平面向量的概念及线性运算.docx

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平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算

知识点：

1.向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）

平面向量是自由向量

零向量

长度为0的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为±-|

la|

平行向量

如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线

0与任一向量平行

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2•向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

交换律：

a+b=b+a

结合律：

（a+b）+c

=a+（b+c）

减法

求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

a—b=a+（—b）

数乘

求实数入与向量a的积的运算

（1）2匸丨桐；

⑴2）=（入）a

⑵当；＞0时，2a的方向与a

（2）（卅诟二沟旧；的方向相同；当20时，沦⑶2a+b）=2a+2的方向与a的方向相反；当入

=0时，a=0

3.向量共线的判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数入使得b=2,则向量b与非零向量a共线.

选择题：

给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a=b;③向量AB与BA相等•则所有正确命题的序号是（）

A•①B•③C•①③D•①②

解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与BA互为相反向量，故③错误.

已知下列各式：

①AB+BC+CA；②AB+MiB+BO+om:

③OA+OB+BO+CO；④AB—AC+Bd—Cd，其中结果为零向量的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

解析由题知结果为零向量的是①④，故选B.

设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，贝Ua=|a|a。

；②若a与a。

平行，则a=|a|a。

；③若a与a0平行且|a|=1，则a=a0.上述命题中，假命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a

与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a=—|a|a°，故②③也是假命

题.综上所述，假命题的个数是3.

设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，贝U下列结论中正确的是（）

解析•••是单位向量，•••|a0|=1,|b0匸1

设a是非零向量，入是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.a与2a的方向相反B.a与fa的方向相同C.|—^a|>|a|D.|—2a|>|?

|a

解析对于A，当A>0时，a与2的方向相同，当X0时，a与2的方向相反，B正确；对于C,|—同—21，由于I—2的大小不确定，故—副与|a|的大小关系不确定；对于D,fa是向量，而—腳表示长度，两者不能比较大小.

设a、b是两个非零向量（）

A.若|a+b匸|a|—|b|，贝Ua丄bB.若a丄b,则|a+b|=|a|—|b|

C.若|a+b匸|a|—|b|，则存在实数入使得b=2

D.若存在实数入使得b=2,则|a+b|=|a|—|b|

解析对于A，可得cos〈a，b〉=—1，•••a丄b不成立；对于B，满足a丄b时|a+b|=|a|—|b|不成立;

对于C，可得cos

如图，已知a，AC=b，BD=3DC,用a，b表示AD，则AD等于（）

解析•••CB=AB—AC=a—b,又BD=3DC,•CD=^CB^/a—b）,--AD—AC+CD—b+4（a一b）—4a+4b

A.0B.BEC.ADD.CF

解析由题图知BA+Cd+EF=BA+Af+Cb=Cb+BF=Cf.

如图所示，已知AB是圆O的直径，点C,D是半圆弧的两个三等分点，Afe=a,A芒=b,则A0=（）

解析连接CD,vC,D是半圆弧的三等分点，得CD/AB且CD=1AB=ga,二Ad=AC+Cd=b+g

已知向量AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=—3a+3b,则（）

A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线

C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线

解析：

vBD=BC+Cd=2a+6b=2（a+3b）=2AB,/•BD、AB共线，又公共点B,aa、B、D三点共

线

设DABC所在平面内一点，BC=3CD，则（）

—1—4—t1—4——4—1——4—1—

A.AD=—3AB+3ACB.AD=3AB—3ACC.AD=3AB+3ACD.AD=3AB—3AC

解析v3CD,aAc—Ab=3（Ad—AC）,即卩4AC—Ab=3Ad,aAd=—捷+fAC.

设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，贝UEB+FC等于（）

a.bCc.aDd.1bC

解析EB+FC=2（Ab+CB）+2（AC+BC）=3（AB+AC）=Ad

在厶ABC中，AB=c,AC=b,若点D满足BD=2dC，则Ad等于（）

解析•••BD=2dC,•••Ad—AB=BD=2dC=2（AC-Ad）,

则OA+OB+

•i3AD=2AC+AB,二AD=§AC+§AB=§b+3C.

