九年级数学下册知识点总结人教新课标版.docx

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九年级数学下册知识点总结人教新课标版

人教版数学九年级下册

第二十六章　二次函数

26．1二次函数及其图像

二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f（x）=ax^2+bx+c（a不为0）。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

一般式

　　y=ax∧2;+bx+c（a≠0,a、b、c为常数），顶点坐标为（-b/2a，-（4ac-b∧2）/4a）；

顶点式

　　y=a（x+m）∧2+k（a≠0,a、m、k为常数）或y=a（x-h）∧２+k（a≠0,a、h、k为常数），顶点坐标为（-m，k）对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax∧２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

交点式

　　y=a（x-x1）（x-x2）[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]；

　　重要概念：

a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）

　　y=（y3（x-x1）（x-x2））/（（x3-x1）（x3-x2）+（y2（x-x1）（x-x3））/（（x2-x1）（x2-x3）+（y1（x-x2）（x-x3））/（（x1-x2）（x1-x3）。

由此可引导出交点式的系数a=y1/（x1*x2）（y1为截距）

求根公式

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

求根公式

　　x是自变量，y是x的二次函数

　　x1,x2=[-b±（√（b^2-4ac））]/2a

　　（即一元二次方程求根公式）（如右图）　

　　求根的方法还有因式分解法和配方法

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

　　注意：

草图要有1本身图像，旁边注明函数。

　　2画出对称轴，并注明X=什么

　　3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。

抛物线的性质

轴对称

　　1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

顶点

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P（-b/2a，4ac-b^2;）/4a）

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2;-4ac=0时，P在x轴上。

开口

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

决定对称轴位置的因素

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时

　　（即ab＜0），对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：

抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的

　　斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

决定抛物线与y轴交点的因素

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

抛物线与x轴交点个数

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　_______

　　Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上

　　虚数i，整个式子除以2a）

　　当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f（-b/2a）=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在

　　{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c（a≠0）

特殊值的形式

　　7.特殊值的形式

　　①当x=１时y=a+b+c

　　②当x=-1时y=a-b+c

　　③当x=2时y=4a+2b+c

　　④当x=-2时y=4a-2b+c

二次函数的性质

　　8.定义域：

R

　　值域：

（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[（4ac-b^2）/4a，

　　正无穷）；②[t，正无穷）

　　奇偶性：

当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。

　　周期性：

无

　　解析式：

　　①y=ax^2+bx+c[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；

　　⑶极值点：

（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）；

　　⑷Δ=b^2-4ac,

　　Δ＞0，图象与x轴交于两点：

　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

　　Δ＝0，图象与x轴交于一点：

　　（-b/2a，0）；

　　Δ＜0，图象与x轴无交点；

　　②y=a（x-h）^2+k[顶点式]

　　此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=（4ac-b^2）/4a；

　　③y=a（x-x1）（x-x2）[交点式（双根式）]（a≠0）

　　对称轴X=（X1+X2）/2当a>0且X≧（X1+X2）/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X

　　的增大而减小

　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连

　　用）。

交点式是Y=A（X-X1）（X-X2）知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。

两交点X值就是相应X1X2值。

26．2用函数观点看一元二次方程

1.如果抛物线

与x轴有公共点，公共点的横坐标是

，那么当

时，函数的值是0，因此

就是方程

的一个根。

2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：

没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。

这对应着一元二次方程根的三种情况：

没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

26．3实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

第二十七章　相似

27．1图形的相似

概述

　　如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

（相似的符号：

∽）

判定

　　如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

相似比

　　相似多边形的对应边的比叫相似比。

相似比为1时，相似的两个图形全等。

性质

　　相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形的周长比等于相似比。

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27．2相似三角形

判定

　　1.两个三角形的两个角对应相等

　　2.两边对应成比例,且夹角相等

　　3.三边对应成比例

　　4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

例题

　　∵∠A=∠A';∠B=∠B'

　　∴△ABC∽△A'B'C'

性质

　　1.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、切圆半径等）的比等于相似比。

　　2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方

27．3位似

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

性质

　　位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

位似多边形的对应边平行或共线。

位似可以将一个图形放大或缩小。

位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

　　根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

　　注意

　　1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；

　　2、两个位似图形的位似中心只有一个；

　　3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；

　　4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；

5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

第二十八章　锐角三角函数

28．1锐角三角函数

锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。

　　正弦（sin）等于对边比斜边，

　　余弦（cos）等于邻边比斜边

　　正切（tan）等于对边比邻边；

　　余切（cot）等于邻边比对边

　　正割（sec）等于斜边比邻边

　　余割（csc）等于斜边比对边

正切与余切互为倒数

互余角的三角函数间的关系。

sin（90°-α）=cosα,cos（90°-α）=sinα,

tan（90°-α）=cotα,cot（90°-α）=tanα.

同角三角函数间的关系

　　平方关系：

　　sin^2（α）+cos^2（α）=1

　　tan^2（α）+1=sec^2（α）

　　cot^2（α）+1=csc^2（α）

　　·积的关系：

　　sinα=tanα·cosα

　　cosα=cotα·sinα

　　tanα=sinα·secα

　　cotα=cosα·cscα

　　secα=tanα·cscα

　　cscα=secα·cotα

　　·倒数关系：

　　tanα·cotα=1

　　sinα·cscα=1

　　cosα·secα=1

　　直角三角形ABC中,

　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

　　余弦等于角A的邻边比斜边

　　正切等于对边比邻边,

余切等于邻边比对边

三角函数值

（1）特殊角三角函数值

（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

　　（3）锐角三角函数值的变化情况

　　（i）锐角三角函数值都是正值

　　（ii）当角度在0°～90°间变化时，

　　正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

　　余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

　　正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

　　余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

　　（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，

　　0≤sinα≤1,1≥cosα≥0,

　　当角度在0°<α<90°间变化时，