第5章振动和波动习题解答.docx
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第5章振动和波动习题解答
第5章振动和波动
5-1一个弹簧振子m=：
0.5kg,k=50N；'m，振幅A=0.04m，求
（1）振动的角频率、最大速度和最大加速度；
（2）振子对平衡位置的位移为x=0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力;
（3）
以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。
v==0.2、.3==0.346（m/s）
2
a=-2（m/s）
F二ma=-1（N）
n
（3）作旋转矢量图，可知：
2
x=0.04cost（10）
2
频率、周期和初相。
A=0.04（m）二0.7（rad/s）二-0.3（rad）
⑷1
0.11（Hz）T8.98（s）
2n、
5-3证明：
如图所示的振动系统的振动频率为
1R+k2
式中k1,k2分别为两个弹簧的劲度系数，m为物体的质量
严U・」|
1岛
解：
以平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向。
设物体处在平衡位置时，弹簧1的
伸长量为Xg,弹簧2的伸长量为x20，则应有
_k]X]0■木2乂20=0
当物体运动到平衡位置的位移为X处时，弹簧1的伸长量就为x10X，弹簧2的伸长量就
为X20-X，所以物体所受的合外力为
F--ki（Xiox）k2（X20-x）--（匕k2）x
2
dx（kik2）
dt2m
上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为
5-4如图所示，U形管直径为d,管内水银质量为m,密度为p现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。
解：
以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为x轴正方向，建立坐标系。
右液面偏离原点为
至x时，振动系统所受回复力为：
空2xTgx
42
振动角频率；叮
5-5如图所示，定滑轮半径为
R,转动惯量为J,轻弹簧劲度系数为k,物体质量为m,
现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力。
试证明该系统作简
谐振动，并求其作微小振动的周期。
解：
弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机
械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为x轴正方向，建立坐标系。
设平衡时弹簧伸
121v
2k（x%）存h
对上式两边求导:
va
k（xl0）vJmva-mgv=0
RR
从上式消去V,且将
（1）式代入，得到
k2
axx
jm
R2
R2k
JmR2
说明系统作简谐振动。
振动周期为:
丁吞實2
5-6如图所示，轻弹簧的劲度系数为k,定滑轮的半径为R、转动惯量为J,物体质量
为m，将物体托起后突然放手，整个系统将进入振动状态，用能量法求其固有周期。
解：
设任意时刻t，物体m离平衡位置的位移为X，速率为V，则振动系统的总机械能
式中C为滑轮的重力势能，为一常量，上式两边对t求导得
va
kxvJmva=0
RR
k2
a=-xx
+m
R2
于是
R2k
JmR2
5-7如图所示，质量为10g的子弹，以％=1000m；s速度射入木块并嵌在木块中，使弹
簧压缩从而作简谐运动，若木块质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为8103Nm，求振动的振
幅。
（设子弹射入木块这一过程极短）
解：
先讨论子弹与木块的碰撞过程，在碰撞过程中，子弹与木块组成的系统的动量守恒,
mvo二（mm）v
=2（m/s）
mvo
v=
mm
A可由初始时刻系