设M为平行四边形ABCD对角线的交点，0为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,

0C+0D等于（）

解析0A+0b+0C+0D=（0A+0C）+（0B+0D）=20m+20m=40m

C.

代2解析•••aD=2db，即CD—Ca=2（Cb—CD）,•在厶ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3CD，点0在线段CD上（与点C,D不重合），若

A0=xAB+（1—x）AC，贝Ux的取值范围是（）

111c1c

a.0,2B.0,3C.—2，0D.—3,0

解析设cO=yBC,•••AO=aC+cb=Ab+AC+y（AC—AB）=-yAB+（1+y）AC.

1

•••BC=3CD，点O在线段CD上（与点C,D不重合），•••y€0,3,

TAO=xAB+（1—x）AC,•••x=—y,•••x€—3,0.

已知a,b是不共线的两个向量，AB=xa+b,AC=a+yb（x,y€R），若A,B,C三点共线，则点P（x,

y）的轨迹是（）

A•直线B•双曲线C•圆D•椭圆

设a,b不共线，AB=2a+pb,bC=a+b,CD=a—2b,若A,B,D三点共线，则实数p的值为（）

A2B1C.1D.2

解析tBC=a+b,CD=a—2b,•E3D=E3C+CD=2a—b.

又tA,B,D三点共线，•Ab,BD共线.

设AB=?

BD,•2a+pb=?

（2a—b）,•2=2入p=—入•=1,p=—1.

已知平面内一点P及厶ABC,若PA+PB+PC=AB,则点P与厶ABC的位置关系是（）

A.点P在线段AB上B.点P在线段BC上

C.点P在线段AC上D.点P在厶ABC外部

解析由pA+pb+pc=AB得PA+Pc=AB—PB=AP,即Pc=AP—PA=2AP,所以点p在线段ac

上.

已知点0ABC外接圆的圆心，且OA+OB+OC=0,则厶ABC的内角A等于（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

解析由OA+OB+Oc=0,知点OABC的重心，

又tO为△ABC外接圆的圆心，•△ABC为等边三角形，A=60°.

填空题:

设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点，AD=*AB,BE=|bC.若DE=屁+尿（刀，尼为实数）,则刀+21的值为

#——1—2—1—2——1—2—解析DE=DB+BE=|AB+3BC=|aB+§（AC—AB）=—6aB+3AC,

•••元=沁+扼，.••山一6，n2,故刀+ni.

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,AB+AD=恳，贝U2

解析•••abcd为平行四边形，•••Ab+Ad=Ac=2AO,已知Ab+Ad=瓜0，故入=2

已知口ABCD的对角线AC和BD相交于O,且OA=a,OB=b,则DC=,BC=用

a,b表示）.

解析如图，DC2AB=Ob—OA=b—a,bC=oC—Ob=—Oa—Ob=—a—b.

已知a与b是两个不共线向量，且向量a+2b与一（b—3a）共线，则2

解得

后一k,解析由已知得a+2=—k（b—3a）,

3k=1.

已知O为四边形abcd所在平面内一点，且向量Oa,Ob,OC,OD满足等式Oa+OC=Ob+Od,

则四边形ABCD的形状为

解析由OA+oC=OB+OD得OA—ob=od—oc,•••BA=Cd,•••四边形abcd为平行四边形.

若点O是厶ABC所在平面内的一点，且满足|OB—OC|=|oB+oC—2OA|,则厶ABC的形状为

——————————————

解析：

OB+OC—2OA=（OB—OA）+（OC—OA）=AB+AC,OB—OC=CB=AB—AC,

••AB+AC匸AB—AC|,故A,B,C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.

设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2=16,AB+AC匸|AB—Ac|,则|aM匸

解析由AB+AC|=AB—ACI得，AB丄AC,则AM为RtAABC斜边BC上的中线，/•|AM|=2|BC匸2

在厶ABC中，点M,N满足AM=2MC,BN=NC若MN=xAB+yAC

解析mn=MC+CN=3AC+显=3AC+!

