人教版六年级数学下册第五单元教学设计教案.docx
《人教版六年级数学下册第五单元教学设计教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版六年级数学下册第五单元教学设计教案.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
人教版六年级数学下册第五单元教学设计教案
专门安排“数学广角”这一单元,向学生渗透一些重要的数学思想方法。
和以往的旧教材相比,这部分内容是新增的内容。
本单元教材通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“鸽巢问题”加以解决。
在数学问题中,有一类与“存在性”有关的问题。
在这类问题中,只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体（或人）。
这类问题依据的理论,我们称之为“抽屉原理”。
“抽屉原理”最先是由19世界的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的,所以又称“狄利克雷原理”,也称为“鸽巢问题”。
“鸽巢问题”的理论本身并不复杂,甚至可以说是显而易见的。
但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结论。
因此,“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
“抽屉原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。
教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“抽屉原理”可以解决的范畴。
能不能将这个问题同“抽屉原理”结合起来,是本次教学能否成功的关键。
所以,在教学中,应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。
六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。
教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实际与数学原理结合起来,有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动,经历探究“抽屉原理”的过程,初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2.提高学生解决简单的实际问题的能力。
3.通过“抽屉原理”的灵活应用,感受数学的魅力。
1.让学生初步经历“数学证明”的过程。
可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。
通过“说理”的方式理解“抽屉原理”的过程是一种数学证明的雏形。
通过这样的方式,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后学习较严密的数学证明做准备。
2.有意识地培养学生的“模型”思想。
当我们面对一个具体问题时,能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来,能否找到该问题中的具体情境与“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系,找出该问题中什么是“待分的东西”,什么是“抽屉”,是解决该问题的关键。
教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴;再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。
这个过程是学生经历将具体问题“数学化”的过程,从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型,是学生数学思维和能力的重要体现。
3.要适当把握教学要求。
“抽屉原理”本身或许并不复杂,但它的应用广泛且灵活多变。
因此,用“抽屉原理”解决实际问题时,经常会遇到一些困难。
例如,有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“抽屉”,要用几个“抽屉”。
因此,教学时,不必过于要求学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题,把大致意思说出来就可以了,鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
1 鸽巢问题1课时
2 “鸽巢问题”的具体应用1课时
鸽巢问题
教材第68、第69页。
1.在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。
2.提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3.通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
重点:
引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点:
找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。
铅笔、笔筒、书等。
师:
同学们,老师给大家表演一个“魔术”。
一副牌,取出大小王,还剩52张牌,请5个同学上来,每人随意抽一张,我知道至少有2人抽到的是同花色的,相信吗?
试一试。
师生共同玩几次这个“小魔术”,验证一下。
师:
想知道这是为什么吗?
通过今天的学习,你就能解释这个现象了。
下面我们就来研究这类问题,我们先从简单的情况入手研究。
【设计意图:
紧紧扣住学生的好奇心,从学生喜欢的扑克牌“小魔术”开始,激活认知热情。
使学生积极投入到对问题的研究中。
同时,渗透研究问题的方法和建模的数学思想】
1.讲授例1。
（1）认识“抽屉原理”。
（课件出示例题）
把4支铅笔放进3个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进2支铅笔。
学生读一读上面的例题,想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。
教师指出:
上面这个问题,同学们不难想出其中的道理,但要完全清楚地说明白,就需给出证明。
（2）学生分小组活动进行证明。
活动要求:
①学生先独立思考。
②把自己的想法和小组内的同学交流。
③如果需要动手操作,要分工并全面考虑问题。
（谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉”、谁记录等）
④在全班交流汇报。
（3）汇报。
师:
哪个小组愿意说说你们是怎样证明的?
①列举法证明。
学生证明后,教师提问:
把4支铅笔放进3个笔筒里,共有几种不同的放法?
（共有4种不同的放法。
在这里只考虑存在性问题,即把4支铅笔不管放进哪个笔筒,都视为同一种情况）
根据以上4种不同的放法,你能得出什么结论?