然后系统做简谐振动，因为简谐振动过程中机械能守恒，所以振幅统的机械能确定，已知初始时刻系统的势能为零，所以有
1.212（mm）vkA
2
2
5-8如图所示，在一个倾角为二的光滑斜面上，固定一个原长为I。
、劲度系数为k、质
量可以忽略不计的弹簧，在弹簧下端挂一个质量为m的重物，求重物作简谐运动的平衡位
置和周期。
解:
设物体处在平衡位置时弹簧伸长量为x0,则
•a,mgsin日
mgsinJ-kx0x0二k
平衡位置距O1点为：
|0x0=l0mgSin"
k
以平衡位置为坐标原点，如图建立坐标轴Ox，当物体运动到离开平衡位置的位移为x
处时，弹簧的伸长量就是x°x,所以物体所受的合外力为
F二mgsin-k（x0x）即F二-kx
物体受力与位移成正比而反向，即可知物体做简谐振动国，此简谐振动的周期为
5-9两质点分别作简谐振动，其频率、振幅均相等，振动方向平行。
在每次振动过程中，
它们在经过振幅的一半的地方时相遇，而运动方向相反。
求它们相差，并用旋转矢量图表示
出来。
习题5-9图
x=-12cm处所需的
5-10一简谐振动的振幅A=24cm、周期T=3s,以振子位移x=12cm、并向负方向运
动时为计时起点，作出振动位移与时间的关系曲线，并求出振子运动到最短时间。
2n2nn
解：
依题意可得，•‘二〒=§,又由旋转矢量法可知‘飞
所以振动方程为：
x=0.24cos（—t）（m）
33
质点运动到x=-12cm处最小相位变化为n3，所以
需要最短时间为
醴n3
tT3=0.5（s）
2n2n
5-11如图所示，一轻弹簧下端挂着两个质量均为m=1.0kg的物体B和C,此时弹簧伸
长2.0cm并保持静止。
用剪刀断连接B和C的细线，使C自由下落，于是B就振动起来。
选B开始运动时为计时起点，B的平衡位置为坐标原点，在下列情况下，求B的振动方程
（1）x轴正向向上；
（2）x轴正向向下。
习题5-11图
解：
已知m=1kg,lBC=0.02m,可得k=2mg/lBC=1000（N/m）
k—
10d0（rad/s）m
当以B的平衡位置为坐标原点，振动振幅为
A=0.02-mgk=0.02-0.01=0.01（m）
由题意知，振动初速度v0=0
⑴x轴正向向上时：
x0二-0.01（m）=■■:
⑵x轴正向向下时：
Xo=0.01（m）即=0
振动方程为x=0.01cos（10、10t）（m）
5-12劲度系数为k的轻弹簧，上端与质量为m的平板相联，下端与地面相联。
如图所示，今有一质量也为m的物体由平板上方h高处自由落下，并与平板发生完全非弹性碰撞。
以平板开始运动时刻为计时起点，向下为正，求振动周期、振幅和初相。
习题5-12图
解：
物体下落与平板碰撞前速度：
v=2gh
mv二（mm）v0
所以物体与平板碰撞后共同运动的速度:
在x处，物体和平板受力:
F=2mg_k（x=-kx
见旋转矢量图，有:
mg
|xo|
Am2g2mgkh
5-13在一平板上放一重9.8N的物体，平板在竖直方向作简谐振动，周期T=0.50s,振
幅A=0.020m，试求
（1）重物对平板的压力F；
（2）平板以多大振幅运动时，重物将脱离平板？
解：
以平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，物体在x处时，
习题5-13图
mg一N=ma--m2x
22
N二mgm■x=9.816二x
2
⑴重物对平板的压力F-9.816二x
（2）当N=0时重物将脱离平板，由N=9.8-16：
"x^a^O，得
Xmax=-0.062（m）,A=xmax|=0.062（m）
5-14—木块在水平面上作简谐运动，振幅为5.0c频率为,一块质量为m的较小木块叠在其上，两木块间最大静摩擦力为0.4mg,求振动频率至少为多大时，上面的木块将相对于下面木滑动？
解：
以平衡位置为坐标原点，向右为x轴正方向，建
。
Fx
。
1匚Ax
x'
习题5-14图
立坐标系，小木块在x处：
22n
F--m•x2二'
T
在最大位移处，F最大，Fmax=m2x
当Fmax■fs,即m「2A—\mg时小木块开始相对于大木块滑动，由此得：
5-15一台摆钟的等效摆长L=0.995m，摆锤可上下移动以调节其周期。
