普通高等学校招生全国统一考试理科数学和答案.docx

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普通高等学校招生全国统一考试理科数学和答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

（2）

注意事项：

1•答题前，考生先将自己的、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择題必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，

字体工整，笔迹清楚

3.请按照題号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在

草稿纸、试卷上答題无效

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

一、选择題：

本题共12小题，每小題5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3+//、

1.——=（）

1+i

A.1+2/B.1—2iC.2+/D.2—z

2.设集合A={1,2,4},B=|xx2-4x+zn=o|.若AQB={1},则E=（）

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

”意思是：

一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,学科&网粗实线画出的是某几何依的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）

A.90龙B.63龙C.42龙D.36兀

2x+3y-3<0

5.设x,y满足约束条件<2/-3），+3»0,则z=2x+y的最小值是（）

[y+3>0

A.-15B.-9C.1D.9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）

A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的a=-l,则输出的S二（）

A.2B.3C.4D.5

9.若双曲线C:

务一缶=1（。

>0,b>0）的一条渐近线被圆（x-ly+y2=4所截得的

弦长为2,则C的离心率为（）

2/T

A.2B・*^3C・^2D・

3

10•已知直三棱柱ABC—AJBC中，ZABC=120\AB=2,BC=CC1=1,则异面直

线AB】与Bq所成角的余弦值为（）

A.逅B•至C.迥D•逼

2553

11•若x=-2是函数f（x）=（x2+ax-l）ex^的极值点，则/（x）的极小值为（）

D.1

A.-112.已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC—点，则Pd（PB+PC）的最小值是（）

34

A.—2B.C.D.—1

23

二、填空题：

本題共4小题，每小题5分，共20分。

13.-批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=・

n1

15.等差数列｛陽｝的前〃项和为S”，①“，S4=10,则工一=.

k=L\

16.已知F是抛物线C：

r=8%的焦点，是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若

M为FN的中点，贝'J|FN|=.

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（―）必考題:

共60分。

17.（12分）

AABC的角的对边分别为a,b,c,已知sui（A+C）=8sin2-.

⑴求cosB

（2）若a+c=6t^ABC面积为2•求b・

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学丨科网，收获时各随机抽取了

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：

旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量V50kg

箱产量$50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（疋斗）

0.050

0.

0.001

k

3.841

6.635

10.828

K?

_gad-bcF

（a+b）（c+d）（a+c）（Z?

+d）

19.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面刊〃为等比三角形且垂直于底面力位刀，

AB=BC=丄AD^BAD=ZABC=90\〃是勿的中点.

2

（1）证明：

直线CE//平面朋〃

（2）点〃在棱PC上，且直线旳/与底面力2刀所成锐角为45°,求二面角汗AB~D的余弦值

20.（12分）

设0为坐标原点，动点〃在椭圆C：

一+才=1上，过肘做X轴的垂线，垂足为M点P满

2

足丽=>/!

而.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点0在直线尸-3上，且OPPQ=\.证明：

过点P且垂直于血的直线/过C的左焦点人

21.（12分）

已知函数f（x）=ax5-ax-xlnxy且f（x）>0.

（1）求召;

（2）证明：

f（x）存在唯一的极大值点兀,且e~2

（二）选考題：

共10分。

请考生在第22、23題中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：

坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系刃炉中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线q的极坐标方程为qcos&=4.

（1）.1/为曲线G上的动点，点P在线段蚀上，且满足|OM|・|OP|=16,求点P的轨迹C?

的直角坐标方程；

（2）设点力的极坐标为（2,彳），点3在曲线C,上，求△Q4S面积的最大值.

23.［选修4-5：

不等式选讲］（10分）

已知a>0,b>0,a'+b‘=2,证明：

（1）（a+b）（a3+b3）>4；

（2）a+b<2.

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题答案

一、选择题

3.B

4.B

5.A

6.D

9.A

10.C

11.A

12.B

211

14.1

15-«+l

16.6

l.D2.C

7.D8.B

二、填空题

13.1.96

三、解答题

17•解：

（1）由题设及Z+C"陶gs吩，故

sm3=4（1-cosB）

上式两边平方，整理得17cos汩-32cosB十15=0解得cosB=l（舍去）,eosB^

（2）由cosB=—^sinB=—,故SXARr=-acsinB=—ac

1717217

17

又Swu=2,则ac=~^

由余弦定理学科&网及a+c=6得b2=a2+c2-laccosB

=（a+c）2-2ac（l+cosB）

*o17门15、

=36-2x—x（l+—）

217

=4

所以b=2

1&解：

（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”

由题意知P（A）=P（BC）=P（B）P（C）

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

（0.040+0.034+0.024+0.014+0.012）x5=0.62

故P（3）的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

（0.068+0.046+0.010+0.008）x5=0.66

故P（c）的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.62x0.66=0.4092

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量<50kg

箱产量M50kg

旧养殖法

62

38

新养殖法

31

66

K—200x（62x66-34x38）-“5.705

100x100x96x104

由于15.705>6.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

（0.004+0.020+0.044）x5=0.34<0.5,

箱产量低于55kg的直方图面积为

（0.004+0.020+0.044+0.068）x5=0.68>0.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

