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千课万人数学学习心得精选
千课万人数学学习心得（精选）
千课万人数学学习心得一：
“千课万人”全国小学数学学导观摩课有感
金风送爽的11月，我有幸和50几位来自鄞州区的教师一起，去浙大华家池校区观摩了“千课万人”活动。
时间只有短短四天，在这四天期间，我学到了许多，也感悟到了许多。
借此，我想和大家交流一下自己的体会。
一．听名师的课，学什么？
1.仔细研读教材，把握教学重点
参加工作以来，一直以为“把握教学重点”并不是什么难事。
第一，一般在阅读了教材内容之后，本节课的重点就可以有个大体的把握；第二，现在每一本教材都有教参，教参中的重难点也是可以参考的资源。
但是经过这四天的听课，我否定了自己原先的想法。
要把教材读透读精，要把教学重点落实到教学过程中，真正让学生理解重点内容，掌握重点内容，实非易事。
我想首先从刘松老师的《乘法分配律》一课说起。
对于简单的乘法分配律，我首先想到的是本课的教学重点是让学生掌握会用乘法分配律就可以了，但是对于如何在教学过程中去实际操作而让学生掌握重点，却着实没有什么好的办法。
但是刘松老师的教学很巧妙，教学数学，先从教学语文开始。
课堂中首先呈现的是简单的“两句话合成一句话”和“一句话分成两句话”，但是话的意思不变的练习，这对于四年级学生来说是相当轻松的事情。
整节课就在这种轻松愉悦的氛围中进行，学生不仅学得开心，而且很容易就能掌握乘法分配律的实质——一分为二（或者合二为一），从而快乐地掌握本节课的重点。
2.精心处理细节，传递教师智慧
很多时候，全国名师和优秀教师之间的差别往往就在于对细节的把握和处理上。
全国名师往往会有自己独到的见解和解决问题的方法，在细节中体现出大师风范，将智慧传达给学生。
比如黄爱华老师《百分数的意义》一课，在板书课题时，黄老师先写“分数”两个字，然后再写“百”，这样处理学生就能很直观的感受到百分数首先是分数，但是百分数和分数之间存在差别，从而为下面引出“百分数只表示比率”做铺垫。
这就是名师的智慧。
在百分数的学习过程中，学生可能会有疑惑：
我们已经学习了分数，为什么还要学习百分数呢？
这个问题绝大多数教师都会考虑到，但是我们会怎么处理呢？
直接告诉学生用百分数表示更简捷吗？
但这时学生可能又有疑惑：
百分数怎么就简捷了呢？
在这里，黄老师绝妙的处理更彰显了他的大师风范。
课中，黄老师为了让学生真切地感受到百分数的简洁美，模拟了一个不了解数学的语文老师对苹果汁60%，葡萄汁40%的混合饮料的讲解，整个讲解过程复杂累赘，听到最后，大家会心一笑，原来百分数是这么美！
通过这样的对比，百分数“精确、科学”的优点显露无疑。
3.注重互动教学，课堂还给学生
对于教学过程中，究竟是“教师是教学过程的主体，还是学生是教学过程的主体”这个问题，答案很模糊，不同的教学工作者会有不同的见解和看法。
但是在四天的培训之后，我更愿意把教学看成是一场戏，教师是导演，学生是演员。
在演戏的过程中，导演只是引导演员如何去演，而演员才是整台戏的主角。
现在的教育不同于10年20年前，如今，做为教学工作者，我们更愿意让学生参与到我们的教学活动当中，我们更愿意把课堂还给学生。
但是真正实践起来，这一点却难以把握和操作。
因此我在这里很想说一说徐长青老师的课。
与其说徐老师在上课，不如说徐老师在变魔术，或者换种说法，我更愿意把这堂课看成是一出综艺节目。
整节课是如此自然，看不出上课的痕迹，然后又自然而然地结束。
更让我敬佩的是，在40分钟里，学生至始至终都在唱主角，真正做到了把课堂还给学生。
在徐老师的导演下，学生转眼就变成了优秀的演员，实在是高啊！
对于如此“润物细无声”的无痕教育，体现以学生为本的“生态课堂”，我只能感叹时间过得太快。
二．听名师的课，反思什么？
1.如何突破“课眼”？
每节课都有它有价值的东西，而对于本节课最有价值、最关键的问题，就是课眼。
