微分方程数值.docx
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微分方程数值
微分方程数值解
指导教师：
李晓峰
学院：
应用科学学院
班级：
信息与计算科学131801
姓名：
王慧兰
学号：
201318030120
目录
一、实验名称错误!
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二、实验目的错误!
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三、实验内容错误!
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四、实验要求错误!
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五、实验步骤、源程序及运行截图错误!
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1.Euler法（向前）错误!
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1.1源程序错误!
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1.2实验步骤错误!
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1.3运行截图错误!
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2.Euler法（向后）错误!
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2.1源程序错误!
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2.2实验步骤错误!
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2.3运行截图错误!
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3.梯形迭代法公式错误!
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3.1源程序错误!
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3.2实验步骤错误!
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3.3运行截图错误!
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4.改进的Euler公式错误!
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4.1源程序10
4.2实验步骤错误!
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4.3运行截图11
一、实验名称
Euler法、梯形法求解初值问题。
二、实验目的
掌握求解常微分方程初值问题的单步法；比较不同算法所得的数值结果，体会步长缩小对问题解得影响。
三、实验内容
求解初值问题
的数值解。
四、实验要求
编写程序，步长取h=0.1，分别用Euler法、梯形法迭代格式、4阶RK方法求解该问题。
整理比较各节点处的数值解、误差、相对误差、体会算法对数值解梯度的改进。
（1）改变步长h=0.2和h=0.5，通过比较各节点处数值解，在不同的步长下，算法优劣结论一致。
（2）按同一算法不同步长整理数据，比较在同一节点按不同步长计算所得的数值解的误差变化趋势，体会缩小步长对数值解的影响。
（3）改进Euler法程序使其适用任意初值问题。
五、源程序、实验核心步骤运行截图
1、Euler法（向前）
1.1源程序
QEuler.m
function[h,k,X,Y,P,REn]=Qeuler1（funfcn,x0,y0,b,n,tol）
x=x0;h=（b-x）/n;X=zeros（n,1）;y=y0;
Y=zeros（n,1）;k=1;X（k）=x;Y（k）=y';
fork=2:
n+1
fxy=feval（funfcn,x,y）;
delta=norm（h*fxy,'inf'）;
wucha=tol*max（norm（y,'inf'）,1.0）;
ifdelta>=wucha
x=x+h;y=y+h*fxy;X（k）=x;Y（k）=y';
end
plot（X,Y,'rp'）
grid
label（'自变量X'）,ylabel（'因变量Y'）
title（'用向前欧拉（Euler）公式计算dy/dx=f（x,y），y（x0）=y0在[x0,b]上的数值解'）
end
P=[X,Y];
symsdy2,
REn=0.5*dy2*h^2;
1.2实验步骤
（1）建立并保存以funfcn.m文件命名的M文件函数
functionf=funfcn（x,y）
f=8*x-3*y-7;
（2）建立并保存以QEuler.m文件命名的M文件函数。
（3）输入程序：
subplot（2,1,1）
x0=0;y0=1;b=1-1.e-4;
n=100;tol=1.e-4;
[h1,k1,x1,Y1,P1,Ren1]=QEuler1（@funfcn,x0,y0,b,n,tol）
holdon
S1=8/3*x1-29/9+38/9*exp（-3*x1）,plot（x1,S1,'b-'）
title（'用向前欧拉公式计算dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,1]上的数值解'）
legend（'n=100时，dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,1]上的数值解','dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,1]上的精确解'）
holdoff
jdwuc1=S1-Y1;jwY1=S1-Y1;
xwY1=jwY1./S1;k1=1:
n;k=[0,k1];
P1=[k',x1,Y1,S1,jwY1,xwY1]
subplot（2,1,2）
n1=10;[h2,k2,x2,Y2,P2,Ren2]=QEuler1（@funfcn,x0,y0,b,n1,tol）
holdon
S1=8/3*x2-29/9+38/9*exp（-3*x2）,plot（x2,S1,'b-'）
legend（'n=10时，dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,1]上的数值解','dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,1]上的精确解'）
holdoff
jwY2=S1-Y2;xwY2=jwY2./S1;k1=1:
n1;k=[0,k1];P2=[k',x2,Y2,S1,jwY2,xwY2]
1.3运行截图
图1-3
=10,100时，
在[0,1]上的数值解和精确解
2.向后Euler公式：
2.2源程序：
Heuler1.m
function[X,Y,n,P]=Heuler1（funfcn,x0,b,y0,h,tol）
n=fix（（b-x0）/h）;X=zeros（n+1,1）;Y=zeros（n+1,1）;
k=1;X（k）=x0;Y（k,:
）=y0;Y1（k,:
）=y0;
%绘图.