19.解:

（1）取Q4中点F,连结EF,BF•

因为E为加的中点，所以EF\\AD,EF=^AD,由ZBAD=ZABC=90°得

BC//AD,又BC=-AD

2

所以EF丛C.四边形3C£F为平行四边形，CE//BF・又BFu平面PAB,CE（z平面PAB,故CE〃平面PAB

（2）

由已知得朋丄AQ•以A为坐标原点，AP的方向为x轴正方向，卜同为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

则A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（1,1,0）,P（0,1,V3）,

PC=（1,0,-笛），丽=（1,0,0）则

BM=（x-1,z）,PM=（x,y-Lz~>/3）

因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n=（0,0,1）是底面ABCD的法向量，所以cosIBM,n）|=sin45°,/冈=返

、彳J（x-厅+）+2

即（x-1）2+y2-z2=0

又M在棱PC上，学|科网设PM=xPG则

x==l,z=>/3->/32

2

由①，②得

…迥

2

Z=

\

»从而AM=

3

22

X

/

2

2

Z

严1

所以M

严1

（舍去）八

设加二（%儿,q）是平面ABM的法向量,则

w?

・4M=0出j（2-旋）兀+2y0+>/6^0=0m^AB=0［兀=0

所以可取研（0,

因此二面角M-AB-D的余弦值为如

5

20•解

（1）设P（x,y）,M（xOtyo），设N（xOt0）,NP=（x-x0,y）9NM=（0,y0）

由NP=yf2NM得xo=x,儿=—y

2

因为M（xo,yo）在C上，所以—+^-=1

22

因此点P的轨迹方程为F+>'==2

（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3,t）,P（m,n）,则

OQ=（-3,t）,PF=（一1一m,一“）,OQ・PF=3+3m一tn,

OP=（mn）,PQ=（一3-加,f一畀），

由OP.PQ=1得-3m—nf+tn—n2=1»又由

（1）知m+m2=2,故

3+3m-tn=0

所以OQ.PF=0,即O0丄尸万•学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且

垂直于0Q的直线1过C的左焦点F.

21.解：

（1）/（X）的定义域为（0,-ko）

设g（x）=or-“-Inx,则/（x）=xg（a）.f（x）>0等价于g（a）>0

因为g（l）二0,g（a）>0,跄,

（1）二0,而0（x）=a--,g'

（1）二a_1,得a=1

若沪1,则0（x）=1-i•当00,g（x）单调递増•所以X=1是g（y）的极小值点，故g（X）>g

（1）=0

综上，a=l

（2）由

（1）知f（x）=x2一x_xInx,f'（x）=2y-2-Inx

设h（x）=2-y-2-Inx、则力'Cy）=2—丄

Xz\/\

当XW0上时，力’（X）0,所以力（工）在0丄单调递减,

\2丿\2y（2丿

/iA

在l,+x单调递增

\2>

/iA/!

\\

又力（八）>0,力-<0,A（l）=0,所以力（x）在0,-有唯一零点xo,在+x有唯一零点1,且当xe（0,%）时，力（x）>0；当x丘（无,1）时，力（牙）<0,当xe（1,+oo）时，力（at）>0.因为f'（X）=力（可，所以x=x。

是f（x）的唯一极大值点

由f'（A-o）=0得In-Yo=2（%-1）,故f（.Yo）=^0（1-A-o）

由耳e（0,1）得f'（%）<#

因为X=Xo是f（x）在（0,1）的最大值点，由「e（0,l）,f'（「）H0得

所以e-'Vf（%）<2七

22.解:

（1）设P的极坐标为（°’&）（。

>0）,M的极坐标为（久‘&）（久>°）,由題设知

OP\=p,\OM=p、=——

111cos<9

由|OM|・|OP|=16得q的极坐标方程p=4cos<9（p>0）

因此2的直角坐标方程为（x-2）"+y2=4（jvH0）

（2）设点B的极坐标为（/Va）（d>0）,由题设知

OA=2,心二4cosq,于是ZX0AB面积

S二丄网・d・sinZAOB

2

_V3

<2+>/3

当a二-一时，S取得最大值2•血

X厶

所以AOAB面积的最大值为2+>/3

23•解:

（1）

（d+b）仕+//）=/+於+a°b+Z?

6

=（/+Z?

3）2-2a3b3+ab（aA+fr1）=4+d?

（/-b1）

>4

（2）因为

（&+b）=a3+3cfb4-3ab2+b3

=2+3ab（d+Z?

）

<2+3（J（o+b）=2+

3（c/+Z?

）~~4-

所以（a+b）3<8,因此a+bW2・