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辅助函数在数学中的应用

09级毕业论文答辩稿

辅助函数在数学中的应用

学号：

902091126

组别：

内容提要

高等数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，在数学中的应用是非常重要的.当我们遇到特殊的题目时，用常规方法可能比较复杂.这时我们就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.因此，学习构造辅助函数对于我们证明、解题是非常有帮助的.本论文是从证明定理与解题两方面分别来阐述辅助函数的作用，通过本文我们会更好的了解辅助函数在数学中的应用.

关键词：

辅助函数定理证明

Abstract

Summary：

Theauxiliaryfunctionisappliedtohighermathematicsasaddingauxiliarylineingeometry.It’sapplicationsofmathematicsisveryimportant.Usetheconventionalmethodmaybecomplicatedwhenweencounterspecialproblems.Thenwecanconstructtheauxiliaryfunctionlikeabridgedonotneedalotofalgorithmtogettheresult.Therefore,itisveryhelpfulforustostudythestructureofauxiliaryfunctiontoproveandsolveproblem.Thispaperexpoundstheapplicationofauxiliaryfunctionrespectivelyfromtwoaspectsoftheoremprovingandproblemsolving.Throughthispaperwewillknowbetterinmathematics.

Keywords:

auxiliaryfunctiontheoremtestify

一、绪论1

二、辅助函数在定理证明中的应用1

（一）构造辅助证明牛顿-莱布尼兹公式1

（二）构造辅助函数证明泰勒公式2

（三）构造辅助函数证明拉格朗日中值定理4

三、辅助函数在解题中的应用5

（一）构造辅助函数证明恒等式5

（二）构造辅助函数证明不等式7

（三）构造辅助函数讨论方程的根9

（四）构造辅助函数证明中值问题10

（五）构造辅助函数求极限11

四、总结12

参考文献13

后记13

辅助函数在数学中的应用

一、绪论

辅助函数是一种让我们更好的，更简单的学习数学知识的方法，.我在本文讨论了一下辅助函数的应用，发现它在数学中的应用是非常广泛的.我们学习数学不只是探索与发现，还有找到最简单的方法解决问题，本文主要内容是关于一些定理的证明，如牛顿-莱布尼兹公式的证明，泰勒公式的证明和拉格朗日中值定理的证明.这三个定理是我们在学习数学过程中经常用到的，掌握它们的证明非常关键.当然它们的证明有很多方法，这里我们只研究用构造辅助函数的方法来证明.另外还有关于解题时运用构造辅助函数的方法，有关于不等式的证明，恒等式的证明等.我们可以知道在解题方面，辅助函数也是比较适用的，本文就辅助函数的构造举例来说明.

二、辅助函数在定理证明中的应用

（一）构造辅助证明牛顿-莱布尼兹公式

牛顿-莱布尼兹公式是微积分基本定理，他把定积分和不定积分两者联系起来，使得定积分的计算更加简洁和完善，关于它的证明是我们必需要掌握的，学好牛顿-莱布尼兹公式也使我们能够更好地了解微积分.下面我们来看这个公式的证明.

定理1若在上是连续的，且是在上的一个原函数，那么

分析首先我们来构造辅助函数，现在，我们来研究这个函数的性质.

我们定义函数，那么连续，若连续，则有.

证明：

让函数获得一个增加的量，则对应的函数增量

那么可以根据区间的可加性，

假设、分别是在上的最小值和最大值，我们可以根据积分第一中值定理，则存在实数，使得

当连续时，存在，使得

于是当趋近于0时，趋近于0，即是连续的.

若连续，当，，，则

.

从而我们得出

现在，我们来证明牛顿-莱布尼兹公式.

证明我们在上面已经证得，所以，

.

显然，（因为积分区间为，故面积为0），所以.

于是有

当时

.

此时，我们就得到了牛顿-莱布尼兹公式.

证毕.

（二）构造辅助函数证明泰勒公式

泰勒公式是一个用函数在已知某一点的信息描述这一点附近所取值的公式，在函数某一点的各阶导数值已知的情况下，泰勒公式可以将这些导数值的相应倍数作系数构建多项式来近似函数在这一点的值.这样，有时不必计算大量的式子，用泰勒公式来直接近似函数值，会更简单，更快捷的得出结果.我们接下来证明泰勒公式（拉格朗日余项型）.

定理2若函数在开区间有直到阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于的多项式和一个余项的和，即分析我们知道

，

那么由拉格朗日中值定理导出的有限增量定理，得到

当，则时，误差.因此，在近似计算时时不够精确，那么我们就需要构造一个足够精确的能把误差估计出来的多项式，这个多项式是

来近似表示函数，并且，还要写出误差的具体表达式.这时，我们开始证明.

证明设函数满足，，，…，，依次求出

显然，

，则；

；

，，…，

;

至此，这个多项式的各项系数都已经求出，得

接下来，我们需要求出误差的具体表达式.

设，则

故得出

由柯西中值定理可以得到

，.

继续使用柯西中值定理得

，

这里在与之间；连续使用此后，得出

，

但是，因为，

是一个常数，所以，

于是得

.

综上所述，余项，

这样，泰勒公式得证.

（三）构造辅助函数证明拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，也是柯西中值定理的特殊情况.它的应用非常广泛，像洛必达法则，泰勒展开式都是它的应用.对于它的证明，我们知道有很多的方法来证明它，现在我们做辅助函数来证明.