该钟每天快1
分27秒。
假如将此摆当作一个质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向下移动多少距离，才能使钟走得准确？
解：
设原摆钟周期为T,钟走时准确时，其钟摆长为L，周期为T,则
T_24606087_86487
T24606086400
工L"「2『86487弓
而
（一）2L0.995=0.997（m）
LT86400
L-L=0.002（m）=2（mm）
应将摆锤下移2mm。
5-16一弹簧振子，弹簧的劲度系数k=25Nm，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J
振动时，求
（1）振幅；
（2）位移是多大时，势能和动能相等？
（3）位移是振幅的一半时，势能多大？
解：
（1）E=Ek0Ep0=0.20.6=0.8（J）
x，A=0.179（m）
2
11a21121
⑶当xA时，Epk（）kAE=0.2（J）
2p22424
5-17一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，两个振动的振动方程为
人=0.04cos（2t）（SI）
x2=0.03cos（2t-巧（SI）
6
求合振动的振幅和初相。
5-18有两个同方向、同频率的简谐振动，它们合振动的振幅为振动的相差为n/6若第一个振动的振幅A1=8.0cm,求
（1）第二个振动的振幅A2；
（2）第一个振动和第二个振动的相位差。
10cm，合振动与第一个
习题5-18图
解：
依题意，作旋转矢量图，可知
AA2A2-2AACOS6-10282一2108：
空；：
5（cm）
A—Ai—A
cos--0.131
2AJA
.-■：
:
-820
5-19已知两个分振动的振动方程分别为
x=2cosnt
n
y=2cos（n-）
2
求合振动轨道曲线。
解：
两个振动方程消去t得：
x2y^4,所以合振动轨迹是圆。
5-20质量为4536kg的火箭发射架在发射火箭时，因向后反冲而具有反冲能量，这能量
由发射架压缩一个弹簧而被弹簧吸收。
为了不让发射架在反冲终了后作往复运动，人们使用
一个阻尼减震器使发射架能以临界阻尼状态回复到点火位置去。
已知发射架以10ms的初
速向后反冲并移动了3m。
试求反冲弹簧的劲度系数和阻尼减震器提供临界阻尼时的阻力系数。
解：
已知m=4536kg，v°=10m/s，A=3m
22
=50400（N/m）
mv0453610
k22
A232
临界阻尼时:
=■'0，由有，阻力系数:
2m
5.5X03ms，地震
5-21已知地壳平均密度约2.8103kgm3，地震波的纵波波速约
波的横波波速约3.5为03ms，计算地壳的杨氏模量与切变模量。
丫二u纵T=8.471O10（kg/mJ2）
由U横二G得，G=U横—3.431010（kg/mJ2）
Vp
5-22已知空气中的声速为344ms，一声波在空气中波长是0.671m，当它传入水中时,
波长变为2.83m，求声波在水中的传播速度。
解：
根据波在不同介质中传播时，频率不变，又因为
山水=比，所以u水二丄空=1.45110（m/s）
，水，空.空
Xi=0.05m处质元的振动方程及该质元的初相位。
解:
（1）由题知：
u=1m/s,，=0.04m,所以
O处质点的振动方程为：
y0=0.03cos（50二t'）
2
所以，波函数为：
y=0.03cos（50二t-50二x•…）
2
（2）当X1=0.05m时，代入波函数有
y二0.03cos（50二t「2二）=0.03cos50二t
初相位即=0或-2二。
5-24有一沿x轴正向传播的平面简谐波，波速为2ms，原点处质元的振动方程为
y=0.6cosn（SI），试求
（1）此波的波长；
（2）波函数；
（3）同一质元在1秒末和2秒末这两个时刻的相位差；
（4）xA=1.0m和XB=1.5m处两质元在同一时刻的相位差。
2n
解：
由题意可得：
A=0.6m,「二二（rad/s），T2s
co
（1），=uT=22=4m
n
（2）y=0.6cos（nx）