这是我对课眼的理解。
如何突破“课眼”呢？
这是我们该反思的问题。
比如朱乐平老师《分数中的“平均分”》一课，本课的课眼是什么？
毫无疑问是平均分。
听完这节课后我一直在反思：
什么是平均分？
怎样分才算是平均分？
是不是所有物体都可以平均分？
对于同一种物体平均分，分法只有一种吗？
如果不是，那分法有几种呢？
……
这些问题一抛出来，我便开始回想朱老师之前的这一堂精彩的课。
我想朱老师的课之所以精彩，关键就在于他的课很好地解答了我的这些疑惑，也许这也是学生的疑惑。
课中，朱老师并没有用很程式化的语言去解释什么是平均分，而是通过一个又一个的实例，让学生自己去感悟。
比如下面这个实例，5个1角钱，1个5角
钱，如何平均分成两份？
在此，学生提出了两种分法，第一，一共有6个硬币，每3个硬币分成一份；第二，5个1角的硬币作为一份，1个5角的硬币作为一份。
这两种分法实际上是从硬币个数和硬币面值两个不同的角度去考虑的。
由此，教师适时引出：
同一堆物体，如果考虑的角度不同，就会有不同的分法。
又如，对于“是不是所有物体都可以平均分”这个问题，有学生提到“在实际生活中，一台电脑不可以平均分给两个人”，对于这个问题，如果换个角度，比如从使用电脑的时间角度考虑，这个问题就不再是难事了。
这就很好地解释了上述的这些问题。
在本节课中，朱老师把最关键的问题“怎么平均分”演绎到了极致。
当然，每堂课的教学设计都可以有不同的选择，但是我们必须把每节课的课眼突破，这样的教学才可能是成功的。
对于本节课是否还能通过其他途径去解决上述问题，有待老师们去尝试。
2.如何评价学生的课堂反馈？
学生的课堂反馈从很大程度上能够折射出本节课的成功与否，因此，一节课下来，教师是否达到了课前备课时所预期的教学目标，学生的课堂反馈是一个很好的评价标准。
这就引出了一个问题：
教师该如何评价学生的课堂表现呢？
这四天学习下来，让我感受最大的是教师对于学生的言语鼓励、动作鼓励以及实物鼓励。
我想，适时的鼓励既是对学生价值的承认，也是对学生的一种关怀的手段，更是一种良好的课程与教学发展行为。
而促使学生得到成功体验的关键因素在于引导学生主动参与和激励性评价。
这段日子里，我不断地在反思究竟该如何评价学生的课堂表现，以下是我个人对这个问题的一些看法。
第一，评价要从全局考虑。
教师在对学生的评价过程中，评价的对象应该是每一个学生，或者说尽可能是大部分学生，而不应该把评价的焦点集中在某几位学生身上。
课堂评价首先要是公平的，这样才不至于使学生感觉到自己的表现被忽略。
反之，未被关注到的学生个体很可能就会认为自己是整个课堂中多余的一员，一旦有了这种想法，该学生就很难对教学感兴趣，更不可能会集中注意力去听讲。
第二，评价要以激励为主。
研究表明，儿童的虚荣心和被褒奖的欲望是最强烈的。
同样的状况下，对于评价学生的课堂表现，教师使用激励方式往往比使用批评贬低方式更能激发学生的学习热情和欲望。
如果一味贬低学生，不但孩子的虚荣心无法得到满足，更严重的还会影响孩子的自信心，一旦如此，孩子的学习状态就可能持续低迷。
当然，褒奖也要有度，要适可而止，不可让学生自我感觉过于良好，否则褒奖就适得其反了。
第三，评价要有艺术性。
首先，评价语要情真意切，不能只是为了评价而去评价，让人感到不诚恳，有勉强应付之嫌。
教师的评价语应该是发自内心的。
其次，评价语要多变。
比如同样是一句“好”，一旦说多了，就会感觉很假了。
同样是表达“好”的意思，我们可以说“很好”、“好极了”、“真棒”、“真聪明”……多变的语言学生更加喜闻乐见。
再者，有时候评价语也要幽默，这样有助于课堂气氛更加轻松和谐。
（3178字）
4月15日 ，我们一行四人有幸参加在美丽的西子湖畔（浙江大学华家池校区）举行“千课万人”第二届全国小学数学“新课标课堂”研讨观摩活动。
关于本次活动：
“扎实而精彩”