（总有一个至少放进2支铅笔）
②数的分解法证明。
可以把4分解成三个数,共有四种情况:
（4,0,0）,（3,1,0）,（2,2,0）,（2,1,1）,每一种结果的三个数中,至少有一个数是不小于2的。
③反证法（或假设法）证明。
让学生试着说一说,教师适时指点:
假设先在每个笔筒里放1支铅笔。
那么,3个笔筒里就放了3支铅笔。
还剩下1支铅笔,放进任意一个笔筒里,那么这个笔筒里就有2支铅笔。
（4）揭示规律。
请同学们继续思考:
①把5支铅笔放进4个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔,为什么?
②如果把6支铅笔放进5个笔筒中,结果是否一样呢?
把7支铅笔放进6个笔筒中呢?
把10支铅笔放进9个笔筒中呢?
把100支铅笔放进99个笔筒中呢?
学生回答的同时教师板书:
数量（支） 笔筒数（个） 结果
5 总有一个笔筒里
提问:
观察板书,你有什么发现?
③小组讨论,引导学生得出一般性结论。
（只要放的铅笔数比笔筒的数量多1,总有一个笔筒里至少放进2支铅笔）
追问:
如果要放的铅笔数比笔筒的数量多2,多3,多4呢?
学生根据具体情况思考并解决此类问题。
④教师小结。
上面我们所证明的数学原理就是最简单的“抽屉原理”,可以概括为:
把m个物体任意放到m-1个抽屉里,那么总有一个抽屉中至少放进了2个物体。
2.教学例2。
师:
把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。
为什么?
自己想一想,再跟小组的同学交流。
学生独立思考后,进行小组交流;教师巡视了解情况。
组织全班交流,学生可能会说:
•我们可以动手操作,选用列举的方法:
第一个抽屉
7
6
5
4
3
3
第二个抽屉
0
1
1
1
1
2
第三个抽屉
0
0
1
2
3
2
通过操作,我们把7本书放进3个抽屉,总有一个抽屉至少放进3本书。
•我们可以用数的分解法:
把7分解成三个数,有（7,0,0）,（6,1,0）,（5,1,1）,（4,1,2）,（3,1,3）,（3,2,2）这样六种情况。
在任何一种情况中,总有一个数不小于3。
师:
同学们,通过上面两种方法,我们知道了把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。
但随着书的本书增多,数据变大,如果有8本书会怎样呢?
10本呢?
甚至更多呢?
用列举法、数的分解法会怎样?
（繁琐）我们能不能找到一种适用各种数据的一般方法呢?
请同学们自己想一想。
学生进行独立思考。
师:
假设把书尽量的“平均分”给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少本书,你们能用什么算式表示这一平均分的过程呢?
生:
7÷3=2……1
师:
有余数的除法算式说明了什么问题?
生:
把7本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩1本;把剩下的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放3本书。
师:
如果有8本书会怎样呢?
生:
8÷3=2……2,可以知道把8本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩2本;把剩下的2本中的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放3本书。
师:
10本书呢?
生:
10÷3=3……1,可知把10本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放3本书,还剩1本;把剩下的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放4本书。
师:
你发现了什么?
师生共同小结:
要把a个物体放进n个抽屉,如果a÷n=b……c（c≠0）,那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。
【设计意图:
在渗透研究问题、探索规律时,先从简单的情况开始研究。
证明过程中,展示了不同学生的证明方法和思维水平,使学生既互相学习、触类旁通,又建立“建模”思想,突出了学习方法】
师:
通过今天的学习,你有什么收获?
生:
物体数除以抽屉数,那么总会有一个抽屉里放进比商多1的物体个数。
师:
你能在生活中找出这样的例子吗?
学生举例说明。
师:
之所以把这个规律称之为“原理”,是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理解决的问题,研究出这个规律是非常有价值的。
同学们继续努力吧!