2
（3）同一质点，位置（x坐标）不变
如fnW兀）
=\ti<2-一xI——x1=n
I2八2丿
（4）同一时刻，t不变
„31JI
•:
二-—Xb「Xa二-—
即b点比a点落后一。
4
5-25振动频率为、•.=500Hz的波源发出一列平面简谐波，波速U=350m.「S，试求
（1）相位差为n3的两点相距多远；
（2）在某点，时间间隔为.：
t=10-S的两个状态的相位差是多少？
解：
（1）■=uT二u卜.=350/500=0.7m
0.7=0.117m
2n2n
QAl
（2）'：
■:
==2n;-1=2n50010^=n
5-26有一波长为入的平面简谐波，它在a点引起的振动的振动方程为
y二Acos（「t•，试分别在如图所示四种坐标选择情况下，写出此简谐波的波函数。
解：
（1）y=Acos[t]
A
2兀x
（2）y=Acos[t]
2兀也
（3）y=Acos[t（x-I）■]
扎
y=Acos[t
（xl）：
]
扎
5-27图示为t=0时刻的平面简谐波的波形，求
（1）原点的振动方程;
（2）波函数；
（3）P点的振动方程;
（4）a、b两点的运动方向。
n
解：
（1）原点振动方程：
y0=0.04cos（・‘t）（m）
2
2nu2n0.082
由图可知，’=0.4m，所以Mrad/s）
&0.45
2n所以：
y°=0.04cos（n—）（m）
52
2n
⑵波函数y=0.04cos（n-5n—）（m）
52
2n23
（3）yp=0.04cos（—n-5n0.4+n）=0.04cos（-A—n（m）
5252
（4）
a:
向下b:
向上
2n3n
y°=Acos（t），设波源在x=0
T2
2n2nX3n、
函数为y=Acos（t）
TTu2
z2nX3n
当t=T时，y=Acos（）
Tu2
、2
⑵当“4时，“Ac。
呻tn）
y（m）
O
F4
-A
3T/4t”
5-29已知一平面简谐波的波函数y^Acosn（4t+2x）（SI）,
（1）写出t=4.2s时各波峰位置的坐标表示式，计算此时离原点最近的一个波峰的位置,该波峰何时通过坐标原点？
（2）画出t=4.2s时的波形图。
解：
（1）t=4.2s时，y=Acos（16.8n+2nx）=Acos（0.8n+2nx）
即x=k_0.4（m）（k为整数）
则此时离原点最近的波峰位置为x=-0.4m。
由于该波向x轴负方向传播，原点比x=-0.4的点先到达波峰
二x0-（-0.4）
-：
t0.2（s）
u2
即t=4.2—：
t=4（s）
5-30图示为t=0时刻沿x轴正方向传播的平面简谐波的波形图，其中振幅A、波长，、
可得，：
：
0二丄。
2
2nn
（2）原点O处质兀的振动表达式可写为y°=Acos（ut）
P处质元的振动从时间上比O处质元的振动落后，因此P处质兀的振动表达式为
2u
2n九n
yp二Acos[—u（t）夕
人2u2
2nn_
得yp二Acos[ut]
九2
（3）p、q两点相位差为:
n="2n.二x=2nn
z.z.2
5-31一线状波源发射柱面波，设介质是不吸收能量的各向同性均匀介质。
求波的强度
和振幅与离波源距离的关系。
解：
取两个长均为I，半径分别为「1和门的同轴圆柱面S和S,由于介质不吸收能量,
所以通过Si的平均能流P与通过S2的平均能流P相等，
即=月，又因为P=IS,I丄，所以11=旦鱼二旦=乜=互
S丨2P2/S2s2Tihri「1
122
IuA■
2
5-32设简谐波在直径d=0.10m的圆柱形管内的空气介质中传播，波的强度
1.0>10-2W：
m2，波速为u=250ms，频率=300Hz，试计算
（1）波的平均能量密度和最大能量密度各是多少
（2）相距一个波长的两个波面之间平均含有多少能量
解：
（1）1=_u
=410』（J/m3）
u250
施=2—810‘（J/m3）
⑵E==-nd2，/4=n^2u/4=2.6210"7（J）
5-33一个声源向各个方向均匀地发射总功率为10W的声波，求距声源多远处，声强级
为100dB。
5-34设正常谈话的声强I=1.010^Wm2，响雷的声强l：
=0.1W」m2，它们的声强级
各是多少?
