完整版等差数列专题.docx

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完整版等差数列专题

等差数列专题、等差数列知识点回顾与技巧点拨1．

＝p.

3．

q∈N）．

d，则ak，ak＋m，ak＋2m，⋯（k，m∈N*）是公差为md的等

⋯也是等差数列．

等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

2．

等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝（n－m）d

等差中项

如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝x＋2y.

4．等差数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．

（2）若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，

（3）若{an}是等差数列，公差为差数列．

（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，

（5）S2n－1＝（2n－1）an.

（6）若n为偶数，则S偶－S

nd

奇＝2；

若n为奇数，则S奇－S偶＝a中（中间项）．5．等差数列的前n项和公式

na1＋an

2，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，

若已知首项a1和末项an，则Sn＝1n

则其前n项和公式为Sn＝na1＋nn2－1d.

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系dd

Sn＝2n2＋a1－2n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）．

7．最值问题在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值，若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋⋯＋an，①

a1＋an

Sn＝an＋an－1＋⋯＋a1，②

①＋②得：

Sn＝n

两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

（1）若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为⋯，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，⋯.

（2）若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为⋯，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，⋯，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法

等差数列的判断方法

（1）定义法：

对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；

（2）等差中项法：

验证2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N*）都成立；

（3）通项公式法：

验证an＝pn＋q；

（4）前n项和公式法：

验证Sn＝An2＋Bn.

注：

后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

回顾：

1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）

A．

B．1

C．

D．﹣1

2．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（）

A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列

C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列

3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（）

A．23B．24C．25D．26

4．两个数1与5的等差中项是（）

A．1B．3C．2D．

5．（2005?

黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（）

A．a1+a8>a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8

考点1:

等差数列的通项与前n项和

题型1：

已知等差数列的某些项，求某项

【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法

为第4项.

a75a60d120424

题型2：

已知前n项和Sn及其某项，求项数

【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式ana1（n1）d求出a1及d，代入Sn可求项数n；

⑵利用等差数列的前

4项和及后4项和求出

a1an

，代入Sn可求项数n.

例2】已知Sn为等差数列

an的前n项和，a4

9,a9

6,Sn63，求n

a

13d

9

解：

设等差数列的首项为

a1，公差为d，则

a118,d3

a

18d

61

Sn18n3

n（n1）63n1

6,n2

7

n2

对应练习：

3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n.

4.已知Sn为等差数列an的前n项和，a11,a47,Sn100，则

n.题型3：

求等差数列的前n项和

【解题思路】

（1）利用Sn求出an，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题

例3】已知Sn为等差数列an的前n项和，Sn12nn2.

解：

Sn12nn2，

当n1时，a1

S1

121

11，

当

n

2

时

anSnSn1（12nn2）12（n1）

（n

1）2

132n，

⑵

a1

a2

a3

a10

a1

a2

a3

a6

（a7

a8

a9

a10）

2S6

S10

2（12

6

62）

（12

10

10

2）52；

（

3

）

1

n

6

时

a1

a2

a3

an

a1

a2

a3

an

12n

2n，

当

n

7

时

a1

a2

a3

an

a1

a2

a3

a6

（a7

a8

an）

2S6

Sn

2（12

6

62）

（12n

2n

）

n212n

对应练习：

5、已知Sn为等差数列an的前n项和，S10100,S10010，求S110.

列；

考点2：

证明数列是等差数列

名师指引】

判断或证明数列是等差数列的方法有：

1、定义法：

an1an

nN，d是常数）

an是等差数

、中项法：

2an1

an

an

2（nN）

an是等差数列；

是等差数列.

bn2bn

a1

3、通项公式法：

an

4、项和公式法：

Sn

kn

k,b是常数）

an

是等差数列；

An2

Bn（A,B是常数，

0）

an

已知Sn为等差数列an的前n项和，bn

求证：

数列bn是等差数列.

解：

方法1：

设等差数列an的公差为

d，

bn

bn

数列

方法2：

bn

bn

Sn

a1

bn

a1

12（n

12nd

1）d

a1

bn是等差数列.

Sn

a11（n

2

1nd，bn

2

1（n1）d

2

1

a1（n1）d

2

对应练习：

Snn（n

n

Sn

1）d

2a1nd2bn

数列bn是等差数列.

6、设Sn为数列an

的前n项和，Sn

a1

）.

na1

（n

1）d，

（n

1）d

1

12（n

pnan（nN

1）d

常数）

），a1a2.

1）常数p

的值；

2）证：

数列

an是等差数列.