【设计意图:
研究的问题来源于生活,还要还原到生活中去。
在教学的最后,请学生总结这节课学会的规律,再让学生举一些能用“鸽巢问题”解释的生活现象,以达到巩固应用的目的】
鸽巢问题
1.学生对“至少”理解不够,给“建模”带来了一定的难度。
2.培养学生的问题意识,借助直观操作和假设法,将问题转化成“有余数的除法”形式,可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般思路。
3.经历将具体问题“数学化”的过程,有利于提高学生的数学思维能力,让学生在运用新学知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中,进一步体验数学的价值,感受数学的魅力,培养学习数学的兴趣
A类
1.1001只鸽子飞进50个鸽舍,无论怎么飞,我们一定能找到一个鸽子最多的鸽舍,它里面至少有（ ）只鸽子。
2.从8个抽屉中拿出17个苹果,无论怎么拿,我们一定能找到一个拿出苹果最多的抽屉,从它里面至少拿出了（ ）个苹果。
3.从（ ）（填最大数）个抽屉中拿出25个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当中至少拿了7个苹果。
（考查知识点:
鸽巢问题;能力要求:
灵活运用所学知识解决简单的具体问题）
B类
你能证明在任意的37人中,至少有4人的属相相同吗?
说明理由。
（考查知识点:
鸽巢问题;能力要求:
灵活运用所学知识解决生活中的实际问题）
课堂作业新设计
A类:
1.21 2.3 3.4
B类:
把12个属相看作12个抽屉。
37÷12=3……1 3+1=4 即在任意的37人中,至少有4人属相相同。
教材习题
第68页“做一做”
1.我们可以假设3只鸽子分别飞进了三个鸽笼,那么剩余的2只鸽子无论飞进哪个鸽笼,都会出现“总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子”这个结果。
2.因为5人抽4种花色的扑克牌,假设其中的4人每人分别抽到其中一种花色,那么剩下的1个人无论抽到什么花色,就出现“至少有2张牌是同花色”这个结果。
第69页“做一做”
1.11÷4=2（只）……3（只）,可知如果每个鸽笼飞进2只鸽子,剩下的3只鸽子飞进其中任意3个鸽笼,那么至少有3只鸽子飞进了一个鸽笼。
2.5÷4=1（人）……1（人）,可知如果每把椅子上坐1人,剩下的1人再生其中任意的1把椅子上,那么至少有1把椅子上坐了2人。
“鸽巢问题”的具体应用
教材第70、第71页。
1.在了解简单的“抽屉原理”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。
2.提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3.通过用“抽屉原理”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”,找出这里的“抽屉”是什么,“抽屉”有几个,再利用“抽屉原理”进行反向推理。
课件、纸盒1个,红球、蓝球各4个。
1.讲《月黑风高穿袜子》的故事。
一天晚上,毛毛房间的电灯忽然坏了,伸手不见五指。
这时他又要出去,于是他就摸床底下的袜子。
他有蓝、白、灰色的袜子各一双,由于他平时做事随便,袜子乱丢,在黑暗中,无法知道哪两只是颜色相同的。
毛毛想拿最少数目的袜子出去,在外面借街灯配成相同颜色的一双。
你们知道最少应该拿几只袜子出去吗?
2.在学生猜测的基础上揭示课题。
教师:
这节课我们利用“抽屉原理”解决生活中的实际问题。
（板书:
“抽屉原理”的具体应用）
1.课件出示例3。
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个,要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出几个球?
2.学生自由猜测。
可能出现:
摸2个、3个、4个、5个等。
说说你的理由。
3.学生摸球验证。
按猜测的不同情况逐一验证,说明理由。
摸2个球可能出现的情况:
1红1蓝;2个红球;2个蓝球。
摸3个球可能出现的情况:
2红1蓝;2蓝1红;3红;3蓝。
摸4个球可能出现的情况:
2红2蓝;3蓝1红;3红1蓝;4红;4蓝。
摸5个球可能出现的情况:
4红1蓝;3蓝2红;3红2蓝;4蓝1红。
教师:
通过验证,说说你们得出了什么结论。
小结:
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。
要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸3个球。
4.引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”。
教师:
生活中像这样的例子很多,我们不能总是猜测或动手试验吧,能不能把这道题与前面所讲的“抽屉原理”联系起来进行思考呢?
（1）思考。
①“摸球问题”与“抽屉原理”有怎样的联系?
②应该把什么看成“抽屉”?
有几个“抽屉”?
要分放的东西是什么?
③得出什么结论?
