完整版等差数列专题.docx

1、完整版等差数列专题等差数列专题 、等差数列知识点回顾与技巧点拨 1p.3qN)d，则 ak，akm，ak2m，(k，m N* )是公差为 md的等也是等差数列等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表 示2等差数列的通项公式若等差数列 an 的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 ana1(n1)d(nm)d等差中项如果三个数 x，A，y组成等差数列，那么 A叫做 x和y的等差中项，如果 A是 x和 y的等差中项，则 Ax2 y.4等差数列的常用性质(1)通项公式

2、的推广： anam(nm)d(n，mN*)(2)若an 为等差数列，且 mnpq， 则 am an ap aq(m， n， p ，(3)若an 是等差数列，公差为 差数列(4)数列 Sm， S2m Sm， S3mS2m，(5) S2n1 (2 n 1) an.(6) 若 n 为偶数，则 S偶Snd奇 2 ；若 n 为奇数，则 S奇S偶a中(中间项 ) 5等差数列的前 n 项和公式n a1 an2 ，或等差数列 an 的首项是 a1，公差是 d，若已知首项 a1 和末项 an，则 Sn 1 n则其前 n 项和公式为 Snna1 n n21 d.6等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 ddSn2

3、n2 a12 n，数列 an是等差数列的充要条件是 SnAn2Bn(A，B为常数 )7最值问题 在等差数列 an 中， a10，d0，则 Sn存在最大值，若 a10，则 Sn存在最 小值一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式：Sn a1 a2 a3 an ，a1 anSn an an 1 a1，得： Snn两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时， 可设为， a2d，ad，a，ad，a2d，.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时， 可设为， a 3d，a d，a d，a 3d， 其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元四

4、种方法等差数列的判断方法(1) 定义法：对于 n2的任意自然数，验证 an an 1为同一常数；（2） 等差中项法：验证 2an1anan2（n3， nN*）都成立；（3） 通项公式法：验证 anpn q；（4） 前 n 项和公式法：验证 Sn An2 Bn.注 ： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列回顾：1已知等差数列 an 中， a3=9， a9=3，则公差 d 的值为（ ）AB1CD12已知数列 an 的通项公式是 an=2n+5，则此数列是（ ）A以 7为首项，公差为 2的等差数列 B以 7为首项，公差为 5的等差数列C以 5 为首项，公差为 2 的等差数列

5、D 不是等差数列3在等差数列 a n中， a1=13， a3=12，若 an=2，则 n 等于（ ）A23 B 24 C25 D264两个数 1 与 5 的等差中项是（ ）A1 B3 C 2 D5（ 2005?黑龙江）如果数列 an 是等差数列，则（ ）A a1+a8a4+a5 B a1+a8=a4+a5 Ca1+a8a4+a5 D a1a8=a4a5考点 1:等差数列的通项与前 n 项和题型 1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】 给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法为第 4 项.a75 a60 d1 20 4 24题型 2：已知前 n 项和 Sn 及其某项，求项数【

6、解题思路】 利用等差数列的通项公式 an a1 （n 1）d求出a1及d ，代入 Sn可 求项数 n ；利用等差数列的前4 项和及后 4 项和求出a1 an，代入 Sn 可求项数 n .例 2】已知 Sn 为等差数列an 的前 n 项和， a49,a96,Sn 63 ，求 na1 3d9解：设等差数列的首项为a1 ，公差为 d ，则a1 18,d 3a1 8d61Sn 18n 3n(n 1) 63 n16,n27n2对应练习： 3、若一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且所有项的和为 780，求 这个数列的项数 n .4. 已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，

7、 a1 1,a4 7,Sn 100 ，则n . 题型 3：求等差数列的前 n 项和【解题思路】（1）利用 Sn求出 an ，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题例 3】已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， Sn 12n n2.解： Sn 12n n2 ，当 n 1 时， a1S112 111，当n2时an Sn Sn 1 (12n n2) 12(n 1)(n1)213 2n ，a1a2a3a10a1a2a3a6(a7a8a9a10 )2S6S102(12662)(1210102) 52 ；(3)1n6时a1a2a3ana1a2a3an12n2 n，当n7时a1a2a3ana1a2

8、a3a6(a7a8an)2S6Sn2(12662)(12n2 n)n2 12n对应练习： 5、已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， S10 100, S100 10，求 S110 .列；考点 2 ：证明数列是等差数列名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义法： an 1 ann N ，d 是常数)an 是等差数、中项法： 2an 1anan2( n N )an 是等差数列；是等差数列 .bn 2 bna13、通项公式法： an4、项和公式法：Snknk,b 是常数)an是等差数列；An2Bn ( A,B 是常数，0)an已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， bn

9、求证：数列 bn 是等差数列 .解：方法 1： 设等差数列 an 的公差为d，bnbn数列方法 2： bnbnSna1bna112(n12nd1)da1bn 是等差数列 .Sna1 1 (n21 nd ， bn21 (n 1)d21a1 (n 1)d2对应练习：Snn(nnSn1)d2a1 nd 2bn数列 bn 是等差数列 .6、设 Sn 为数列 an的前 n 项和， Sna1).na1(n1)d ，(n1)d112(npnan (n N1)d常数 ) ， a1 a2.1) 常数 p的值；2) 证：数列an 是等差数列 .考点 3 : 等差数列的性质【解题思路】 利用等差数列的有关性质求解1

