奥数列方程解应用题.docx

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奥数列方程解应用题

列方程解应用题

列方程解应用题的一般步骤是：

　①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；

　　②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：

问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数；

　　③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；

　　④解方程；

　　⑤将结果代入原题检验。

概括成五个字就是：

“审、设、列、解、验”.

列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。

寻找等量关系的常用方法是：

根据题中“不

变量”找等量关系。

一些基本概念：

（1）像4x+2=9这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元

一次方程；

（2）像2x+y=8这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元

一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；

（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个

方程才能求出唯一解.

如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法.

类型Ⅰ：

列简易方程解应用题

【例1】（难度系数：

★★）解下列方程：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

分析：

（1）

以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验.

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

请教师强调学生在解答时要注意：

移项变号、同类放在等式一边、（4）中去括号时每一项都要发生相应变化、（6）中每一项都同时扩大6倍、（5）中可以先简化运算的一定要先化简。

（7）法1：

加减消元法（8）

法2：

代入法.

建议教师将（7）、（8）贯穿起来，让学生深刻体会：

（1）代入法，以及代入法在什么情况下好用；

（2）加减消元法，其本质是找（制造）到一个未知数的系数相等，再利用等式加减得到结果.

【例2】（难度系数：

★★）汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？

（声音的速度以340米/秒计算）

分析：

72千米/小时=72000米/3600秒=2米/秒，设听到回音时汽车离山谷x米，根据题意可得：

340×4=2x+2×4，解得x=676（米）.

【例3】（小数报数学竞赛初赛）（难度系数：

★★★）用绳子测井深，绳子两折时,余60厘米,绳子三折时,差40厘米，求绳长和井深？

分析：

法1：

设井深是x厘米，则有：

2x+60×2=3x-40×3，井深x=240（厘米），绳长600厘米；

法2：

设绳长是y厘米，则有：

【例4】（难度系数：

★★）箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球．如果经过若干次以后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个?

分析：

设取球的次数为x次．那么原有的白球数为（3+7x），红球数为（53+15x）．再根据题中的第一个条件：

53+15x=3×（3+7x）+2，解得x=7，所以原有红球158个，原有白球52个，红球比白球多106个．此题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非常清晰简单．

【例5】（难度系数：

★★★）小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。

他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：

“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100.”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？

分析：

设动物园有x只猩猩，依题意有：

（x+x）+（x-x）+x×x+x÷x=100，即2x+0+x×x+1=100，亦即

x（x+2）=99，又ｘ整数，只有唯一解ｘ=9．

【例6】（难度系数：

★★★）从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。

一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。

车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：

甲乙两地公路有多少千米？

从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？

分析：

从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。

设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得

解得x＝140，y=70，所以甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路.

【例7】（难度系数：

★★★★）幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人.老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3个枣，乙班比丙班总共多分了5个枣，三个班总共分了多少个枣？

分析：

法1：

设甲班有x人，则乙班有（x－4）人，丙班有（x－8）人；甲班每人分得y个枣，则乙班每人分得（y+3）个，丁班每人分得（y+8）个．那么有甲班共分得xy个枣，乙班共分得（x-4）（y+3）枣，丙班共分得（x-8）（y+8）个枣．

，整理有

，解得

．

因此，甲班小孩19人，每个小孩分枣12个；乙班小孩15人，每个小孩分枣15个；丙班小孩11人，每个小孩分枣20个．19×12+15×15+11×20＝673（个），所以，三班共分673个枣．

法2：

先看甲、丙两班，有甲班x人比丙班x人少分8x颗枣，而甲班共分得枣比丙班多8个，所以甲班多出的8人共分得8x+8颗枣，即每人分得x+1颗枣．那有

再看乙、丙班，乙班x人比丙班x人少分5x颗枣，而乙班共分得的枣比丙班多5个枣，所以乙班多出的4人共分得5x+x颗枣，即每人分得（5x+5）÷4颗枣．有（5x+5）÷4＝x+4，解得x＝11．因此，甲班小孩19人，每个小孩分枣12个；乙班小孩15人，每个小孩分枣15个；丙班小孩11人，每个小孩分枣20个．19×12+15×15+11×20＝673（个），所以三班共分673个枣．

类型Ⅲ：

引入参数列方程解应用题

对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。

【例8】（101中学分班考试试题）（难度系数：

★★）五年级二班数学考试的平均分数是85分，其中

的人得80分以上（含80分），他们的平均分数是90分。

求低于80分的人的平均分。

分析：

设该班级有

名同学，低于80分的人的平均分为

，则得方程:

解得x=75.