考点3:

等差数列的性质

【解题思路】利用等差数列的有关性质求解

100，则S11

例5】1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a6

Smn

方法2：

不妨设

a1amnan1

am

2，

S（mn）（a1

amn

）

Smn

2

（mn）；

方法3：

an是等差数列，

Sn

为等差数列

n

n,Sn,m,Sm,n,,m,,

m

S

n,mn三点共线

mn

nm

Smn

（mn）.

对应练习：

7、含2n

1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（

A.2n1n

B.n1

n

C.n1

n

D.n1

2n

8.设Sn、Tn分别是等差数列an

an的前

项和，

Sn

Tn

7n2，则

n3

a5

b5

考点4：

等差数列与其它知识的综合

解题思路】1、利用an与Sn的关系式及等差数列的通项公式可求；

2、求出Tn后，判断Tn的单调性.

bn22bn1bn，其前9项和为153.

⑴数列an、bn的通项公式；

k

Tn对nN都成立的最大正整数k的值.

57

1211

解：

⑴Snn2n，

22

当n1时，

a1

S1

6；

当

n

2

时

aSS1

211

1

2

11

anSnSn1

nn

（n

1）2

（n1）n5

2

2

2

2

当

n1时，1

5

6a

1，ann5；

bn22bn1bnbn1bnbn2，bn是等差数列，设其公差为

2

d.

b12d11

则1b15,d3，

9b136d1531

bn

53（n

1）3n2.

⑵

6

6

cn

n（2an

11）（2bn1）

2（n

5）11

2（3n

2）1

2

1

1

（2n

1）（2n

1）2n12n

1

1

111

1

1

1

1

Tn

（1）

（）（

）

（

）1

3

355

7

2n

12n

12n1

n

N，T

n是单调递增数列

1

当n

1时，Tn

minT11

3

Tn

k

对n

N都成立

Tn

min

k

2k

k38

57

57

357

所求最大正整数k的值为37.

对应练习：

9.已知Sn

为数列an

的前n项和，a1

3，

SnSn1

2an（n

2）.

⑴数列an的通项公式；

⑵数列an中是否存在正整数k，使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立？

若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.

课后练习：

1.（2010广雅中学）设数列项和，则

an是等差数列，且a2

8，a155，Sn是数列an的前n

．S10S11

C．

A．S10

S11

B

S9

S10

D．S9S10

2.在等差数列

an

中，

a5120，则a2

a4

a6

a8

3.数列an中，an2n49，当数列an的前n项和Sn取得最小值时，n.

4.已知等差数列an共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是.

5.设数列an中，a12,an1ann1，则通项an.

6.从正整数数列1,2,3,4,5,中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第

1964项是

答案与解析：

对

应

练

习

：

1、

【

解

aman

ak

an

p

qak

q

ap（kn）

q（m

k）

mn

k

n

m

nk

n

ak

m

n

2、

【解析】

设这

5个数分别

为

a2d,ad,a,a

d,a

2d

.则

（a

2d）（a

d）a（a

d）

（a

2d）

5

a1

（a

2d）2（a

22d）a

（a

d）2

（a

2d）2165

5a210d2165

解得

a1,d

4

当a1,d4时，这5个数分别为：

7,3,1,5,9；当a1,d4时，这5个数分别为：

9,5,1,3,7.

4（a1an）160a1an40

a1pa1p1

6、【解析】⑴Snpnan，a1a2，

当

n2

anSnSn1nan（n

1）an1

（n

1）（an

an1）0，

an

an1

0（n

2），

数列an是等差数列

⑵由⑴知：

Snnan，

7

解

析】（本两小题有多种解法）

S奇n1.选B.

S偶n

8、【解析】anS2n17（2n1）

bnT

2n1（2n1）

65.

12

9、【解析】⑴当n

2时，SnSn1

2

14n

5

a5

1455

65

填

3

2n

2

b5

2

52

12

2an

SnSn1

2（Sn

Sn

1）

11

SnSn1

1，且

2S1

an是以1为公差的等差数列，

n2

其首项为1.

3

18

2）0

得2

3

k

5或k8

kk1

（3k

8）（3k

5）（3k

3

3

当k3时，

ak

ak

1恒成立，所求最小的正整数

k

3.

课后练习：

1、【解析】C．S9

a2

a16

a2

a15

d

S10

（a2

d）

a15

S9

S10

2

2

2

另法：

由a2

8，

a15

5，

得d

5（8）

13

，a1

a2

d

69

158

7

7

计算知S9S10

2、【解析】480

a2a4

a6a84a5480.

3、【解析】24由an2n

49知an是等差数列，an0n25.

n24.

4、【解析】4已知两式相减，得5d20d4.

1

法.

5、【解析】n（n1）1利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方2

6、【解析】2008