（2）小组讨论。
（3）学生汇报,引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”。
教师讲解:
因为一共有红、蓝两种颜色的球,可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”,“同色”就意味着“同一抽屉”。
这样,把“摸球问题”转化成“抽屉问题”,即“只要分的物体个数比抽屉个数多,就能保证有一个抽屉至少有2个球”。
从最特殊的情况想起,假设两种颜色的球各拿了1个,也就是在两个“抽屉”里各拿了1个球,不管从哪个“抽屉”里再拿1个球,都有2个球是同色的,假设最少要摸a个球,即（a）÷2=1……（b）,当b=1时,a就最小。
所以一次至少应拿出1×2+1=3（个）球,就能保证有2个球同色。
结论:
要保证摸出2个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。
【设计意图:
在实际问题和“鸽巢问题”之间架起一座桥梁并不是一件容易的事。
因此,教师应有意识地引导学生朝这个方向思考,慢慢去感悟。
逐步引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”,并找出这里的“鸽巢”是什么,“鸽巢”有几个】
师:
在本节课的学习中,你有哪些收获?
学生自由交流各自的收获、体会。
“抽屉原理”的具体应用
1.在思考应该把什么看成抽屉,要分放的东西是什么时,学生一开始可能会缺乏思考的方向,很难找到切入点。
2.不同颜色的球的个数,很容易给学生造成干扰。
因此教学时,教师要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
A类
1.某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,小书架上至少要有多少本书,才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书?
2.有4双不同颜色的手套,至少拿几只手套才能保证有两只手套是成对的?
（考查知识点:
鸽巢问题;能力要求:
运用“鸽巢问题”的原理解决实际问题）
B类
有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起,如果让你闭上眼睛去摸,你至少要摸出几根才能保证有2根筷子是同色的?
为什么?
至少摸出几根,才能保证有4根同色的筷子?
为什么?
（考查知识点:
鸽巢问题;能力要求:
运用“鸽巢问题”的原理解决问题）
课堂作业新设计
A类:
1.将40个同学看作40个“抽屉”,书看作被分的物体,由“抽屉原理”知:
要保证有一个抽屉中至少有两个物体,物体数至少为40+1=41（个）。
即小书架上至少要有41本书。
2.5只
B类:
把三种颜色的筷子当作三个“抽屉”,根据“抽屉原理”可知:
至少拿4根筷子,才能保证有2根同色筷子。
从最特殊的情况想起,假设三种颜色的筷子各拿了3根,也就是在三个“抽屉”里各拿了3根筷子,不管在哪个“抽屉”里再拿1根筷子,就有4根筷子是同色的,所以一次至少应拿出3×3+1=10（根）筷子,才能保证有4根筷子同色。
教材习题
第70页“做一做”
1.“六年级里至少有两人的生日是同一天”,这种说法是正确的。
因为如果一年当中每天都有一名学生过生日（闰年366天）,则最多有366名学生的生日都不是在同一天,还剩下1名学生;剩下的这一名学生生日无论在哪一天,都一定会有两人的生日是相同的,即他们的生日在同一天。
“六
（2）班中至少有5人在同一个月出生的”这种说法是正确的。
因为49÷12=4（人）……1（人）,可知如果每4人是同一个月出生的,还剩下1人。
把剩下的1人再定为其中任意一个月出生的,则六
（2）班中至少有5人是同一个月出生的。
2.至少取5个球,可以保证取到两个颜色相同的球。
第71页“练习十三”
1.若每个属相都有一位老师,这样只有12位老师,所以第13位老师的属相无论是什么,他们中至少有2个人的属相是相同的。
2.若每一镖都低于9环,5镖的成绩最高是40环,因此至少有一镖不低于9环。
3.若每一种颜色涂得都少于3个面,两种颜色涂得面的总数就少于6个面,因此至少有3个面涂着的颜色相同。
4.每次至少拿出4根才能保证一定有2根同色的筷子;如果要保证有2双筷子至少要拿出6根。
5.任意给出的3个不同的自然数,有4种可能:
奇数、奇数和偶数;奇数、偶数和偶数;奇数、奇数和奇数;偶数、偶数和偶数。
而“奇数+奇数=偶数”,“偶数+偶数=偶数”,所以无论是哪种可能的情况下,都会出现这两种结果当中的一种,即任意给出3个不同的自然数,其中一定有2个数的和是偶数。
6.如果只涂两行的话,至少有三列的涂法是相同的。
升级会员 