本次研讨观摩活动共安排了《小学教学参考》《教学月刊》《小学数学教师》等八大著名杂志主编、编辑部主任现场论坛；11场高校教授学术报告，23节著名特级教师（最新设计）示范课；6节全国赛课一等奖获得者示范课；5节浙江、湖南两省的新生代名师示范课及省级教研员、名师的互动评点。
时间跨度从早上8:
00直至晚上22:
00。
内容充实精彩,来自全国各地四千多名小学数学教育工作者们参加了本次活动，可以说本次活动是今年国内范围最广、影响最深的一次小学数学教学研讨学术盛宴。
活动中，徐长青、吴正宪、 张齐华 老师等二十多位全国名师为大家带来精彩课堂，有注重经历知识形成过程，有注重探索教学方式变革，有新授课，有练习课，有概念教学，有自编教材，风格不一，思考的侧重点各有不同。
十多位专家学术报告以及互动点评，都有自己的理念和对于新课标的独到见解。
活动设有现场互动和短信互动环节，以便听课老师们交流，为老师们实现高效课堂解惑答疑，引领大家实现课堂转型，皈依主体地位。
正如会场的楹联所述：
春日春风春相伴，两会落幕北京刚尝盛世开杯酒；
新课新貌新情缘，千课荟萃杭州又赋春风得意诗。
又如：
春去春来春不老，课标课改课常青；
课改妙笔生花聚十年翰墨，改课前程锦绣写万里江山；
八方宾客东南西北年年来，多彩课堂春夏秋冬季季新。
关于新课标的研读：
提倡“理论的实践性解读”
20XX年颁布的新版《义务教育小学数学课程标准》与旧课标相比，从基本理念、课程目标、内容标准到实施建议都描述的更加准确、规范、明了和全面。
作为一线教师该如何去解读新课标，并真正领会其精神，指导于日常教学。
东北师范大学，博士生导师孔凡哲教授的《义务教育小学数学课程标准（20XX年）的十个核心词与“四基”解读》；上海市静安区教育学院，著名特级教师曹培英《数学课程标准若干“核心词的实践解读”》；南京大学哲学系，博士生导师郑毓信教授《数学课程标准若干“核心词的“另类”解读”》等专家的报告给我们以很好的启迪：
就“新课标”的学习与贯彻而言，教育工作者应特别重视“理论的实践性解读”和“教学实践的理论性反思”，它们可被看成理论与教学实践之间辩证关系的具体体现。
“理论的实践性解读”就是将新课标的基本理念、教学建议等运用于实际教学，在日常的实践性教学活动去经历、体会、感悟新课标。
特级教师徐长青的《重叠问题》、吴正宪的《乘法分配律》、朱乐平的《分数基本性质》、张齐华的《用数对确定位置》等课，无不展示了他们如何在实际课堂教学中深入解读课标，真正让学生经历知识的形成过程，体会数学核心概念；探索学教方式的变革，促进学生学会学习，从而落实课标精神。
关于教师专业成长：
提倡“教学实践的理论性反思”
过去十几年的课改实践给予我们一个重要启示或教训：
应当彻底改变那种单一的“由上至下”包括由专家到一线教师、由理论到实践）的改革模式，将其转变成了对于一线教师也同样平等性立场的课改模式。
过去相对于一线教师而言，课程改革（课改研究者）往往自觉或不自觉地采取了一种居高临下的态度（例如由所谓的“专家引领”这一提法就可清楚地看出）。
但当前课改研究者常常强调他们的研究是与教师一起做出的，而不是关于教师的研究；强调走进教室倾听教师并与教师一起思考，而不是告诉教师去做什么；强调支持教师与学习者发展自己的能力，而不是力图去改变他们。
”更为一般地说，课改更加倾向于所谓的“反思性实践”，即认为与单纯强调理论的指导作用相比，应当更加重视切实立足于实践活动，并通过及时地总结与深入反思以获得新的进展。
显然，按照这样的立场，一线教师自然就应被看成课程改革的主力军。
因此，作为一线教师的我们既不应盲目地去追逐各种时髦的潮流，也不应迷信“专家”，而应切实立足于自己的专业成长，同时，又应坚持“大处着眼，小处着手”，“关注基本问题”。
就当前而言，尤其要关注数学教学方法、数学教学思想以及数学教育思想等方面的基本问题。
聚焦教学方法，要坚持教学工作的创造性，反对观点的简单化与极端化的作法，积极实践，认真总结，深入反思，不断前进；聚焦数学教学思想，要将“学生为本”的教育思想同“知识为重”和“教师主导”有效融合，既尊重学生在学习活动中的主体作用，同时又能充分发挥教师的主导作用。
