第十四章SECTION4偏微分方程的数值解法.docx
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第十四章SECTION4偏微分方程的数值解法
§4偏微分方程的数值解法
一、差分法
差分法是常用的一种数值解法.它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.
1.网格与差商
图14.7
在平面（x,y）上的一以S为边界的有界区域D上考虑定解问题.为了用差分法求解，分别作平行于x轴和y轴的直线族.
（i,j=0,1,2,…,n）
作成一个正方形网格，这里h为事先指定的正数，称为步长；网格的交点称为节点，简记为（i,j）.取一些与边界S接近的网格节点，用它们连成折线Sh，Sh所围成的区域记作Dh.称Dh内的节点为内节点，位于Sh上的节点称为边界节点（图14.7）.下面都在网格Dh+Sh上考虑问题：
寻求各个节点上解的近似值.在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上，用以下的差商代替偏导数：
注意，1︒式中的差商称为向后差商，而称为向前差商，称为中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一阶偏导数.
2︒x轴与y轴也可分别采用不同的步长h,l，即用直线族
（i,j=0,±1,±2）
作一个矩形网格.
2.椭圆型方程的差分方法
[五点格式]考虑拉普拉斯方程的第一边值问题
式中（x,y）为定义在D的边界S上的已知函数.
采用正方形网格，记u（xi,yj）=uij，在节点（i,j）上分别用差商
代替，对应的差分方程为
（1）
或
即任一节点（i,j）上uij的值等于周围相邻节点上解的值的算术平均，这种形式的差分方程称为五点格式，在边界节点上取
（2）
式中（xi*,yj*）是与节点（i,j）最接近的S上的点.于是得到了以所有内节点上的uij值为未知量的若干个线性代数方程，由于每一个节点都可列出一个方程，所以未知量的个数与方程的个数都等于节点的总数，于是，可用通常的方法（如高斯消去法）解此线性代数方程组，但当步长不很大时，用高斯消去法将会遇到很大困难，可用下面介绍的其他方法求解.
若h0时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分方程为收敛的.
在计算过程中，由于进行四则运算引起舍入误差，每一步计算的舍入误差都会影响以后的计算结果，如果这种影响所产生的计算偏差可以控制，而不至于随着计算次数的增加而无限增大，则称差分方程是稳定的.
[迭代法解差分方程]在五点格式的差分方程中，任意取一组初值{uij}，只要求它们在边界节点（i,j）上取以已知值（xi*,yj*），然后用逐次逼近法（也称迭代法）解五点格式：
逐次求出{uij（n）}.当（i+1,j），（i－1,j），（i,j－1），（i,j+1）中有一点是边界节点时，每次迭代时，都要在这一点上取最接近的边界点的值.当n∞时，uij（n）收敛于差分方程的解，因此n充分大时，{uij（n）}可作差分方程的近似解，迭代次数越多，近似解越接近差分方程的解.
[用调节余数法求节点上解的近似值]以差商代替Δu时，用节点（i+1,j），（i－1,j），（i,j+1），（i,j－1）上u的近似值来表示u在节点（i,j）的值将产生的误差，称此误差为余数Rij，即
图14.8
设在（i,j）上给uij以改变量uij，从上式可见Rij将减少4uij，而其余含有u（xi,yj）的差分方程中的余数将增加uij，多次调整uij的值就可将余数调整到许可的有效数字的范围内，这样可获得各节点上u（x,y）的近似值.这种方法比较简单，特别在对称区域中计算更简捷.
例求Δu=0在内节点A,B,C,D上解的近似值.设在边界节点1,2,3,4上分别取值为1,2,3,4（图14.8）
解记u（A）=uA，点A,B,C,D的余数分别为
－4uA+uB+uc+5=RA
uA－4uB+uD+7=RB
uA－4uc+uD+3=RC
uB+uc－4uD+5=RD
以边界节点的边值的算术平均值作为初次近似值，即
uA（0）=uB（0）=uC（0）=uD（0）=2.5
则相应的余数为：
RA=0,RB=2,RC=－2,RD=0
最大余数为±2.先用δuC=－0.5把RC缩减为零，uC相应地变为2，这时RA,RD也同时缩减（－0.5），新余数是RA=－0.5,RB=2,,RD=－0.5.类似地再变更δuB=0.5，从而uB变为3，则得新余数为.这样便可消去各节点的余数，于是u在各节点的近似值为：
uA=2.5,uB=3,uC=2,uD=2.5
现将各次近似值及余数列表如下：
次数
调整值
第n次近似值及余数
uA
RA
uB
RB
uC
RC
uD
RD
0
1
2
δuC=－0.5
δuB=0.5
2.5
2.5
2.5
0
－0.5
0
2.5
2.5
3
2
2
0
2.5
2
2
－2
0
0
2.5
2.5
2.5
0
－0.5
0
结果近似值
2.5
3
2
2.5
[解重调和方程的差分方法]在矩形D（x0≤x≤x0+a,y0≤y≤y0+a）中考虑重调和方程
取步长，引直线族
（i,j=0,1,2n）
作成一个正方形网格.用差商代替偏导数
图14.9
上式表明了以（x,y）为中心时，u（x,y）的函数值与周围各点函数值的关系，但对于邻近边界节点的点（x,y），如图14.9中的A，就不能直接使用上式，此时将划分网格的直线族延伸，在延伸线上定出与边界距离为h的点，称这些点为外邻边界节点，如图14.9以A为中心时，点E,C为边界节点，点J,K为E,C的外邻边界节点，用下法补充定义外邻边界节点J处函数的近似值uJ，便可应用上面的公式.
1︒边界条件为
时，定义uJ=uA－22（E）h.
2︒边界条件为
时，定义uJ=21（E）－uA－h22（E）.
