鸡兔同笼问题的案例花.docx

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鸡兔同笼问题的案例花

数学广角——《鸡兔同笼》教学案例

新洲区阳逻街中心小学陈金花

【教学内容】：

人教版课程标准实验教科书六年级上册第112—114页内容

【教学目标】：

1、通过问题情境，了解“鸡兔同笼”的问题，感受古代数学的趣味性。

2、在探求解决问题方法的过程中，经历列表法、假设法、列方程解等方法的交流，体验解决问题策略的多样化与策略的优化。

3、通过解决实际生活问题的练习，培养数学思考能力，发展思维能力。

【教学重点】：

“鸡兔同笼”问题的解题方法。

【教学难点】：

用假设法来解决鸡兔同笼问题。

【教学过程】：

课前准备：

让学生诵读古诗。

一、创设情境，引出问题

1、师：

从同学们刚才背得诗词中，让我们感受到我国古代文化的灿烂，然而这种文化的精髓不仅体现在语言文字中，在数学领域也有充分的体现。

例如我们数学课上接触过的七巧板，九宫格填数等等，这些都起源于中国古代，不仅如此，在数学领域还有《九章算术》、《孙子算经》等古代名著流传于世。

今天我们就一起来探究一千五百年前的数学名著《孙子算经》中的趣味数学题“雉兔同笼”问题，这个“雉兔同笼”问题曾漂洋过海，传到日本、欧洲等国，对世界各国的文明发展起了很大的作用。

2、课件出示主题图和原题：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

师：

你能说说这道题是什么意思吗？

（说明：

雉指鸡）

生：

有鸡和兔子关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94只脚，问鸡和兔各有多少只？

出示题目：

笼子里有若干只鸡和兔。

从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只？

3、揭示课题：

这就是我们今天要研究的“鸡兔同笼”的问题。

（板书课题）

【设计意图：

教学即对文化的传承与弘扬，数学教学也不例外，数学同样也是一种文化。

利用我国古代数学名著《孙子算经》中的数学趣题直接导入新课学习，既让学生感受到了中国数学文化的悠久与魅力，同时激发了学生探究的兴趣和动机，明确了本节课学习的目的与要求，并为后面充分地探究学习争取了时间。

】

二、自主探索，解决问题

（一）第一次探究学习

1、师：

这个问题看似比较复杂，当我们面对复杂问题的时候我们要学会“退一步”，我们都听过“退一步海阔天空”，那我们就将头的个数，脚的只数变小来思考一下。

师：

大家动脑筋猜一猜，“从上面数，有3个头，从下面数，有8只脚，鸡兔各有几只？

”

2、学生猜测。

提出要求：

（1）你是怎么猜的，说一说你猜的过程。

生：

我猜有2只鸡和1只兔，因为2×2＋1×4=8，符合题目要求。

师：

2×2＋1×4中的2和4分别代表什么？

生：

2是鸡的脚的只数，4是兔脚的只数。

（引导学生说出隐藏了条件：

鸡有2只脚，兔有4只脚。

）

师：

原来这道题目里面隐藏了“鸡有2只脚，兔有4只脚”这两个条件。

（教师板书：

鸡有2只脚，兔有4只脚）

（2）你能将你的猜测过程画出来吗？

说说想法。

师：

你会怎样画？

怎样画方便？

（渗透符号的思想：

用○来表示头，用▏来表示脚。

）

生：

用○来表示头，用▏来表示脚。

指名学生上台画，其他学生观察他画的过程，做出评价。

师提问：

说说你先画的是头还是脚？

生：

先画头。

师：

为什么要先画头呢？

生：

因为鸡有1个头，兔也有1个头，题目说有3个头，那就是有3只动物，所以要先画头。

师：

为什么每个头下面要先画2只脚？

生：

至少鸡有2只脚，所以先画2只脚。

师：

那多出来的脚是一只一只的往头下面添吗？

生：

不是一只一只的添，一只兔比一只鸡多2只脚，所以要两只两只的添。

师：

这类问题我们还可以用画图的方式来解决，这种方法在数学上叫画图法。

【设计意图：

将《孙子算经》中的原题中的数据由大变小，既为分析和解决问题提供了方便，也巧妙渗透了转化的数学思想方法。

将大数目的“鸡兔同笼”问题转变成小数目的“鸡兔同笼”问题后，使得用画出直观图的思想方法来解决这一问题成为了可能，经历画图法的过程后，同时为后面假设法的学习做了准备。