数学教师要善于举例、善于提问、善于优化；聚焦数学教育思想，要注重数学思维的教学，充分发挥数学的文化价值，突出数学课自身的文化韵味。
（16368字）
4月10—13日，为期四天的“千课万人”全国小学数学生本课堂教学的研讨观摩活动在浙江大学逸夫体育馆举行。
本次活动由浙江大学理学院继续教育中心和北京名师之约文化传播中心联合举办，邀请到了吴正宪、朱乐平、张天孝、华应龙、黄爱华等37位全国名师，联袂推出8个学术报告，展示31节示范课。
来自全国各省市的1200多位全国小学数学教师、教研员参与盛会。
我校蔡剑敏、柯卫玲、瞿丹、徐珍军四位老师参加了此次观摩活动。
一、活动概况
本次研讨观摩活动安排了广东深圳市福田区教育研究中心著名特级教师黄爱华、北京市教研中心著名特级教师吴正宪、浙江杭州上城区教育学院著名特级教师朱乐平、北京市第二实验小学著名特级教师华应龙、著名特级教师张兴华、《小学教学》数学刊主编殷现宾、杭州现代小学数学研究中心著名特级教师张天孝、浙江舟山教研中心著名特级教师钱金铎等位专家的专题讲座，从价值取向，享受数学，教学心理等方面对生本课堂教学进行了专业指导。
还安排了著名特级教师许卫兵、徐卫国、钱守旺、范新林、汤春燕、朱国荣、蔡宏圣、朱德江、刘松、林良福、张冬梅、丁杭樱、汪培新、郎建胜等及全国小学数学课堂教学大赛一等奖获得者唐彩斌、赵震、赵兆兵、罗鸣亮、席争光、王延安，新生代名师于萍、杨青、鲍海影，有台湾数学教育硕士吕玉英等课堂展示。
三十多位名家，有如手艺高超的大厨，烹制一道道精美的精神盛宴，演绎以生为本的灵动，绽放共同成长的激情，真可谓是台上一分钟，台下十年功。
巧妙设计，来自名师勤奋钻研和独特见解，精彩互动，源于名师先进理念和足够自信。
研讨问题来自学生的主动思考，结论得出源于学生的主动参与。
功在课内，意在课外！
展现数学的无限奥妙与神奇，将学生们推向更为广阔的天地。
二、听课感想
活动围绕“生本”这一主题，“没有学生就没有课堂，课堂以生为本，天经地义；教师引领课堂是为了成就学生成为课堂资源的消费主体。
”全国新生代与中老年名师围绕“如何在课堂中体现以学生为本？
如何实现学生的发展？
”进行多角度、全方位的深度研讨。
专家们纷纷登台学术报告、展示示范课，一堂堂生动的示范课让我们领略到数学深邃的思想，精彩的预设，精彩的生成，精当的点拨，组成了“简约”的课堂，他们带领每一位学生学数学，既调动了学生的积极性，又把怎么样学数学巧妙地告诉了学生，引导学生通过猜想验证，充分体验了知识的形成过程。
四天的精神盛宴，我们获得了很多，深深地感受到优秀的数学课堂是情智共生的课堂，要以情促智，以智生情，让学生心灵闸门不断开启，让学生智慧的火花不断点燃。
下面就对我们的一些收获简单地介绍一下。
（一）丰富多样的课型
在本次的31节观摩课中，除了平常教研课、观摩课中常见的新授课，还有难得一见的练习课和复习课。
其中练习课有：
华应龙老师上的《多位数减法练习课》，复习课有：
汤春燕老师上的《运算定律和简便运算的单元复习课》、朱国荣老师上的《数的认识总复习》、朱德江老师上的《图形之间的关系总复习》、钟麒生老师上的《平面图形复习》。
下面我们就对练习课和复习课谈谈一些肤浅的感受。
1.听练习课有感
练习课是对在教学内容已经新授之后，进一步针对教学内容进行巩固提升的课型。
练习课的常貌一般是通过大量的习题，通过学生解决问题的过程达到各个教学点的训练以及综合训练。
尤其是关于计算的练习课，更是通过大量板着面孔的题目对计算中的各个问题进行有针对性的训练。
而华老师的这节练习课，别有一番风味，把炒冷饭变成了诱人的扬州炒饭。
华老师的多位数练习课是用一个叫小明的小朋友去台湾旅游而引出的，这次旅行小明在高兴之余又犯愁了，为什么呢？
因为爸爸为他准备了一个密码箱，如果忘记了密码怎么办呢？
这时，爸爸说：
“我们玩个游戏吧，即使你把密码忘了也能找到。
