八上数学 第一章勾股定理知识点归纳+易错题精选含答案.docx

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八上数学第一章勾股定理知识点归纳+易错题精选含答案

八年级数学上册第一章勾股定理

知识点+易错题精选

1、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：

满足的三个正整数，称为勾股数。

勾股定理易错题精选

一．选择题

1．以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4B．6，8，10C．5，8，13D．12，13，14

2．用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（　　）

A．c2=a2+b2B．c2=a2+2ab+b2C．c2=a2﹣2ab+b2D．c2=（a+b）2．

3．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D，E，F，G，H，I都是矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）

A．360B．400C．440D．484

4．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（　　）

A．3B．4C．5D．6

5．下列说法中正确的是（　　）

A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2

B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方

C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2

D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2

6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1，则点A到边BC的距离为（　　）

A．B．C．D．3

7．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）

A．b2﹣c2=a2B．a：

b：

c=3：

4：

5

C．∠C=∠A﹣∠BD．∠A：

∠B：

∠C=9：

12：

15

8．某中学旁边有一块三角形空地，为了保持水土，美化环境，全校师生一齐动手，在空地的三条边上栽上了树苗（如图）．已知三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，那么这块空地的形状为（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定

9．长方形门框ABCD中，AB=2m，AD=1.5m．现有四块长方形薄木板，尺寸分别是：

①长1.4m，宽1.2m；②长2.1m，宽1.7m；③长2.7m，宽2.1m；④长3m，宽2.6m．其中不能从门框内通过的木板有（　　）

A．0块B．1块C．2块D．3块

10．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA=24千米，CB=16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　）

A．20千米B．16千米C．12千米D．无法确定

二．填空题

11．已知直角三角形的三边分别为6、8、x，则x=　　．

12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　　．

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为　　．

14．观察下列式子：

当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5

n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10

n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17…

根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a=　　，b=　　，c=　　．

15．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形的形状是　　三角形．

16．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角的大小为　　度．

17．如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=12cm，BC=3cm，CD=4cm，AD=13cm．求四边形ABCD的面积=　　cm2．

18．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为　　米（精确到0.1m）．

19．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠BAC=60°，点C在点B的正西方向，海岛B与灯塔C之间的距离是　　海里．

20．如图是一段楼梯，∠A=30°，斜边AC是4米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯　　米．

二．解答题

21．如图，你能用它验证勾股定理吗？

（提示：

以斜边为边长的正方形的面积+四个三角形的面积=外正方形的面积）

22．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13．试判断△ACD的形状，并说明理由．

23．问题情境：

在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．

操作发现：

小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．

（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB=　　，BC=　　，AC=　　；△ABC的面积为　　．

解决问题：

（2）已知△ABC中，AB=，BC=2，AC=5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．

24．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？

请通过计算进行说明．

25．某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m．

（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；

（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离

BD=4m吗？

为什么？

（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？

26．如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，

（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；

（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？

参考答案

一．选择题

1．

【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．

【解答】解：

A、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；

B、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项正确；

C、52+82=89≠132，不能构成直角三角形，故本选项错误；

D、122+132=313≠142，不能构成直角三角形，故本选项错误；

故选：

B．

2．

【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式．

【解答】解：

由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其边长为c，

里边的小四边形也为正方形，边长为b﹣a，

则有c2=ab×4+（b﹣a）2，

整理得：

c2=a2+b2．

故选：

A．

3．

【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：

如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，

所以，四边形AOLP是正方形，

边长AO=AB+AC=6+8=14，

所以，KL=6+14=20，LM=8+14=22，

因此，矩形KLMJ的面积为20×22=440．

故选：

C．

4．

【分析】OA1=1，OA2==，OA3==，找到OAn=的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数．

【解答】解：

找到OAn=的规律，

所以OA1到OA25的值分别为，，……，

故正整数为=1，=2，=3，=4，=5．

故选：

C．

5．

【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．

【解答】解：

在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．

A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；

B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；

C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；

D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；

故选：

C．

6．

【分析】首先利用勾股定理求出三角形的边长，然后得到三角形是等腰三角形，进而利用勾股定理求出AD的长即可．

【解答】解：

根据勾股定理可知：

AB==，AC==，BC==，

则△ABC是等腰三角形，

过点A作AD⊥BC，垂足为D，

即BD=CD=BC=，

AD===，

即点A到BC的距离为．

故选：

C．

7．

【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．

【解答】解：

b2﹣c2=a2

则b2=a2+c2

△ABC是直角三角形；

a：

b：

c=3：

4：

5，

设a=3x，b=4x，c=5x，

a2+b2=c2，

△ABC是直角三角形；

∠C=∠A﹣∠B，

则∠B=∠A+∠C，

∠B=90°，

△ABC是直角三角形；

∠A：

∠B：

∠C=9：

12：

15，

设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，

则9x+12x+15x=180°，

解得，x=5°，

则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，

△ABC不是直角三角形；

故选：

D．

8．

【分析】根据三边上的树苗的数分别求得三边的长为13、47、49，根据三边的长判断三角形的形状即可．

【解答】解：

∵三边上的树苗数分别为50、14、48，空地的三个角均有一棵树，且每条边上的树苗株距均为1米，

∴三边的长分别为13米、47米、49米，

假设为直角三角形且直角三角形的最长边为x，

则：

x2=132+472=2378，

∵492=2401＞2378，

∴该三角形为钝角三角形．

故选：

B．

9．

【分析】求出长方形门框的对角线长，宽小于或等于长方形门框的对角线的长的木板就可通过．

【解答】解：

门框的对角线长是：

=2.5m．