高数习题集附答案.docx
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高数习题集附答案
第一章函数与极限
§函数
必作习题
P16-184⑸⑹（8）,6,8,9,11,16,17
必交习题
、一列火车以初速度v0，等加速度a出站，当速度达到W后，火车按等速运动前进；从出站经过T时间后，又以等减速度2a进站，直至停止。
（1）写出火车速度v与时间t的函数关系式;
⑵作出函数
V=v（t）的图形。
二、证明函数y
X
=——在（-％+£）内是有界的。
X+1
三、判断下列函数的奇偶性:
（1）
f（x）
=x2sin1
f（x）
2x
-1
2x
+1
f（x）
=In（X+Jx2+1）。
四、证明：
若f（x）为奇函数，且在x=0有定义，则f（0）=0。
§初等函数
必作习题
必交习题
、设f（X）的定义域是［0,1］，求下列函数的定义域:
（1）f（ex）；
⑵f（lnX）；
⑶f（arcsinx）；
⑷f（cosX）。
二、
（1）设f（x）=X2ln（1+x），求f（e=）;
（2）设f（X+1）=x2-3x+2，求f（x）；
⑶设f（x^—，求f[f（x）],f{1}o（xH0,XH1）
1-xf（x）
三、设f（x）是x的二次函数，且f（0）=1,f（x+1）-f（x）=2x，求f（x）。
E5r2—x,x<0「X2,x<0
四、设f（x）dx+2,x>0，g（x^i-x,x>0，求f[g（x）]。
一、写出下列数列的前五项
（1）XnM^-sin
3n
n3
⑵Xn
⑶X2n
二、已知X
Jn2+1
§3数列的极限
必作习题
必交习题
+…+
Jn2+n
1
=1+
2
+…+
1
，X2nJ.—
n
（—1）n
1+（T）n
用定义证明:
nimxn=0
一、用极限的定义证明:
lxmi
二、用极限的定义证明:
§4函数的极限
必作习题
必交习题
3=4。
x-1
lim
=0处的左、右极限，并指出是否有极限:
三、研究下列函数在X
|X|
（1）f（x）」'；
X
1-X
⑵f（x）=
0
1+x2
一、举例说明（当XT大量。
§5无穷大与无穷小§6极限运算法则
必作习题
P63
1,2，3
必交习题
（1）两个无穷小的商不一定是无穷小；
（2）无界量不一定为无穷
二、求下列数列的极限:
+2n2
1
⑴nm（ni
+■■■
+呻）=
n
11
⑶nm（1-i+9
1
27
+…
三、求下列函数的极限:
（吧
仮-1
X-1=
（X+h）3-x’
⑶lim（Jx（x+a）-X）=
x_^-bc
⑷匹
（+"[）=
四、设lim
x—Jpc
（宀）x5八2—，求a,b。
x’+x2-1
§极限存在准则
两个重要极限必作习题
4
必交习题
§8无穷小的比较
一、求下列极限：
3
⑴limxsin-=YX
⑵lim
XT
sin2X—sin2a
X-a
⑶lim
^0
sin4x
-1
⑷lim
x_^pC
lx+1丿
⑸lim
XTO
二、用极限存在准则求证下列极限：
（1）设ai>0（i=1〜m）,M=max^,…，am｝；证明：
厚”昇煜十…+amn=M
⑵设Xi>血，x*4X0（22…）。
证明此数列收敛，并求出它的极限。
3+Xn
三、确定k的值，使下列函数与
1
⑴-"x；
1+x
Xk，当XT0时是同阶无穷小:
（3）+tgx--sinxo
三、用极限定义证明:
（1）
若XnTa（nT处），则对任一自然数k,也有人*Ta（nT处）；
若XnTa（nT处），则|xnH1a|（nT乂），并举例说明反之未必成立;
若|xnH0（nT必），则XnTO（nT处）。
四、设数列｛xn｝有界，又imyn=0，证明imXnyn=0。
§9函数的连续性与间断点
必作习题
P801,2,3
必交习题
、当x=0时下列函数f（X）无定义，试定义f（0）的值，使f（x）在x=0连续:
…VVTx-1
（1）f（x^——7；
J1+X-1
1
（2）f（X）=sinxsinX。
X
二、指出下列函数的间断点并判定其类型:
一、1+x
（1）f（x）=777^；
1+x
2
一、X-X
⑵f（X）=2
|x|（x2-1）
Xa0。
-1cx<0
［丄
⑶f（X）=jjn（1+x）
X.
三、确定a和b，使函数f（x）=—一有无穷间断点x=0；有可去间断点x=1。
（X—a）（x—1）
四、设函数f（x）在（-，兄）上有定义，且对任何x1,x2有
f（Xi中X2）=f（Xi）+f（X2）,
证明：
若f（x）在x=0连续，则f（x）在（=,址）上连续。
§0连续函数的运算与初等函数的连续性
§1闭区间上连续函数的性质
必作习题
必交习题
、欲使
在X=-1处连续，求a,b。
二、求下列极限：
ln（X+a）Tna
1
（X+ex）x=
⑷lim（cosx）sinx=xtO
三、证明方程x'-3x=1至少有一根介于1和2之间。
四、设函数f（x）在区间［0,2a］上连续，f（0）=f（2a），证明在区间［0,a］上至少存在一点Xo使得f（xo）=f（Xo+a）。
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