mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只有一解：
F+mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。
四、牛顿运动定律在圆周运动中的应用（圆周运动动力学问题）
v222
42
1.向心力大小：
F=ma向=m=m2R=mR=m4fR方向：
总指向圆心，时刻变化
RT2
2.处理方法：
一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向。
分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢。
做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：
Fn=man在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用
mv2⎛2⎫2
或m2R或mç⎪RR⎝T⎭
等各种形式）。
【例1】如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于
水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。
已知小球所受到电场力等于重力，圆滑半径为R，斜面倾角为θ=600，sBC=2R。
若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？
五、综合应用例析
【例2】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，
细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．
【例3】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是．
【例5】如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨
道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度.
例6、如图所示，M为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为L，质量为m的子弹以水平速度V0射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不发生松驰，求子弹初速度V0应满
足的条件。
1.
图4－2－11
在观看双人花样滑冰表演时，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动．已知通过目测估计拉住女运动员的男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为45°，重力加速度为g＝10m/s2，若已知女运动员的体重为35kg，据此可估算该女运动员（）
A.
受到的拉力约为350NB．受到的拉力约为350NC．向心加速度约为10m/s2D．向心加速度约为10m2/s2
解析：
本题考查了匀速圆周运动的动力学分析．以女运动员为研究对象，受力分析如
图．
根据题意有G＝mg＝350N；则由图易得女运动员受到的拉力约为350N，A正确；向心加速度约为10m/s2，C正确．
答案：
AC2.
图4－2－12
中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故．
家住公路拐弯处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图4－2－12所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是（）
A．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动B．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动C．公路在设计上可能内（东）高外（西）低D．公路在设计上可能外（西）高内（东）低
解析：
由题图可知发生事故时，卡车在做圆周运动，从图可以看出卡车冲入民宅时做离心运动，故选项A正确，选项B错误；如果外侧高，卡车所受重力和支持力提供向心力，则卡车不会做离心运动，也不会发生事故，故选项C正确．
答案：
AC3.
图4－2－13
（2010·湖北部分重点中学联考）如图4－2－13所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则（）
A.
该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于2π
B.该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2π
C.盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于2mgD．盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能大于2mg
mv2
解析：
要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则有mg＝R，解得该盒子做匀速圆周运动
2πRR
的速度v＝gR，该盒子做匀速圆周运动的周期为T＝v＝2πg.选项A错误，B正确；在最低点
mv2
时，盒子与小球之间的作用力和小球重力的合力提供小球运动的向心力，由F－mg＝F＝2mg，选项C、D错误．
答案：
B4.
R，解得
图4－2－14
如图4－2－14所示，半径为r＝20cm的两圆柱体A和B，靠电动机带动按相同方向均以角速度ω＝8rad/s转动，两圆柱体的转动轴互相平行且在同一平面内，转动方向已在图中标出，质量均匀的木棒水平放置其上，重心在刚开始运动时恰在B的正上方，棒和圆柱间动摩擦因数μ＝0.16，两圆柱体中心间的距离s＝1.6m，棒长l>2m，重力加速度取10m/s2，求从棒开始运动到重心恰在A正上方需多长时间？
解析：
棒开始与A、B两轮有相对滑动，棒受向左摩擦力作用，做匀加速运动，末速度
v
v＝ωr＝8×0.2m/s＝1.6m/s，加速度a＝μg＝1.6m/s2，时间t1＝a＝1s，此时间内棒运动位移1
s1＝2at1＝0.8m．此后棒与A、B无相对运动，棒以v＝ωr做匀速运动，再运动s2＝AB－s1＝0.8
s2
m，重心到A正上方时间t2＝v＝0.5s，故所求时间t＝t1＋t2＝1.5s.
答案：
1.5s5．
图4－2－15
在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝50m的悬索（重力可忽略不计）系住一质量m＝50kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0＝10m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图4－2－15甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5s时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－t2（单位：
m）的规律变化，取g＝10m/s2.
