初二奥林匹克数学竞赛讲义.docx

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初二奥林匹克数学竞赛讲义

目录

本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。

注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。

本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。

另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。

注：

有（*）标注的为选做内容。

本次培训具体计划如下，以供参考：

第一讲如何做几何证明题

第二讲平行四边形

（一）

第三讲平行四边形

（二）

第四讲梯形

第五讲中位线及其应用

第六讲一元二次方程的解法

第七讲一元二次方程的判别式

第八讲一元二次方程的根与系数的关系

第九讲一元二次方程的应用

第十讲专题复习一：

因式分解、二次根式、分式

第十一讲专题复习二：

代数式的恒等变形

第十二讲专题复习三：

相似三角形

第一讲：

如何做几何证明题

【知识梳理】

1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：

一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：

将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：

复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【例题精讲】

【专题一】证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

【例1】已知：

如图所示，中，。

求证：

DE＝DF

【巩固】如图所示，已知为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。

求证：

EC＝ED

【例2】已知：

如图所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。

求证：

∠E＝∠F

【专题二】证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。

证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。

证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

【例3】如图所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。

求证：

KH∥BC

【例4】已知：

如图所示，AB＝AC，。

求证：

FD⊥ED

【专题三】证明线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。

（截长法）

【例5】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B＝60°，AB＝BC，

且∠DEC＝60°；

求证：

BC＝AD＋AE

【巩固】已知：

如图，在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。

求证：

AC＝AE＋CD

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。

（补短法）

【例6】已知：

如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。

求证：

EF＝BE＋DF

【专题四】证明几何不等式：

【例7】已知：

如图所示，在中，AD平分∠BAC，。

求证：

【拓展】中，于D，求证：

第二讲：

平行四边形

（一）

【知识梳理】

1、平行四边形：

平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：

（1）平行四边形对角相等；

（2）平行四边形对边相等；

（3）平行四边形对角线互相平分。

除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：

（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2、特殊平行四边形：

一、矩形

（1）有一角是直角的平行四边形是矩形

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形判定定理1：

有三个角是直角的四边形是矩形

（5）矩形判定定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形

二、菱形

（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（2）定理1:

菱形的四条边都相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.

（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2

（5）菱形判定定理1：

四边都相等的四边形是菱形

（6）菱形判定定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

三、正方形

（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

（2）性质：

①四个角都是直角，四条边相等

②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

（3）判定：

①一组邻边相等的矩形是正方形

②有一个角是直角的菱形是正方形

【例题精讲】

【例1】填空题：

平行四边形具有的是：

矩形具有的是：

菱形具有的是：

正方形具有的是：

在下列特征中，

（1）四条边都相等

（2）对角线互相平分

（3）对角线相等

（4）对角线互相垂直

（5）四个角都是直角

（6）每一条对角线平分一组对角

（7）对边相等且平行

（8）邻角互补

【巩固】

1、下列说法中错误的是（）

A.四个角相等的四边形是矩形B.四条边相等的四边形是正方形

C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形

2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.菱形、矩形或正方形

3、下面结论中，正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4、如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：

①四边形是平行四边形；

②如果，那么四边形是矩形；

③如果平分，那么四边形是菱形；

④如果且，那么四边形是菱形.

其中，正确的有.（只填写序号）

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.

求证：

四边形BFDE是平行四边形.

【巩固】已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．

四边形ABCD是平行四边形吗？

请说明理由．

【例3】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．

求证：

四边形AECD是菱形．

【例4】如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．

（1）求∠CAE的度数；

（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

【巩固】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．

（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．

【例5】如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.

（1）求证：

四边形DAEF是平行四边形；

（2）探究下列问题：

（只填满足的条件，不需证明）

①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.

第三讲：

平行四边形

（二）

【知识梳理】

由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。

另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。

【例题精讲】

【例1】四边形四条边的长分别为，且满足，则这个四边形是（）

A.平行四边形B.对角线互相垂直的四边形

C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形

【例2】如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

（1）求证：

DE－BF＝EF．

（2）当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．

（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

【巩固】如图1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.

（1）求∶的值；

（2）延长交正方形外角平分线（如图13－2），试判断的大小关系，并说明理由；

（3）在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？

若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

【例3】如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。

【例4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：

GF∥AC。

【例5】如图所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F。

求证：

AE＝CF。

【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，∠B，∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H。

求证：

AH＝CG。

第四讲：

梯形

【知识梳理】

与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。

通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：

1、平移腰：

过一顶点作一腰的平行线；

2、平移对角线：

过一顶点作一条对角线的平行线；

3、过底的顶点作另一底的垂线。

熟悉以下基本图形、基本结论：

【例题精讲】

中位线概念：

（1）三角形中位线定义：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

（2）梯形中位线定义：

连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．

三角形的中位线性质：

三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。

梯形的中位线性质：

梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。

【例题精讲】