基于量子力学谐振子波函数的MATLAB图像实现.docx

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基于量子力学谐振子波函数的MATLAB图像实现

基于量子力学谐振子-波函数的MATLAB图像实现

量子力学训练项目

基于量子力学谐振子

波函数的MATLAB图像实现

（3）

用

，薛定谔方程可写为

（4）

式中K是以（1/2）

为单位的能量：

（5）分析知ψ（x）可以写成如下形式

（6）

薛定谔方程变为

（7）

引入厄米多项式

（8）

求得归一化的谐振子定态是

（9）

物理上要求K=2n+1,

也就是能量必须是

（10）

能量是量子化的。

其中前几个厄米多项式为

1.MATLAB源程序

%%不同能级下波函数和概率密度分布图像

clearall

clc

m=1;%粒子质量

k=1;%劲度系数

w=sqrt（k/m）;%圆频率

h_=1;%普朗克常量，这里为了作图方便，被放大了

A=（m*w/（pi*h_））^（1/4）;%归一化系数A

symsx

dimV=sqrt（m*w/h_）*x;%thedimensionlessvariableξ

%**************thefirstfewHermitepolynormials,Hn（ξ）

H0=1;

H1=2*dimV;

H2=4*dimV^2-2;

H3=8*dimV^3-12*dimV;

%******************************************************

V=0.5*k*x^2;%势能函数

psi0=A*H0*exp（-（dimV^2）/2）;

psi1=A*（1/sqrt

（2））*H1*exp（-（dimV^2）/2）;

psi2=A*（1/sqrt（8））*H2*exp（-dimV^2/2）;

psi3=A*（1/sqrt（48））*H3*exp（-dimV^2/2）;

%*********************

ezplot（psi0）;ylabel（'\psi_0'）;title（'\psi_0的图像'）;

figure

ezplot（psi1）;ylabel（'\psi_1'）;title（'\psi_1的图像'）;

figure

ezplot（psi2）;ylabel（'\psi_2'）;title（'\psi_2的图像'）;

figure

ezplot（psi3）;ylabel（'\psi_3'）;title（'\psi_3的图像'）;

figure%单独的ψ（x）图像

%*********************

subplot（1,2,1）;

ezplot（V）;

holdon

ezplot（psi0）;

ezplot（psi1+2）;

ezplot（psi2+4）;

ezplot（psi3+6）;

axis（[-5507]）;

ylabel（'\psi'）;title（'势能和\psi的图像'）;%在一幅图中显示ψn

subplot（1,2,2）;

ezplot（V）;

holdon

ezplot（psi0^2）;

ezplot（psi1^2+2）;

ezplot（psi2^2+4）;

ezplot（psi3^2+6）;

axis（[-5507]）;

ylabel（'|\psi_n|^2'）;title（'势能和|\psi_n|^2的图像'）;

%在一幅图中显示|ψn|^2,即概率

2.不同能级下波函数和概率密度分布图像

3.总结

本文系统地分析了一维谐振子的波函数和概率密度分布，并借助MATLAB语言画出了每种情况下的前4个能级的波函数和几率密度图像。

从这些图像中，我们可以更加形象地理解比较抽象的谐振子问题，而且这些图像的绘制也锻炼了学生的计算机应用能力，激发了学生的学习兴趣。

此外在做图中，考虑到普朗克常量太小，进行了放大处理

=1。

还有m、

等的参量也应取合适的值，才能使图像趋于完美。

参考文献：

[1]DavidJ.Griffiths.IntroductiontoQuantumMechanics[M].北京：

机械工业出版社，2006：

（51-56）

[2]张迪,王丽,姜其畅,苏艳丽.量子力学中线性谐振子的可视化研究[J].运城学院学报，2015（3）:

（34-36）