创新设计一轮复习 第四章 第2节.docx
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创新设计一轮复习第四章第2节
第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式
考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式:
sin2α+cos2α=1,=tanα;2.能利用定义推导出诱导公式.
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:
=tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sinα
-sin__α
-sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cosα
-cos__α
cos__α
-cos__α
sin__α
-sin__α
正切
tanα
tan__α
-tan__α
-tan__α
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
[微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα;sinα=tanα·cosα.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.( )
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.( )
(3)若α∈R,则tanα=恒成立.( )
(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sinα=.( )
解析
(1)中对于任意α∈R,恒有sin(π+α)=-sinα.
(3)中当α的终边落在y轴,商数关系不成立.
(4)当k为奇数时,sinα=,
当k为偶数时,sinα=-.
答案
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
2.(必修4P21A12改编)已知tanα=-3,则cos2α-sin2α=( )
A.B.-C.D.-
解析 由同角三角函数关系得
cos2α-sin2α====-.
答案 B
3.(必修4P29B2改编)已知α为锐角,且sinα=,则cos(π+α)=( )
A.-B.C.-D.
解析 因为α为锐角,所以cosα==,
故cos(π+α)=-cosα=-.
答案 A
4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sinα-cosα=,则sin2α=( )
A.-B.-C.D.
解析 ∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α,
∴sin2α=1-=-.
答案 A
5.(2019·济南质检)若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα=( )
A.B.-C.D.-
解析 ∵sinα=-,α为第四象限角,
∴cosα==,因此tanα==-.
答案 D
6.(2018·上海嘉定区月考)化简:
=________.
解析 原式===1.
答案 1
考点一 同角三角函数基本关系式
多维探究
角度1 公式的直接运用
【例1-1】(2018·延安模拟)已知α∈,且sinα=-,则cosα=( )
A.-B.C.±D.
解析 因为α∈,且sinα=->-=sin,所以α为第三象限角,所以cosα=-=-=-.
答案 A
角度2 关于sinα,cosα的齐次式问题
【例1-2】已知=-1,求下列各式的值.
(1);
(2)sin2α+sinαcosα+2.
解 由已知得tanα=.
(1)==-.
(2)sin2α+sinαcosα+2=+2=+2=+2=.
角度3 “sinα±cosα,sinαcosα”之间的关系
【例1-3】已知x∈(-π,0),sinx+cosx=.
(1)求sinx-cosx的值;
(2)求的值.
解
(1)由sinx+cosx=,
平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=,
整理得2sinxcosx=-.
所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=.
由x∈(-π,0),知sinx<0,又sinx+cosx>0,
所以cosx>0,则sinx-cosx<0,
故sinx-cosx=-.
(2)=
===-.
规律方法 1.同角三角函数关系的用途:
根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值,对三角函数式进行变换.
(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化.
(2)利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用:
对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.
3.注意公式逆用及变形应用:
1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
【训练1】
(1)(2019·烟台测试)已知sinαcosα=,且<α<,则cosα-sinα的值为( )
A.-B.C.-D.
(2)已知=5,则cos2α+sin2α的值是( )
A.B.-C.-3D.3
解析
(1)∵<α<,
∴cosα<0,sinα<0且cosα>sinα,
∴cosα-sinα>0.
又(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×=,
∴cosα-sinα=.
(2)由=5得=5,可得tanα=2,
则cos2α+sin2α=cos2α+sinαcosα===.
答案
(1)B
(2)A
考点二 诱导公式的应用
【例2】
(1)设f(α)=(1+2sinα≠0),则f=________.
(2)已知cos=a,则cos+sin的值是________.
解析
(1)∵f(α)=
===,
∴f===.
(2)∵cos=cos
=-cos=-a,
sin=sin=a,
∴cos+sin=-a+a=0.
答案
(1)
(2)0
规律方法 1.诱导公式的两个应用
(1)求值:
负化正,大化小,化到锐角为终了.
(2)化简:
统一角,统一名,同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.
【训练2】
(1)(2019·衡水中学调研)若cos=,则cos(π-2α)=( )
A.B.C.-D.-
(2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则sinβ=________.
解析
(1)由cos=,得sinα=.
∴cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.
(2)α与β的终边关于y轴对称,则α+β=π+2kπ,k∈Z,
∴β=π-α+2kπ,k∈Z.
∴sinβ=sin(π-α+2kπ)=sinα=.
答案
(1)D
(2)
考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
【例3】
(1)(2019·菏泽联考)已知α∈,sin=,则tan(π+2α)=( )
A.B.±C.±D.
(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sinα的值是( )
A.B.C.D.
解析
(1)∵α∈,sin=,
∴cosα=,sinα=-,tanα==-2.
∴tan(π+2α)=tan2α===.
(2)由已知得
消去sinβ,得tanα=3,
∴sinα=3cosα,代入sin2α+cos2α=1,
化简得sin2α=,则sinα=(α为锐角).
答案
(1)A
(2)C
(3)已知-π①求sinx-cosx的值;
②求的值.
解 ①由已知,得sinx+cosx=,
两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=,
整理得2sinxcosx=-.
∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=,
由-π又sinxcosx=-<0,
∴cosx>0,∴sinx-cosx<0,
故sinx-cosx=-.
②=
=
==-.
规律方法 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
2.
(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响,开方时先判断三角函数值的符号;
(2)熟记一些常见互补的角、互余的角,如-α与+α互余等.
【训练3】
(1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0,π),且cosα=-,则sin·tanα=( )
A.-B.-C.D.
(2)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.
解析
(1)∵α∈(0,π),且cosα=-,∴sinα=,
因此sin·tanα=cosα·=sinα=.
(2)由题意,得cos=,∴tan=.
∴tan=tan=-=-.
答案
(1)C
(2)-
[思维升华]
1.同角三角函数基本关系可用于统一函数;诱导公式主要用于统一角,其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.
2.三角函数求值、化简的常用方法:
(1)弦切互化法:
主要利用公式tanx=进行切化弦或弦化切,如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切.
(2)和积转换法:
如利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化.
(3)巧用“1”的变换:
1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ(1+)=tan等.
[易错防范]
1.利用诱导公式进行化简求值时,可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:
去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
2.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
基础巩固题组
(建议用时:
35分钟)
一、选择题
1.sin600°的值为( )
A.-B.-C.D.
解析 sin600°=sin(360°+240°)=sin240°
=sin(180°+60°)=-sin60°=-.
答案 B
2.已知直线2x-y-1=0的倾斜角为α,则sin2α-2cos2α=( )
A.B.-C.-D.-
解析 由题意知tanα=2,
∴sin2α-2cos2α===.
答案 A
3.=( )
A.sin2-cos2B.sin2+cos2
C.±(sin2-cos2)D.cos2-sin2
解析 =
==|sin2-cos2|=sin2-cos2.
答案 A
4.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于( )
A.-B.-C.D.
解析 ∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ),
∴-sinθ=-cosθ,
∴tanθ=,∵|θ|<,∴θ=.
答案 D
5.已知sin=,则cos=( )
A.B.C.-D.-
解析 因为sin=,所以cos=sin=sin=.
答案 B
6.(2019·兰州质检)向量a=,b=(cosα,1),且a∥b,则cos=( )
A.-B.C.-D.-
解析 ∵a=,b=(cosα,1),且a∥b,
∴×1-tanαcosα=0,∴sinα=,
∴cos=-sinα=-.
答案 A
7.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2020)的值为( )
A.-1B.1C.3D.-3
解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)
=asinα+bcosβ=3,
∴f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)
=asinα+bcosβ=3.
答案 C
二、填空题
8.(2019·广东七校联考)已知sinα=-,且α为第三象限的角,则tanα=________.
解析 ∵sinα=-,且α为第三象限的角,
∴cosα=-=-,∴tanα==.
答案
9.已知tan=,则tan=________.
解析 ∵+=π,
∴tan=tan
=-tan=-.
答案 -
10.已知sinθ+cosθ=,θ∈,则sinθ-cosθ的值为________.
解析 ∵sinθ+cosθ=,∴sinθcosθ=.
又∵(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=,
又∵θ∈,∴sinθ-cosθ=-.
答案 -
11.已知tanθ=3,则cos=________.
解析 ∵tanθ=3,∴cos=sin2θ====.
答案
12.(2019·邯郸一模)若sin(α+β)=3sin(π-α+β),且α,β∈,则=________.
解析 由条件,得sin(α+β)=3sin(α-β),
∴sinαcosβ=2cosαsinβ,则tanα=2tanβ,
因此=2.
答案 2
能力提升题组
(建议用时:
15分钟)
13.若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为( )
A.1+B.1-
C.1±D.-1-
解析 由题意知sinθ+cosθ=-,sinθ·cosθ=.
又=1+2sinθcosθ,
∴=1+,解得m=1±.
又Δ=4m2-16m≥0,∴m≤0或m≥4,∴m=1-.
答案 B
14.已知sincos=,且0<α<,则sinα=________,cosα=________.
解析 sincos=-cosα·(-sinα)=sinαcosα=.
∵0<α<,∴0又∵sin2α+cos2α=1,∴sinα=,cosα=.
答案
15.已知k∈Z,化简:
=________.
解析 当k=2n(n∈Z)时,
原式=
===-1;
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=
===-1.
综上,原式=-1.
答案 -1
16.是否存在α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos,cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?
若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
解 假设存在角α,β满足条件,
则由已知条件可得
由①2+②2,得sin2α+3cos2α=2.
∴sin2α=,∴sinα=±.
∵α∈,∴α=±.
当α=时,由②式知cosβ=,
又β∈(0,π),∴β=,此时①式成立;
当α=-时,由②式知cosβ=,
又β∈(0,π),∴β=,此时①式不成立,故舍去.
∴存在α=,β=满足条件.
新高考创新预测
17.(多填题)已知sinα=,α∈,则cos(π-α)=________,cos2α=________.
解析 cos(π-α)=-cosα=-=-,cos2α=cos2α-sin2α=-=.
答案 -