】

（二）第二次探究学习

师：

我们刚才退一步将头的个数，脚的只数变小将问题解决了，那我们还要退中有进。

1、出示：

笼子里有若干只鸡兔。

从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？

师提问：

这道题告诉了我们什么已知条件？

生：

鸡和兔一共有8只，它们共有脚26只。

师：

你怎么知道鸡和兔共有8只？

生：

一共有8个头，所以一共有8只。

2、引导学生探求解决问题的方法，交流学习。

（1）列表法

师提问：

鸡和兔一共有8只，那你能不能猜测一下鸡兔可能各有几只？

课件

生：

鸡8只，兔0只；鸡7只，兔1只；鸡6只，兔2只；鸡5只，兔3只；鸡4只，兔4只；鸡3只，兔5只；鸡2只，兔6只；鸡1只，兔7只；鸡0只，兔8只。

师：

可能的情况是这几种吗？

（课件出示可能的情况）

师：

要想能够没有遗漏，没有重复的例举鸡和兔各有几只的可能情况，那我们就要像这样有序地来例举。

师：

这位同学的猜测始终围绕着鸡和兔一共是几只在猜？

生：

8只。

师：

有这么多种可能，究竟哪种猜测是正确的呢？

怎么才能知道哪种可能是正确的，鸡是几只，兔是几只？

生：

验证。

师：

验证？

如何验证？

就是算什么？

生：

就是算鸡和兔脚的总只数。

师：

有9种可能，那我们从哪里开始验证呢？

生：

可以从鸡8只，兔0只开始，一个一个地验证脚的总只数。

师：

这样验证可以，还可以从哪里开始验证呢？

生：

可以从鸡4只，兔4只开始。

4×2＋4×4=24

师：

验证了鸡4只，兔4只它们脚的总只数后，再怎样验证？

是往前验证，还是往后验证？

为什么？

生：

应该往后验证，因为鸡4只，兔4只它们脚的总只数是24，比26少，那说明兔的只数少了，所以要往后验证。

师：

那你们觉得怎样验证好呢？

好在哪里？

生：

从中间开始验证好，能较快得到鸡兔的只数。

师：

就按你们刚才说得办，把书翻到113页，完成书上的表格。

完成后，集体交流验证的过程。

生：

从鸡4只，兔4只开始验证，它们脚的总只数是24只，比26少了2只，那就说明兔的只数要多一些，多1只兔少1只鸡，那么脚的总只数就会增加2只。

所以鸡有3只，兔有5只。

师：

刚才我们把鸡兔出现的可能一一列表，然后采用逐一验证的方法或从中间验证的方法，这样的方法在数学上叫列表法。

（教师板书：

列表法）

【设计意图：

将各种可能的结果有序地列举在表格中，通过验证脚的总只数来确定鸡兔各有几只，让学生在验证的过程中不断调整思路，从而优化解决问题的策略。

】

（2）列方程解

师：

那这类有两个未知量的题目还可以怎样解答呢？

生：

用方程来解答。

师：

那我们该如何设未知数呢？

生：

设鸡有x只，那么兔有8－x只。

师：

还可以怎样设未知数？

生：

设兔有x只，那么鸡有8－x只。

师：

好，那我们就设兔有x只，那么鸡有8－x只，来列方程解答。

学生独立完成，集体交流。

指名学生演板。

师提问：

4x和2×（8－x）分别表示什么？

根据什么列方程？

生：

4x是兔脚的总只数，2×（8－x）是鸡脚的总只数，根据鸡和兔共有26只脚列方程。

4x+2×（8－x）=26

师：

每次我们解答问题遇到困难的时候，方程总是会帮助我们解答，看来列方程解题还真是很好的解题方法。

【设计意图：

列方程解题是学生在五年级已学过的方法，但运用到解决鸡兔同笼问题之中又是新策略。

以旧知识和旧方法为基础，放手让学生大胆尝试、自主探究，抓住其中的疑难点设问，帮助学生真正理解过程、掌握方法、提升技能。

同时让学生感受到了代数法解题的一般性。

】

（3）假设法

师：

解决鸡兔同笼问题，还有没有其它的方法呢？

生：

还有假设法。

师：

假设法是怎样的？

如何用假设法来解答呢？

学生根据自己的经验来介绍假设法解题的过程。

师：

假设笼子里都是鸡，脚的只数是几只？

生：

16只。

师：

只要有1只兔子学了鸡，脚的总只数就会怎样变化？

生：

就会减少2只脚。

师：

要是有4只兔子学鸡，脚的总只数又会怎样变化？

生：

会减少8只脚。

师：

要是脚的总只数减少了12只，想想有几只兔子学了鸡？

生：

有6只。

12÷2=6

师：