【例9】（华杯赛决赛）（难度系数：

★★★★）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班的学生开始步行，车到中途某处，让甲班的学生下车步行，车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫，两班学生正好同时到达。

已知学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速为每小时40千米，空车时速度为每小时50千米。

求甲班学生应步行全程的几分之几?

（学生上下车时间不计）

分析：

因为每班步行和坐车的行程总和一样长，又同时出发，同时到达，所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都相等。

也就是说图上乙步行的距离b千米和甲步行的距离a千米相等。

而根据题意我们又可以找到下列等量关系：

乙班步行b千米（也就是a千米）所用的时间等于汽车送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。

然后根据等量关系列方程解答即可。

设全程为x千米，甲、乙两班分别步行a、b千米，根据题意得：

所以甲班步行了全程的

.

由上例可以看出，列方程解应用题并不一定只设一个未知数，根据解题的需要，我们有时可以多设几个字母来代替数，帮助我们理清题目中复杂的数量关系，以便我们能够很快的找到解决问题的途径。

【例10】（小学奥林匹克决赛）（难度系数：

★★★）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10和12，已知梯形的上底是下底长的

。

那么余下的阴影部分的面积是多少？

分析：

设上底为

，那么下底为

，则上下两个三角形的高分别为

，

，梯形的高是

，其面积为

，阴影部分面积为

。

类型Ⅱ：

列不定方程解应用题

有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。

这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的，对于这部分内容我们是要和数论中的数的整除性问题结合起来。

但注意到题目对解的要求，有时只需要其中一些或个别解。

【例11】（奥数网习题库）（难度系数：

★）有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。

问：

大、小油桶各几个？

分析：

设有大油桶x个，小油桶y个。

由题意8x+5y=44，知8x≤44，所以x＝0、1、2、3、4、5。

相应的将x的所有可能值代入方程，可得x＝3时，y=4.此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解.

【例12】（迎春杯预赛试题）（难度系数：

★★）小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔＿＿支．

分析：

设买5分一支的铅笔ｍ支，7分一支的铅笔n支。

则：

5×ｍ+7×ｎ=64，64—7×n是5的倍数．用n=0，1，2，3，4，5，6，7，8代入检验，只有n=2，7满足这一要求，得出相应的ｍ=10，3．即小华买铅笔lO+2＝12支，小强买铅笔7+3=10支，小华比小强多买2支．

【例13】（奥数网习题库）（难度系数：

★★★）小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。

小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。

问：

小明至多套中小鸡几次？

分析：

设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗（10-x-y）次。

根据得61分可列方程：

9x+5y+2（10-x-y）=61，化简后得7x=41－3y。

显然y越小，x越大。

将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5，所以小明至多套中小鸡5次.

附加题目

【附1】（101测试题）（难度系数：

★★）甲、乙、丙、丁四人共做零件270个。

如果甲多做10个，乙少做10个，丙的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？

分析:

设四人做的零件数恰好都为x，根据题意可得：

（x-10）+（x+10）+（x÷2）+（x×2）=270，解得x=60，丙实际做了60÷2=30（个）.

【附2】（迎春杯刊赛）（难度系数：

★★★）有甲乙丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时；丙是22岁，当乙的年龄是丙的2倍，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁?

分析：

设丙22岁时，乙的年龄是x岁，当时甲的年龄就是2x岁．那么甲是3l岁时，乙是（31-x）岁，丙是22+（31-2x）=53-2x岁，且有：

31-x=2×（53-2x），解得x=25，所以乙25岁时，甲50岁，丙22岁．那么甲60岁时，丙32岁．

利用方程解年龄问题．设定乙的年龄之后，我们可以把各个时期甲、乙、丙的年龄都用含有x的式子表达出来，继而很方便地建立等量关系．

【附3】（奥数网习题库）（难度系数：

★★★）有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆石子个数就也相等了；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍，问：

原来甲堆有多少个石子?

分析：

设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙后，甲乙两堆都是（x-8）个石子；然后乙取6个给丙，乙丙的石子数都变成了x-8-6=x-14；再从丙堆取2个给甲堆，那么甲堆变为x-8+2