解：
正常谈话的声强级为L=10lg+=10lg石卫=60（dB）
10’
I
雷声的声强级为L=10lg10lg密=110（dB）
3
5-35纸盆半径R=0.1m的扬声器，辐射出频率=10Hz、功率P=40W的声波。
设空
3
气密度p=1.29kgm，声速u=344m；s，不计空气对声波的吸收，求纸盆的振幅。
PP122
解：
1W存，又因为1，所以
5-36P、Q为两个以同相位、同频率、同振幅振动的相干波源，它们在同一介质中传播,设波的频率为V、波长为入P、Q间距离为3"2,R为PQ连线上P、Q两点外侧的任意
点，求
（1）自P发出的波在R点的振动与自Q发出的波在R点的振动的位相差;
（2）R点合振动的振幅。
解：
（1）r在q外侧时，.厂二•P」「Q_2n「RP_rRQ）二o
5-37
两分振动的振幅都为A=0.01m。
弦的振动方程为y=0.02cos0.16xcos750t（SI），求
t=2.0>0-3s时，位于x=5.0cm处的质元的速度为v=-1.04103（m/s）。
波在P点反射。
已知0P二3：
4，DP二扣6，在t=0
与反射波在D点处叠加的合振动方程。
习题5-38图
解：
根据题意，可确定O处质元振动的初相位为
n
上，这样O处质元的振动方程为：
2
n
y0=Acos（2nt+）
2
入射波的波动表达式为：
、入=Acos（2nt—2」x+—）
&2
反射波在O点的振动相位比入射波在O点的振动相位要落后
，.:
_2躯3/4）
O点的振动方程为
式中加n是考虑反射端有半波损失而加上的。
由此可得反射波在
n
y反0=Acos（2nt+4n+—）
2
反射波向左传播，所以反射波的波动表达式为：
2nn
y反二Acos（2ntx+）
k2
入射波与反射波叠加后形成驻波的波动表达式为：
2nn
y=y入y反二2Acosxcos（2nt-）九2
八十3九k7丸一
位于x的D点，其合振动表达式为
4612
i2n7几），冗厂，冗
yD=2Acoscos（2nt—）--、、3Acos（2nt—）
Ik12丿22
5-39速度为20ms的火车A和速度也为20ms的火车B相向行驶，火车A以频率、=
500Hz鸣汽笛，试就下列两种情况求火车B中乘客听到的声音的频率。
（设声速为340ms）
（1）A、B相遇之前；
（2）A、B相遇之后。
解：
（1）A、B相遇之前
（2）A、B相遇之后
34020500二562.5（Hz）
340—20
UVr
S
U_VS
34^20500=444.4（Hz）
34020
■号,
5-40一人造地球卫星发出=108Hz的微波信号，卫星探测器在某一时刻检测到由地面
站反射回的信号与卫星发出的信号产生了拍频
h=2400Hz的拍，求此时卫星沿地面站方
向的分速度。
ccV
V=V
cc—Vc—V
二者之间的频率差为:
Av=v
c+V心2V
--（-1）=■.
c—Vc—V
可得卫星沿地面站方向的分速度为:
cAv
V=
=、•
=彭10*2400応3.6I03（m/s）
2400210
正号，说明向地面站靠拢。
5-41从远方某一星体发射的光谱，经研究确认其中有一组氢原子的巴尔末线系。
经测
定，地球上氢原子的434nm谱线与该星体上氢原子的589nm谱线属于同一谱线。
试由此推
断该星体是正在远离还是正在接近地球
?
它相对地球的运动速度是多大？
解：
设星体相对地球的运动速度为
V,星体上波长为=434nm的氢原子，地球接收到该
氢原子的波长为九’=589nm,频率为
v',即:
=
c
V
c-V
c
cc
-
c-V
8
c（■-）310（434-589）8“、
整理得：
V1.0710（m）
k434
所以此星体正远离地球。
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