现在笼子里都是鸡，脚有16只，跟26比少了26－16=10只脚，少的是谁的脚？

兔子有几只呢？

生：

少的是兔子的脚，兔子有5只。

10÷2=5

师：

兔有5只，鸡就有几只？

生：

鸡有3只。

8－5=3

师：

哪位同学能将这个过程再说一遍。

生：

假设笼子里都是鸡，就有8×2=16只脚，这样就多出26－16=10只脚，一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有10÷2=5只兔。

所以笼子里有3只鸡，5只兔。

教师根据学生的回答板书解题过程。

师：

还可以怎样假设呢？

生：

假设都是兔。

师：

假设都是兔，鸡怎么学兔呢？

生：

鸡可以用它的两个翅膀当脚。

师：

1只鸡学兔，脚的总只数怎样变化？

生：

脚的总只数会增加2只。

师：

3只鸡学鸡呢？

生：

会增加6只。

师：

要是脚的总只数增加了10只，想想有几只鸡学兔子？

生：

有5只。

10÷2=5

师：

要是笼子里都是兔，共有几只脚？

生：

有32只脚。

师：

32比26多32－26=6只脚，多的是什么？

生：

多的是鸡的翅膀。

师：

鸡有几只？

生：

鸡有3只。

6÷2=3

师：

哪位同学能将这个过程再说一遍。

生：

假设笼子里都是兔，就有8×4=32只脚，这样就多出32－26=6只脚，一只鸡学兔就多2只脚，多的6只脚是鸡的翅膀，就有6÷2=3只鸡。

所以笼子里有3只鸡，5只兔。

教师根据学生的回答板书解题过程。

师：

真好，这种假设的方法是数学中一种重要的思想方法。

假设的思想方法，我们不仅能解决鸡兔同笼问题，还能解决生活中的很多问题。

【设计意图：

让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学难点。

为此，以表格中数据变化规律为探究基础，以师生互动为探究方式，以教师生动的肢体语言为探究辅助手段，逐一将难点突破，巧妙地将学生认知经验和思维过程转化成了数学语言，即数学算式，从而形成了解决问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。

】

3、小结交流，归纳方法

师：

我们在解决“鸡兔同笼”的问题时，用到了哪些方法？

比较这些方法，你喜欢用哪种？

为什么？

你认为哪种方法一般都能适用？

小结：

解决这类问题的方法很多，用猜测、画图、列表法可以解决问题，但当数据较大时，过程就很繁琐了。

假设法和方程解就具有一般性，不管是数据较大时或数据较小时都可用到这两种方法。

【设计意图：

在计算教学中，需要算法多样化，更需要算法的优化；同样，在解决问题教学中，需要策略多样化，更需要策略的优化。

发散思维与收敛思维应该兼顾并进。

但优化并不等于强加，优化也强调自主和需要过程。

】

三、应用方法，解决问题

1、师：

你能用假设法或者方程解来解答“孙子算经”里的问题吗？

课件再出示：

笼子里有若干只鸡和兔。

从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只？

2、学生交流介绍自己的算法，集体订正。

3、师：

想知道古人在解答这道题时是怎么做的吗？

（让学生看课本第114页的“阅读资料”，了解“抬脚法”，在西方把这种方法叫做玻利亚跳舞法。

）

【设计意图：

解决《孙子算经》中的原题，让学生排除了开课的悬念；向学生介绍特殊而巧妙的古代“抬腿法”，让学生进一步感受到了我国古代数学的魅力。

】

四、汇报交流，总结归纳

通过本课的学习，你有什么收获？

你有什么体会？

五、推广应用，形成技能

练一练：

1.自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。

自行车和三轮车各有多少辆？

2.有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。

龟、鹤各有几只？

【设计意图：

通过解决生活中类似于鸡兔同笼的问题，让学生体会到了此类问题在现实中的广泛存在，进而凸显了本节课的学习价值。

】

六、板书设计：

鸡兔同笼（隐含条件：

鸡有2只脚兔有4只脚）

猜测：

兔12

鸡21

2×2＋1×4=8

画图法：

列表法：

逐一验证

取中验证

列方程解：