3】【分析】A、B、C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为3.根据向心加速度的公式an=値，已知rA=rB

A错.

三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f=Fn=m®2r,所以

三物体受到的静摩擦力的大小分别为

fA=mAG2rA=2m32r,

fB=mBoj2rB=m32r,

fc=mcdrc=m32r=2msr.

即物体B所受静摩擦力最小.B正确.

由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为卩，静摩擦力的

最大值可认为是fm=卩mg.由fm=Fn,即卩

得不发生滑动的最大角速度为

即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小.

由于rc>rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动.转速继续增加时，物体A、B将同时发生滑动.C正确，D错.

【答】B、C.

【例4】【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半

径会逐渐变小，但小球转动的线速度大小保持不变.

【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小.

在第一个半圆內亍，勺；

JLj1V

在第二个半圆內1/m片匚占-X（L'L°）

（L-Lo）v

在第三个半圆內$=m居=叫一％）

令tn=Tm=7N，得n=8，所以经历的时间为

t=訂十血+…％

=三｛辽-[1+2斗H…斗（a-]）L0]bkii（n-n

—^X[8X1-^XO1>,

=82乳

【例5】【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。

由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。

（b）所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有

T•sin-N•cos0=m2®①

y方向上应有

N-sin0+T•co@=0②■/r=L•sin0③

由①、②、③式可得

T=mgcos0+2nsin0

当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）

则有Tsin0=囱3④

T•cos-G=0⑤

由⑷、⑸式可得⑴=J-^LcosW即小球的角速度至少为丄二匚

Vlg：

qsy

【例6】【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。

当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。

只要做圆周运动的

速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。

【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律

可知：

F肌.二二，此时重力G与1啲合力充当了向心力"

即F^vG+N

・*・G+N三m

由上式可知站I,nJ,当n=o时，录有最小值为麗瓦即若使水不掉下来.贝|冰杯在最髙点的速度戒濒大于廊.

【例7】【分析】骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜•从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向a角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过共同的质心0,合力Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力.

【解】

（1）由图可知，向心力F=Mgtga，由牛顿第二定律有:

（2）由图可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向

的静摩擦力f和支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F，即

f=Mgtga

【例8】【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球

的运动速度不同时，所受拉力就不同

【解】

（1）当02A线刚伸直而不受力时，受力如图所示

贝UFicos0=mg①

Fisin0=mRc②

由式

（1）解得①厂J誉@

由几何知识知

RR

0A壬R,且-_亍"亍"2

anycosy

•••R=2.4m0=37°

代入式③3仁1.77（rad/s）

（2）当OiA受力为100N时，由

（1）式

F1COS0=100x0.8=8N）Amg

由此知O2A受拉力

F2。

则对A受力分析得

Ficos-F2sin-mg=0④

Fisin0+COs0=mR2⑤

由式（4）（5）得

JFjeos1B-mgcosQ+耳sin8a=y忑

_100x064-20x08+100X06

■\2XZ4

=474（rad/s）

【例9】［分析］激光器扫描一周的时间T=60s,那么光束在△t=2.瞇间内转过的

角度

激光束在竖直平面内的匀速转动，但在水平方向上光点的扫描速度是变化的，这个速度是沿经向方向速度与沿切向方向速度的合速度。

当小车正向N点接近时，在At内光束与MN的夹角由45。

变为30随着B减小，v扫在减小若45°时，光照在小车上，此时v扫〉v车时，此后光点将照到车前但V扫Jv车不变，当V车〉V扫时，它们的距离在缩小。

衣灯=f心6

⑴fcogB

［解］在At内，光束转过角度

X3（50°

如图，有两种可能

（1）光束照射小车时，小车正在接近N点，At内光束与MN的夹角从45。

变为30°，小车走过Li，速度应为

由图可知

Li=d（tg45-tg30°）③

由②、③两式并代入数值，得

vi=1.7m/s④

（2）光束照到小车时，小车正在远离N点，At内光束与MN的夹角从45。

为60°，小车走过L2速度为

由图可知

L2=d（tg60-tg45°）⑥

由⑤、⑥两代并代入数值，得

V2=2.9m/s

［说明］光点在水平方向的扫描速度是变化的，它是沿经向速度和切向速度的合速

度。

很多人把它理解为切向速度的分速度，即

d

Vu.-*cosSt-⑴•cosB■円①

閉COSy

则扫描速度不变化，就谈不上与小车的“追赶”了，将不可能发生经过一段时间，再照射小车的问题。

这一点速度的合成与分解应理解正确。

另外光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上有两种情况（见分析）

要考虑周全，不要丢解。

【例10】［分析］子弹穿过筒壁，子弹与筒壁发生相互作用，既影响筒的转速，又

影响子弹飞行速度，因为这种影响忽略不讲，所以测出的子弹速度是近似值，子

弹穿过圆筒的时间，可从圆筒的转速和转过的角度求了，为了求出子弹从A点

穿入到从B点穿出时圆筒转过的角度，必须作出子弹穿筒过程中圆筒转动情景的图示，与孤长L对应的圆心角为9，9=L/R（rad）

解：

圆筒转过的角为（n-9），圆筒的角速为①，子弹速度为v,穿筒的时间为t，

则：

n-9=3t，3=2nn/60rad/s

L

（H-S-2TTX,'j

汶开■瓦）

30（HR-L）

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子弹的速度v-—=

兀nE?

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15（XR-L）

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