clc,x0,h,y0
%产生初值.
fori=2:
n+1
X（i）=x0+h;Y（i,:
）=y0+h*feval（funfcn,x0,y0）;
Y1（i,:
）=y0+h*feval（funfcn,X（i）,Y（i,:
））;
%主循环.
Wu=abs（Y1（i,:
）-Y（i,:
））;
whileWu>tol
p=Y1（i,:
）;
Y1（i,:
）=y0+h*feval（funfcn,X（i）,p）;
Y（i,:
）=p;
end
x0=x0+h;y0=Y1（i,:
）;
Y（i,:
）=y0;plot（X,Y,'ro'）
gridon
xlabel（'自变量X'）,ylabel（'因变量Y'）
title（'用向后欧拉公式计算dy/dx=f（x,y），y（x0）=y0在[x0,b]上的数值解'）
end
X=X（1:
n+1）;Y=Y（1:
n+1,:
）;n=1:
n+1;P=[n',X,Y]
2.1实验步骤：
（1）建立并保存以funfcn.m文件命名的M文件函数
functionf=funfcn（x,y）
f=8*x-3*y-7;
（2）建立并保存以Heuler1.m文件命名的M文件函数。
（3）输入程序
>>S1=dsolve（'Dy=8*x-3*y-7','y（0）=1','x'）
>>x0=0;y0=1;
b=2;tol=1.e-1;
subplot（2,1,1）
h1=0.01;
[X1,Y1,n,P1]=Heuler1（@funfcn,x0,b,y0,h1,tol）
holdon
S2=8/3*X1-29/9+38/9*exp（-3*X1）,plot（X1,S2,'b-'）
legend（'h=0.01用向后欧拉公式计算dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,2]上的数值解','dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,2]上的精确解'）
holdoff
juwY1=S2-Y1;
xiwY1=juwY1./Y1;
L=[P1,S2,juwY1,xiwY1]
subplot（2,1,2）
h=0.05;
[X,Y,n,P]=Heuler1（@funfcn,x0,b,y0,h,tol）
holdon
S1=8/3*X-29/9+38/9*exp（-3*X）,
plot（X,S1,'b-'）
legend（'h=0.05用向后欧拉公式计算dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,2]上的数值解','dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,2]上的精确解'）
holdoff
juwY=S1-Y;
xiwY=juwY./Y;
L=[P,S1,juwY,xiwY]
2.3实验结果图：
图10–10取h=0.05时，用向后欧拉公式求初值问题的数值解和精确解的图形
3、梯形迭代法公式
3.1源程序
odtixing1.m
function[X,Y,n,P]=odtixing1（funfcn,x0,b,y0,h,tol）
n=fix（（b-x0）/h）;
X=zeros（n+1,1）;
Y=zeros（n+1,1）;
k=1;X（k）=x0;
Y（k,:
）=y0;Y1（k,:
）=y0;
%绘图.
clc,x0,h,y0
%产生初值.
fori=2:
n+1
X（i）=x0+h;
fx0y0=feval（funfcn,x0,y0）;
Y（i,:
）=y0+h*fx0y0;
fxiyi=feval（funfcn,X（i）,Y（i,:
））;
Y1（i,:
）=y0+h*（fxiyi+fx0y0）/2;
%主循环.