（1）求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小．
（2）求在5s末被困人员B的速度大小及位移大小．
（3）直升机在t＝5s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力．（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
解析：
（1）被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移y＝H－l＝50－（50－t2）＝t2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a＝2m/s2的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得F－mg＝ma，解得悬索的拉力F＝m（g＋a）＝600N.
（2）
被困人员5s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝10m/s，合速度v＝
1
v0＋v2y＝10m/s，竖直方
向上的位移y＝2at2＝25m，水平方向的位移x＝v0t＝50m，合位移s＝x2＋y2＝25m.
（3）t＝5s时悬索的长度l′＝50－y＝25m，旋转半径r＝l′sin37°，
v′2
由mr
15
＝mgtan37°，解得v′＝2
2m/s.此时被困人员B的受力情况如右图所示，
mg
由图可知Tcos37°＝mg，解得T＝cos37°＝625N.
答案：
（1）600N
（2）10m/s25m（3）625N
6．
图4－2－26
如图4－2－26所示，小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来．转筒的底面半径为R，已知轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为L，且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h；开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向．现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下，若正好能钻入转筒的小孔（小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g），求：
（1）小球从圆弧轨道上释放时的高度为H；
（2）转筒转动的角速度ω.
1
解析：
（1）设小球离开轨道进入小孔的时间为t，则由平抛运动规律得h＝2gt2，L－R＝v0t
1
小球在轨道上运动过程中机械能守恒，故有mgH＝2mv0
联立解得：
t＝
（L－R）2
，H＝4h.
（2）在小球做平抛运动的时间内，圆筒必须恰好转整数转，小球才能钻进小孔，
即ωt＝2nπ（n＝1,2,3…）．所以ω＝nπ
（n＝1,2,3…）
答案：
（1）
（L－R）2
4h
（2）nπ
（n＝1,2,3…）
圆周运动的应用专题
知识简析
一、圆周运动的临界问题
1.圆周运动中的临界问题的分析方法
首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．
2.
特例
（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
注意：
绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力
①临界条件：
绳子或轨道对小球没有力的作用：
mg=mv2/R→v临界=（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）
注意：
如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度V临≠Rg
②能过最高点的条件：
v≥，当V＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
③不能过最高点的条件：
V＜V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）
（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：
注意：
杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．
①当v＝0时，N＝mg（N为支持力）
②当0＜v＜时，N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力．
③当v=时，N＝0
①当v＞时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心）
注意：
管壁支撑情况与杆子一样
若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力．
注意：
如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度V0≠。
要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。
水流星模型（竖直平面内的圆周运动）
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临
界状态。
（圆周运动实例）①火车转弯②汽车过拱桥、凹桥3③飞机做俯冲运动时，飞行员对座位的压力。