[其他与Δu有关的网格]
1︒三角网格（图14.10（a））
取P0（x,y）为中心，它的周围6个邻近节点分别为：
则
式中ui=u（Pi）,u0=u（P0），R表示余项.
2︒六角网格（图14.10（b））
取P0（x,y）为中心，它的三个邻近节点分别为
则.
图14.10
3︒极坐标系中的网格（图14.10（c））
取P0（r,）为中心，它的四个邻近节点分别为
而拉普拉斯方程
的相应的差分方程为
3.抛物型方程的差分方法
考虑热传导方程的边值问题
将[0,b]分为n等份，每段长为.引两族平行线（图14.11）
图14.11
x=xi=ix（i=0,1,2n）
y=yj=jt（j=0,1,2t取值见后）
作成一个长方形的网格，记u（xi,tj）为uij，节点（xi,tj）为（i,j），在节点（i,j）上分别用
代替，于是边值问题化为差分方程
记，差分方程可写成
（1）
由此可按t增加的方向逐排求解.在第0排上ui0的值由初值（ix）确定，j+1排ui,j+1的值可由第j排的三点（i+1,j）,（i,j）,（i－1,j）上的值ui+1,j,uij,ui-1,j确定，而u0,j+1,un,j+1已由边界条件1（（j+1）t）及2（（j+1）t）给定，于是可逐排计算一切节点上的uij值.当（x）,1（x）和2（x）充分光滑，且时，差分方程收敛而且稳定.所以利用差分方程
（1）计算时，必须使，即.
热传导方程还可用差分方程
代替，此时如已知前j排uij的值，为求第j+1排的ui,j+1必须解包含n－1个未知量的线性代数方程组，这种差分方程称为隐式格式的差分方程，前面所提的差分方程称为显式格式差分方程.
隐式格式差分方程对任意的λ都是稳定的.
4.双曲型方程的差分方法
考虑弦振动方程的第一边值问题
用矩形网格，列出对应的差分方程：
记与上段一样，利用和在第0排及第1排的已知数值（初始条件）ui0,ui1可计算ui2，然后用已知的ui1,ui2及可计算ui3,类似地可确定一切节点上的uij值.
当（x）,（x）,1（x）和2（x）充分光滑，且ω≤1时，差分方程收敛且稳定，所以要取.
二、变分方法
1.自共轭边值问题
将§3定义的共轭微分算子的概念推广到一般方程.
设D是中的有界区域，S为其边界，在上考虑2k阶线性微分方程
的齐次边值问题
式中f（x）是D内的已知函数，lju是线性微分算子.
将分部积分k次得
式中（u,v）是一个D上的积分，其被积函数包含u,v的k阶导数；Rj和是定义在边界S上的两个线性微分算子.再将（u,v）分部积分k次得
式中L*是一个2k阶的微分算子，称为L的共轭微分算子.若L=L*，则称L为自共轭微分算子.从上面可推出格林公式
如从lju|S=ljv|S=0可推出在边界S上
则称lju|S=0为自共轭边界条件.如果微分算子及边界条件都是自共轭的，则称相应的边值问题为自共轭边值问题，此时有
每个边值问题对应于某希尔伯特空间H（例如L2（D），见第九章§7）中的一个算子A，其定义域MA是H中一线性稠密集合，它由足够次连续可微且满足边界条件的函数组成，在MA上，Au的数值与Lu的数值相同，从而求解边值问题化为解算子方程
的问题.
设A为定义在实的希尔伯特空间H中的某线性稠密集合MA上的线性算子.若对于MA的任意非零元素成立
（Au,v）=（u,Av）
则称A为对称算子.若对任意非零元素u成立
则称A为正算子.如成立更强的不等式
（Au,u）≥r||u||2（r>0）
则称A为正定算子.此处（u,v）表示希尔伯特空间的内积，||u||2=（u,u）.
2.变分原理与广义解
定理设A是正定算子，u是方程Au=f在MA上的解的充分必要条件是：
u使泛函
F（u）=（Au,u）－2（f,u）
取极小值.
上述将边值问题化为等价的求泛函极值问题的方法称为能量法.在算子的定义域不够大时，泛函F（u）的极值问题可能无解.不过对于正定算子，可以开拓集合MA，使在开拓了的集合上，泛函的极值问题有解.为开拓MA，在MA上引进新的内积[u,v]=（Au,v），定义模||u||2=[u,u]=（Au,u），在模||u||的意义下，补充极限元素，得到一个新的完备希尔伯特空间H0，在H0上，泛函F（u）仍然有意义，而泛函的极值问题有解.但必须注意，此时使泛函F（u）取极小的元素u0不一定属于MA，因此它不一定在原来的意义下满足方程Au=f及边界条件.称u0为广义解.
3.极小化序列与里兹方法
在处理变分问题中，极小化序列起着重要的作用.考虑泛函
F（u）=（Au,u）－2（f,u）
以d表示泛函的极小值.设在希尔伯特空间中存在一列元素{un}（n=1,2），使
则称{un}为极小化序列.
定理若算子A是正定的，则F（u）的每一个极小化序列既按H空间的模也按H0的模收敛于使泛函F（u）取极小的元素.
这个定理不但指出利用极小化序列可求问题的解，而且提供一种近似解的求法，即把极小化序列中的每一个元素当作问题的近似解.
设算子A是正定的，构造极小化序列的里兹方法的主要步骤是：
（1）在线性集合MA中选取H0中完备的元素序列{i}，（i=1,2）并要求对任意的n,1,2,…,n线性无关.称这样的元素为坐标元素.
（2）令，其中ak为待定系数.代入泛函F（u），得自变量a1,a2,…,an的函数
（3）为使函数F（un
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