”游戏的规则是这样的：
写出三个不同的数字，要求横着写，先根据这三个数字组合出一个最大的三位数，再组合出一个最小的三位数，然后用这个最大的三位数减这个最小的三位数，把算得的结果中的三个数字又按前面的方法接着写，按这个方法一直写下去，看谁写得又多又对。
学生们早已被这个游戏深深地吸引住了，在这个“找密码”的游戏中不知不觉地进入了多位数减多位数的练习之中，兴趣盎然，完全没有那种计算的枯燥乏味，那个教学效果是可想而知的。
在学生反馈后，竟然发现全班学生最后的计算结果是完全一致，无一例外的都是495。
在此我不禁赞叹：
这班学生的计算能力和计算习惯实在太好了，令人佩服。
这时，华老师就请同学回头看看刚才的计算，在黑板上写出这样的一句话：
千金难买回头看。
并问：
这句话什么意思？
在刚才的回头看中，你发现了什么？
在学生回答后，华老师告诉学生这个最后结果“495”叫“数学黑洞”，并用课件展示天体黑洞，让学生了解黑洞。
到此三位数减三位数的练习暂时告一段落，华老师又抛出新的问题请学生研究。
华老师说：
三个数字的结果是495，那小明的密码就是495，那四个数字呢？
那如果4个数字的黑洞呢？
2个数字的黑洞呢？
如果有0的话，三个数字的黑洞还是不是495呢？
选择一个最感兴趣的研究。
接着学生分别选择自己感兴趣的进行研究，然后汇报。
在课将要结束时，华老师请学生闭上眼睛回头看，这节课是怎么开始的？
怎么研究的？
有什么收获？
数学课堂的根要立足于学生的发展，注重学科的本质，凭借教师的个性，努力提高学生未知数的值。
这节课是计算题的复习教学，华老师没有单纯地停留在让学生整理、做题上，他和学生一起探究数学计算中的规律，为学生巧设了一个“套“，让学生“心甘情愿”地做了十几道甚至于几十道计算题，这使原本枯燥的数学变得有活力。
练习的同时，更为可贵的是收获了思考问题的方法，一句“千金难买回头看”，增加了练习课的方法味道。
在计算过程中，学生通过“回头看”可以发现规律，通过“回头看”可以产生更为系统的认知。
通过计算练习课，学生意识到“回头看”的重要性，在以后的学习历程中，将“回头看”养成习惯，将会给学生带来很大的益处。
一次用心的闭眼回忆，无不彰显出华老师的人文精神，文化底蕴！
台上学生们意犹未尽，台下老师们也意犹未尽。
这就是大师们的魅力所在，这就是成为大师所必备的基本功。
把根留住，因为根深才能叶茂，本固方能枝壮；把根留住，因为只有根留住了，我们才能上出有根的课，成为一个有根的人。
2.听《复习课》有感
正如朱国荣老师所说：
复习课不太好上，可以借鉴的经验不多。
反思老师们平时的复习课教学，主要有两种形态：
一是在自己教室里，关起门来时，教师的处理大多是“一练到底”，复习课成了做习题课。
二是如果要上公开课了，马上就变成“自主整理”——你能用自己的方法进行整理吗？
这样的教学要求充斥着复习课公开教学的课堂。
本次的几节复习课给我们耳目一新的感觉，使我们从这几节复习课中得到不少的启发和思考，主要有以下几点：
⑴在练习中疏理
汤春燕老师上的《运算定律和简便运算的复习整理》一课中，在2分钟内计算6道题，这可以看成是技能训练。
但止于计算技能训练吗？
显然，在运算过程中回顾所学的运算定律和运算性质，并加以提炼和梳理，这才是汤老师的真实意图。
在这里，我们看到了复习课让学生对所学知识进行自主整理是完全可以实现的，关键在于教师提供怎样的教学情境。
朱国荣老师上的《数的认识总复习》一课中，朱老师在这节课中，首先梳理了小数、分数、百分数、整数（自然数）、负数等这些数，并努力从学生角度思考：
学生的困难到底在哪里？
面对那么多的知识点，面对学生典型困惑，老师找到了数轴这个工具，有效地沟通了数与形之间的关系，疏通了各种不同的数，使得数的意义更加直观，从而把整节课串成了一个整体。
朱德江老师上的《图形之间的关系总复习》一课中，朱老师带领学生先从正方形和长方形之间的关系开始梳理，用集合图来表示它们之间的关系。