10、00 ，则 S11例 5】 1 、已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， a6Sm n方法 2：不妨设a1 am n an 1am2，S (m n)(a1am n)Sm n2(m n) ；方法 3：an 是等差数列，Sn为等差数列nn,Sn , m,Sm , n, , m, ,mSn, m n 三点共线mnnmSm n(m n) .对应练习： 7、含 2n1 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为(A. 2n 1 nB. n 1nC. n 1nD. n 12n8. 设 Sn 、 Tn 分别是等差数列 anan 的前项和，SnTn7n 2 ，则n3a5b5考点 4：等差数列与其它知

11、识的综合解题思路】 1、利用 an 与 Sn 的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出 Tn后，判断 Tn的单调性 .bn 2 2bn 1 bn ，其前 9 项和为 153. 数列 an 、 bn 的通项公式；kTn 对 n N 都成立的最大正整数 k 的值 .571 2 11解： Sn n2 n ，22当 n 1 时，a1S16；当n2时a S S 12 111211an Sn Sn 1nn(n1)2(n 1) n 52222当n 1 时， 156a1 ， an n 5 ；bn 2 2bn 1 bn bn 1 bn bn 2 ， bn 是等差数列，设其公差为2d.b1 2d 11则 1 b

12、1 5,d 3，9b1 36d 153 1bn5 3(n1) 3n 2 .66cnn (2an11)(2bn 1)2(n5) 112(3n2) 1211(2n1)(2n1) 2n 1 2n111 1 11111Tn(1 )( ) ()()133 5 572n1 2n1 2n 1nN ， Tn 是单调递增数列1当n1 时， Tnmin T1 13Tnk对nN 都成立Tnmink2kk 3857573 57所求最大正整数 k 的值为 37 .对应练习： 9. 已知 Sn为数列 an的前 n 项和， a13，SnSn 12an(n2). 数列 an 的通项公式；数列 an 中是否存在正整数 k ，使

13、得不等式 ak ak 1对任意不小于 k 的正整数都 成立？若存在，求最小的正整数 k ，若不存在，说明理由 .课后练习：1.（2010 广雅中学 ） 设数列 项和，则an 是等差数列， 且 a28 ，a15 5 ， Sn 是数列 an 的前 n S10 S11C A S10S11BS9S10D S9 S102. 在等差数列an中，a5 120 ，则 a2a4a6a83. 数 列 an 中 ， an 2n 49 ， 当 数 列 an 的 前 n 项 和 Sn 取 得 最 小 值 时 ， n .4. 已知等差数列 an 共有 10 项，其奇数项之和为 10 ，偶数项之和为 30 ，则其公差 是

14、.5. 设数列 an 中， a1 2,an 1 an n 1 ，则通项 an .6. 从正整数数列 1,2,3,4,5, 中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第1964项是答案与解析：对应练习：1、【解am anakanpq akqa p(k n)q(mk)mnknmnknakmn2、【解析】设这5个数分别为a 2d,a d,a,ad,a2d.则(a2d) (ad) a (ad)(a2d)5a1(a2d)2 (a22 d) a(ad)2(a2d)2 1655a2 10d 2 165解得a 1,d4当 a 1,d 4 时，这 5个数分别为： 7, 3,1,5,9 ； 当 a 1,d

15、 4 时，这 5个数分别为： 9,5,1, 3, 7.4(a1 an ) 160 a1 an 40a1 pa1 p 16、【解析】 Sn pnan ， a1 a2 ，当n2an Sn Sn 1 nan (n1)an 1(n1)(anan 1) 0 ，anan 10(n2)，数列 an 是等差数列由知： Sn nan ，7解析 】 （ 本 两 小 题 有 多 种 解 法 ）S奇 n 1. 选 B.S偶 n8、【解析】 an S2n 1 7(2n 1)bn T2n 1 (2n 1)65.129、【解析】 当 n2 时， SnSn 1214n5a514 5 565填32n2b5252122anSnS

16、n 12(SnSn1)11Sn Sn 11 ，且2 S1an 是以 1 为公差的等差数列，n2其首项为 1 .3182) 0得23k5或 k 8k k 1(3k8)(3k5)(3k33当 k 3 时，akak1 恒成立，所求最小的正整数k3.课后练习： 1、【解析】C S9a2a16a2a15d,S10(a2d)a15S9S10222另法：由 a28，a155，得d5 ( 8)13， a1a2d6915 877计算知 S9 S102、【解析 】 480a2 a4a6 a8 4a5 480.3、【 解析 】 24 由 an 2n49 知 an 是等差数列， an 0 n 25.n 24.4、【解析 】 4 已知两式相减，得 5d 20 d 4.1法.5、【解析 】 n(n 1) 1 利用迭加法(或迭代法) ，也可以用归纳猜想证明的方 26、【解析 】 2008