④物体在水平面内的圆周运动（汽车在水平公路转弯，水平转盘上的物体，绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转）和物体在竖直平面内的圆周运动（翻滚过山车、水流星、杂技节目中的飞车走壁等）。
⑤万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、重力与弹力的合力——锥摆、（关健要搞清楚向心力怎样提供的）
（1）
火车转弯：
设火车弯道处内外轨高度差为h，内外轨间距L，转弯半径R。
由于外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合力F合提供向心力。
由F=mgtan≈mgsin=mg
合
h=mL
v02
R
得v0=（v0为转弯时规定速度）
①当火车行驶速率V等于V0时，F合=F向，内外轨道对轮缘都没有侧压力
②当火车行驶V大于V0时，F合③当火车行驶速率V小于V0时，F合>F向，内轨道对轮缘有侧压力，F合-N'=mv2/R
即当火车转弯时行驶速率不等于V0时，其向心力的变化可由内外轨道对轮缘侧压力自行调节，但调节程度不宜过大，以免损坏轨道。
（2）无支承的小球，在竖直平面内作圆周运动过最高点情况：
①临界条件：
由mg+T=mv2/L知，小球速度越小，绳拉力或环压力T越小，
但T的最小值只能为零，此时小球以重力为向心力，恰能通过最高点。
即
临
mg=mv2/R
结论：
绳子和轨道对小球没有力的作用（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度），只有重力作向心力，临界速度V临=gR
②能过最高点条件：
V≥V临（当V≥V临时，绳、轨道对球分别产生拉力、压力）
③不能过最高点条件：
V最高点状态:
mg+T1=mv高2/L（临界条件T1=0,临界速度V临=,V≥V临才能通过）
最低点状态:
T-mg=mv2/L高到低过程机械能守恒:
1/2mv2=1/2mv2+mgh
2低低高
T2-T1=6mg（g可看为等效加速度）
半圆：
mgR=1/2mv2T-mg=mv2/R⇒T=3mg
（3）
有支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点情况：
①临界条件：
杆和环对小球有支持力的作用
当V=0时，N=mg（可理解为小球恰好转过或恰好转不过最高点）
（由mg-N=U2
m知）
R
②当0N>0
③当v=
④当v>
gR时，N=0
gR时，N向下（即拉力）随v增大而增大，方向指向圆心。
当小球运动到最高点时，速度v当小球运动到最高点时，速度v=gR时，杆对小球无作用力N=0
当小球运动到最高点时，速度v＞gR时，小球受到杆的拉力N作用
恰好过最高点时，此时从高到低过程mg2R=1/2mv2低点：
T-mg=mv2/R⇒T=5mg
注意物理圆与几何圆的最高点、最低点的区别
（以上规律适用于物理圆,不过最高点,最低点,g都应看成等效的）2．解决匀速圆周运动问题的一般方法
（1）明确研究对象，必要时将它从转动系统中隔离出来。
（2）找出物体圆周运动的轨道平面，从中找出圆心和半径。
（3）分析物体受力情况，千万别臆想出一个向心力来。
（4）建立直角坐标系（以指向圆心方向为x轴正方向）将力正交分解。
⎧v2
22
=m2R=m（R
（5）建立方程组⎪∑F=mT）
⎨xR
⎩
⎪∑Fy=0
3．.离心现象
离心运动概念：
做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足于提供圆周运动的所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动称作为离心运动．
离心运动的条件:
提供给物体做圆周运动的向心力不足或消失。
（离心运动两种现象）
①当F合=0时，物体沿切线方向飞出。
v2
②当F合＜mω2r或F合＜m时，物体逐渐远离圆心。
r
离心现象
离心现象的本质——物体惯性的表现“远离”不能理解为沿半径方向“背离”
离心现的实例:
用提供的力与需要的向心力的关系角度解释离心现象
应用:
雨伞、链球、洗衣机脱水筒脱水、离心分离器、离心干燥器、离心测速计等
离心运动的应用和防止措施:
应用:
增大线速度v或角速度ω；减小提供的向心力F供
（1）离心运动的概念：
做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失或者不足于提供圆周运动的所需的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动称作为离心运动．
注意：
离心运动的原因是合力突然消失，或不足以提供向心力，而不是物体又受到什么“离心力”．
（2）离心运动的条件：
提供给物体做圆周运动的向心力不足或消失。
F获＜F需
离心运动的两种情况：
①当产生向心力的合外力突然消失，物体便沿所在位置的切线方向飞出。
②当产生向心力的合外力不完全消失，而只是小于所需要的向心力，物体将沿切线和圆周之间的一条曲线运动，远离圆心而去。
设质点的质量为m，做圆周运动的半径为r，角速度为ω，线角速度为v，向心力为F，如图所示F=0（离心运动）
O
F＜mω2rF=mω2r
（离心运动）
（3）对离心运动的理解：
当F=mω2r或F=mv2
r
时，物体做匀速圆周运动。
当F=0时，物体沿切线方向飞出做直线运动。
（离心运动）
当F＜mω2r或F时，物体逐渐远离圆心运动。
（离心运动）
r
当F＞mω2r或F>mv2
r
时，物体逐渐靠近圆心的向心运动。
若所受的合外力F大于所需的向心力时，物体就会做越来越靠近圆心的“近心”运动，人造卫星或飞船返回过程就有一阶段是做“近心”运动。
（4）离心现象的本质分析
离心现象的本质——物体惯性的表现。
分析：
做匀速圆周运动的物体，由于本身有惯性，总是沿着切线方
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