Wu=abs（Y1（i,:
）-Y（i,:
））;
whileWu>tol
p=Y1（i,:
）,
fxip=feval（funfcn,X（i）,p）;
Y1（i,:
）=y0+h*（fx0y0+fxip）/2,P1=Y1（i,:
）,Y（i,:
）=p1;
end
x0=x0+h;y0=Y1（i,:
）;
Y（i,:
）=y0;plot（X,Y,'ro'）
gridon
xlabel（'自变量X'）,ylabel（'因变量Y'）
title（'用梯形公式计算dy/dx=f（x,y），y（x0）=y0在[x0,b]上的数值解'）
end
X=X（1:
n+1）;Y=Y（1:
n+1,:
）;
n=1:
n+1;P=[n',X,Y]
3.2实验步骤
（1）建立并保存以funfcn.m文件命名的M文件函数
functionf=funfcn（x,y）
f=8*x-3*y-7;
（2）建立并保存以QEuler.m文件命名的M文件函数。
（3）输入程序：
x0=0;y0=1;b=2;tol=0.1;h=0.05;
[X,Yt,n,Pt]=odtixing1（@funfcn,x0,b,y0,h,tol）
holdon
S1=8/3*X-29/9+38/9*exp（-3*X）;
plot（X,S1,'b-'）,holdoff
legend（'h=0.05,用梯形公式计算dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,2]上的数值解','dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,2]上的精确解'）
juwYt=S1-Yt;xiwYt=juwYt./Yt;Lt=[Pt,S1,juwYt,xiwYt]
3.3运行截图
4、改进的Euler公式
4.1源程序：
gaiEuler.m
function[H,X,Y,k,h,P]=gaiEuler（funfcn,x0,b,y0,tol）
%初始化.
pow=1/3;
ifnargin<5|isempty（tol）,
tol=1.e-6;
end;
ifnargin<6|isempty（trace）,
trace=0;
end;
x=x0;h=0.0078125*（b-x）;
y=y0（:
）;p=128;n=fix（（b-x0）/h）;
H=zeros（p,1）;X=zeros（p,1）;
Y=zeros（p,length（y））;k=1;
X（k）=x;Y（k,:
）=y';
%绘图.
clc,x,h,y
end
%主循环.
while（xx）
ifx+h>b
h=b-x;
end
%计算斜率.
fxy=feval（funfcn,x,y）;fxy=fxy（:
）;
%计算误差，设定可接受误差.
delta=norm（h*fxy,'inf'）;wucha=tol*max（norm（y,'inf'）,1.0）;
%当误差可接受时重写解.
ifdelta<=wucha
x=x+h;y1=y+h*fxy;fxy1=feval（funfcn,x,y1）;
fxy=fxy（:
）;y2=（fxy+fxy1）/2;y=y+h*y2;k=k+1;
ifk>length（X）
X=[X;zeros（p,1）];Y=[Y;zeros（p,length（y））];
H=[H;zeros（p,1）];
end
H（k）=h;X（k）=x;Y（k,:
）=y';plot（X,Y,'mh'）,grid
xlabel（'自变量X'）,ylabel（'因变量Y'）
title（'用改进的欧拉公式计算dy/dx=f（x,y），y（x0）=y0在[x0,b]上的数值解'）
end
%更新步长.
ifdelta~=0.0
h=min（h*8,0.9*h*（wucha/delta）^pow）;
end
end
if（xdisp（'Singularitylikely.'）,x
end
H=H（1:
k）;X=X（1:
k）;Y=Y（1:
k,:
）;n=1:
k;P=[n',H,X,Y]
4.2实验步骤：
（1）建立并保存以funfcn.m文件命名的M文件函数
functionf=funfcn（x,y）
f=8*x-3*y-7;
（2）建立并保存以gaiEuler.m文件命名的M文件函数。
（3）输入程序
x0=0;y0=1;b=2;tol=1.e-1;
[Ht,X,Yt,k,h,Pt]=odtixing2（@funfcn,x0,b,y0,tol）
holdon
S1=8/3*X-29/9+38/9*exp（-3*X）,
plot（X,S1,'b-'）
holdoff
holdon
[H,X,Y,k,h,P]=gaiEuler（@funfcn,x0,b,y0,tol）
holdoff
legend（'用梯形公式计算dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,2]上的数值解','dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,2]上的精确解','用改进的欧拉公式计算dy/dx=8x-3y-7，y（0）=1在[0,2]上的数值解'）
juwY=S1-Y;xiwY=juwY./Y;
L=[P,S1,juwY,xiwY]
3.3运行截图
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