再由易到难梳理了正方形、长方形、平行四边形、梯形以及四边形之间的关系。
等学生掌握了疏理方法以后，又梳理了三角形、等边三角形、等腰三角形之间的关系。
在梳理过程中，学生明白直角三角形、钝角三角形、锐角三角形之间又有什么关系。
通过梳理，学生不仅要明白这些图形的特征，还更加清晰地分辨它们之间的异同，达到了复习的目的。
⑵在辨析中学会反思
有“简便运算”教学经验的老师都有这样的体会：
“简便运算”最易出错的地方是计算过程中运算定律的混淆。
在汤春燕老师的课上，我们看到汤老师对这种情况的关注：
自我检查与修正；同桌自我检查、自我订正；对学生中出现的问题及时点评；错例辨析专题训练等等。
我们看到的是真实的课堂；看到的是课堂上学生学习状况的真实反映；看到的是学生在辨析中自我反思，并在反思中逐步提高了运算定律的运用能力。
朱德江老师在梳理三角形的关系时，出示了学生梳理的两种不同的集合图，一个是三个圆相套的，最外面的圆表示三角形，第二个圆表示等腰三角形，最里面的圆表示等边三角形；还有一个是一个大圆里分成三份，一份是直角三角形，一份是钝角三角形，还有一份是锐角三角形。
然后问学生：
你能看懂吗？
它们两种关系有什么不同？
引导学生进行辨析，使学生在分辨思考中提高认识。
⑶在复习中整体提升
如果在“运算定律和运算性质”一课中，把梳理运算定律和性质作为本节课的第一层次，灵活运用运算定律和性质进行简便运算看做第二层次，那么更高层次的要求就应该在解决问题中进行简便运算的自觉性。
汤老师在这个方面有意识地进行尝试，我们也看到了学生精彩的表现。
当然，意识的提升不是一节课所能实现的，更需要长期的积累。
但我们相信我们的孩子在经历了这样的一堂课后，会在脑海深处留下深刻的印象。
我们听课的老师会对复习课的课堂结构有一个更清晰地认识。
朱老师在复习《数的认识》时，由2，－2，2/5、20联想到2在不同数位所表达的意义，引出数位顺序表；由2/5联想到了分数的基本性质与小数的性质；由数联想到代码，再延伸至二进制……知识在学生个性化的理解中不断延伸，通过这样的延伸，知识与知识之间得到了最自然的连结，连接的同时，自然而然地生成出许多新授过程中难以独立触及到的知识，这样的连接，不再是直线式的，而是围绕一个中心点，从圆心不断向四周拓展，形成一个个知识的同心圆，一个个同心圆在不断地交叉、关联，实现了我中有你，你中有我的知识链，大大提高了知识的融合程度，提升了知识的生长能力。
（二）不同的教学风格
1.简约而不简单的课堂
特级教师许卫兵老师曾说过这样的一句话“人们创造性地使用数学语言表达客观世界的数量关系和空间形式后，‘简约’也就成为数学的基本特征之一。
但‘简约’并不是‘简单’，相反，它是更深广的丰富。
”在这次展示课上，他上的《认识分数》就让我们清晰地看到许老师简约而不简单的课风。
虚线简单，演绎出丰富的内涵。
在分各种各样物体的过程中，都用“小小虚线来帮忙”。
简单的虚线，使得学生准确把握“儿子说再见”——分母的大小。
通过简简单单的虚线，学生看到了“份”。
虚线在这节课的历程中，从无到有，又从有到无。
没有虚线时，虚线的出现给学生带来了很多方便。
从小小的虚线，从小小的数学符号中，学生看到了数学的简约之凝练美。
学生已经深深喜欢上了虚线这位朋友之时，虚线又可有可无。
因为它已经简约到即使不出现，学生也会时时想起的挚友。
分苹果简单，分出分数本质。
从分1个苹果开始，分出四分之一；继而用8个苹果分出四分之一；用2个苹果分出四分之一。
变化的是苹果的个数，不变的是四分之一这个神奇的分数。
通过比较的方法,使学生感受到，基于不变的变化更具魅力，基于变化的不变弥足坚定。
将变与不变的哲学思考继续发展，引出了孙悟空，不论纵排还是横放，不论个数变化多少，学生仍能穿过迷雾把握不变。
通过类比的方法，对分数本质认识更为清晰。
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