（aB—ac）=2ab—6ac,

11•-x=2,y=—6.

解答题：

在厶ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB=2GE,

设AB=a,AC=b,试用a,b表示AD,AG.

解AD=2（AB+AC）=2a+2b.

AG=AB+BG=AB+|bE=AB+$BA+BC）=3AB+3（AC—AB）=3AB+£ac=£a+3b.

设两个非零向量e1和e2不共线.

（1）如果Ab=e1—e2,BC=3e1+2ee,CD=—8e1—2e2,求证：

A、C、D三点共线；

（2）如果AB=e1+e2,BC=2e1—3ee,CD=2e1—ke2,且A、C、D三点共线，求k的值.

（1）证明•••AB=e1—e2,BC=3e1+2e2,CD=—8e1—2®,

11

--AC=aB+BC—4e1+62=—2（—8e1—2e2）=—2CD,AC与CD共线.

又tAC与CD有公共点C,•••A、C、D三点共线.

⑵解AC=AB+BC=（ei+e2）+（2ei—3e2）=3ei-2e2,vA、C、D三点共线,

•••AC与Cd共线，从而存在实数入使得Ac=;Cd,

34

解得=2，k=4.

3=2入

即3ei—2e2=?

（2ei—ke2）,得—2=—入,

专项能力提升

设a,b不共线，AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a—2b,若A,B,D三点共线，则实数p的值是（）

A2B1C.1D.2

解析vBC=a+b,CD=a—2b,/•Bd=EAC+CD=2a—b.

又vA,B,D三点共线，•••AB,BD共线.

设AB=?

BD,二2a+pb=?

（2a—b）,二2=2入p=—入二=1,p=—1.

1

D.^a+b

如图，已知AB是圆0的直径，点C,D是半圆弧的两个三等分点，AB=a,AC=b,则AD等于（）

111A.a—qbB.qa—bC.a+2b

解析连接CD，由点C,D是半圆弧的三等分点，

得CD//AB且Cd=1AB=1a,

J.AD=AC+CD=b+2a.

设GABC的重心，且sinAGA+sinBGB+sinCGC=0,贝UB的大小为（）

A.45°B.60°C.30°D.15°

解析vG是厶ABC的重心，二GA+GB+GC=0,GA=—（GB+GC）,将其代入sinAGA+sinBGB+sinCGC=0,得（sinB—sinA）Gfe+（sinC—sinA）GC=0.又GB,GC不共线,•JsinB—sinA=0,sinC—sinA=0,

则sinB=sinA=sinC.根据正弦定理知b=a=c,•••△ABC是等边三角形，则角B=60°

设e1与e2是两个不共线向量，AB=3臼+2e2,CB=k&+e2,CD=3e1—2ke2,若A,B,D三点共线,

则k的值为（）

943十*亠

A.—4B.—9C.—8D.不存在

解析由题意，A,B,D三点共线，故必存在一个实数入使得AB=PD.

又AB=3e1+2e2,CB=ke1+e2,CD=3e1—2ke2,

--BD—CD—CB—3ei—2ke2—（ke1+e2）—（3—k）e1—（2k+1）e2,

在口ABCD中，AB—a,AD—b,AN—3NC,M为BC的中点，贝UMN—用a,b表示）

解析由AN—3NJC得An—沁—4（a+b）,

AM—a+^b,•-MN—AN—AM—4（a+b）—a+2b——4a+4b.

如图，经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设OP—mOA,OQ

11

—nOB,m,n€R，则_+后的值为.

解析设0A=a,0B=b,由题意知

2（OA+OB）=1（a+b）,PQ=oQ-（OP=nb—ma,PG=OG

〉11——1

—oP=3—ma+费，由P,G,Q三点共线得，存在实数入使得PQ=PG,即卩nb—ma=g—ma

1

+3P,从而

1

—m=入3—m,

n=

11

消去入得n+m=3.