定理3设函数在上连续，在内可导，则在至少存在一点，使得

分析从结论中可以看出，若将换成变量，则可得到一阶微分方程

其通解为

.

若将函数变为函数，那么得到一个辅助函数，

.

现在我们来开始证明

证明做辅助函数

，

有

.

则满足罗尔定理的三个条件，故在至少存在一点使

所以

.

拉格朗日中值定理证毕.

三、辅助函数在解题中的应用

（四）构造辅助函数证明恒等式

恒等式是很常见的一种题型，对于这种题型的证明，找到简单快速的证明方法可以节省很多时间.如对于下面的题，形式比较复杂，还存在一阶导数，我们可以构造辅助函数，然后变幻形式，创建出中值定理的成立条件，利用中值定理来证明，就会很简单了.

例1设函数在上连续，在内可导，证明在内至少存在一点，使得

分析令

，

则

为关于与的对称式，故取

.

证明令

则在上连续，在内可导，又因为

，

所以在上满足罗尔定理，

那么存在一个，使得.

即

，

即

.

上题构造辅助函数后应用了罗尔定理，使得上式证明变得简单明了.下面这个题属于条件恒等式，我们要看好条件，可以适当的进行变形，做辅助函数.

例2设在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使得

分析我们先把看成变量，由于结论可化为

即

显然其通解为把常数变成一个关于的函数我们就得到一个辅助函数，

证明做辅助函数

那么

又由于已知条件我们可以得到

并且

若时，则那么就有

若时，那么一定存在使得

又因为在上连续，由介值定理可知，一定存在两点，使得

对在上使用罗尔定理，那么至少存在一点

使得

即

上题是将一个客观存在的数看成是变量，利用拉格良朗日常数变易法的思想将方程通解里的常数变成一个的函数我们就得到了证明这个命题的辅助函数，并且在证明这种恒等式的例子中，运用中值定理比较广泛，而在中值定理中，罗尔定理是最常用的，如上题.这种方法能开拓我们的学习做题的思路.

（五）构造辅助函数证明不等式

用作差法证明不等式是最常用的一种方法，而辅助函数就是在作差之后构造的式子，是非常简洁方便的，并且构造出来的辅助函数也很明了.我们先来看一个简单的例子.

例3当，证明

分析构造辅助函数证明不等式用作差法是最常用的，主要就是将不等号右端的式子移到左边，形成一个减法式，右边为零，试证不等号左边式子的单调性，就可以证明了；

证明我们做辅助函数显然，当时，有

因此，在时是增函数，而在处连续，并且

所以

这样，原不等式证毕.

上个证明是比较简单的，证明其单调性就能快速得出答案.而下面这个例子，我们需要研究一下它的左右两边的性质，这有利于我们思考如何构造辅助函数.

例4证明不等式.

分析因为此式左边相乘的项数多，直接移项作差证明会非常困难，而不等式左右两边的式子都是幂级数形式，并且右边为，故我们可以先把两边取对数形式，化简后作差，构造辅助函数更简单一些.

证明把不等式的两边取对数得

我们先来研究不等式的左边

左边

构造辅助函数

对求导得

从而得知，当时，为严格递增.

而

故得出

则原不等式成立，证毕.

其实，在证明不等式的方法中，还有很多，如比较法，分析法，综合法等，但是有时，这些方法比较麻烦，运算过程多.这时，若是针对题目构造一个适当的辅助函数，把题转化为对这个题的性质的研究，就像对定义域、值域、单调性、连续性、最值等的研究.这样，运算就比较简单了.

（六）构造辅助函数讨论方程的根

关于方程的根的讨论主要是根的存在性个个数问题，构造辅助函数来解这方面的一些题，如同证明不等式，构造辅助函数的方法类似，会比一般的方法更为简单.

例5方程证明方程至少有一个正根且不超过.

分析此题我们可以构造辅助函数在上连续，若能得出异号，则存在，使得那么就是方程的根且不超过，即运用介值定理.

证明设在上连续，则显然

现在我们讨论，若时，即

则方程有一个正根为

另一种情况，若即则符合介值定理条件，则存在一点，使得

那么就是方程的根，

综上所述，方程至少有一个正根且不超过，证毕.

例6方程证明方程有且只有一个正根.

分析我们可以构造辅助函数先证明此方程有根，然后再证有且只有一个正根.

证明做辅助函数显然在上连续，

由零点定理可知，

存在一点使得，则点为方程的根，接下来，我们用反证法证明有且只有一个根.

设存在一点且得，由于在上可导，对于任意有

那么根据微分中值定理可知，存在使得

但矛盾，故原方程有且只有一个正根，证毕.

在上题可知，在解这类关于方程的根的问题，我们需要结合在闭区间上连续函数的零点定理来思考.

（七）构造辅助函数证明中值问题

讨论这样的问题，是我们经常遇到的一类问题，一般我们是把问题适当变形，然后观察变形后的式子，构造相应的辅助函数，使之符合中值定理，介值定理，零点定理之类的条件，就可以轻松证明了.

例7设在上连续，在内可导，且求证存在使得

证明构造辅助函数显然

又因为在上连续，在内可导，故根据罗尔定理可知，存在一点使得即

即，则证毕.

例8设在上连续，在内可导在内至少存