普通高等学校招生全国统一考试理科数学和答案.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试理科数学和答案2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（2）注意事项：1答题前，考生先将自己的、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择題必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照題号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答題无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择題：本题共12小题，每小題5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符

2、合题目要求的。3 + / / 、1.=（ ）1+ iA. 1 + 2/ B. 1 2i C. 2 + / D. 2 z2.设集合 A = 1,2,4 , B = |x x2-4x+zn = o|.若 A QB = 1,则 E=（）A. 1,-3 B. 1,0 C. 1,3 D. 1,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的 下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,学科&网粗实

3、线画出的是某几何依的三视图，该几 何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A. 90龙 B. 63龙 C. 42龙 D. 36兀2x+3y-3 05.设x, y满足约束条件0A. -15 B. -9 C. 1 D. 96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排 方式共有（）A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 36 种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2 位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成 绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.

4、根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的a = -l,则输出的S二()A. 2 B. 3 C. 4 D. 59.若双曲线C:务一缶=1 (。0, b0)的一条渐近线被圆(x-ly + y2= 4所截得的弦长为2,则C的离心率为()2/TA. 2 B *3 C 2 D 310已知直三棱柱ABC AJBC 中，ZABC = 120 AB = 2, BC = CC1=1,则异面直线AB】与Bq所成角的余弦值为()A.逅 B至 C.迥 D逼2 5 5 311 若x = -2是函数

5、f(x) = (x2 + ax-l)ex的极值点，则/(x)的极小值为()D. 1A. -1 12.已知AABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC 点，则Pd(PB + PC)的最小值 是()34A. 2 B. C. D. 12 3二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分。13.-批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX = n 115.等差数列陽的前项和为S”，“，S4 = 10,则工一 = .k=L 16. 已知F是抛物线C：r = 8%的焦点，是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，贝J|FN

6、| = .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第1721题为必做题, 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（）必考題:共60分。17.（12 分）AABC的角的对边分别为a,b,c ,已知sui（A + C） = 8sin2 -.求cosB（2）若a + c = 6 t ABC面积为2求b18.（12 分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学丨科网，收获时各随机抽取了（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新 养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；（2） 填写下面列联表，

7、并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量V50kg箱产量$50kg旧养殖法新养殖法（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）P （疋斗）0. 0500.0. 001k3. 8416. 63510. 828K? _ gad-bcF(a + b)(c + d )(a + c)(Z? + d)19.(12 分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面刊为等比三角形且垂直于底面力位刀，AB = BC =丄ADBAD = ZABC = 90 是勿的中点.2(1)证明：直线CE/平面朋(2)点在棱PC上，且直线旳/与底面力2刀所成锐角为45 ,

8、求二面角汗ABD的余弦 值20.(12 分)设0为坐标原点，动点在椭圆C： 一+才=1上，过肘做X轴的垂线，垂足为M点P满2足丽= /!而.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点0在直线尸-3上，且OPPQ = .证明：过点P且垂直于血的直线/过C的左焦 点人21.(12 分)已知函数 f(x) = ax5 -ax-xlnxy 且 f(x) 0.(1)求召;(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点兀,且e2 f(xQ)0,b0,a + b= 2 ,证明：(1) (a+b)(a3 +b3)4 ；(2) a + b2.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案一、 选择题3.B4.B5. A

9、6. D9. A10. C11. A12. B21114. 115- +l16. 6l.D 2.C7.D 8.B二、 填空题13. 1.96三、 解答题17解：（1）由题设及Z + C陶gs吩，故sm 3 = 4（ 1-cosB）上式两边平方，整理得17cos汩-32cosB十15=0 解得 cosB=l （舍去）,eosB(2)由cosB=sinB = , 故SXARr = -acsinB = ac17 17 2 1717又 Swu=2,则ac = 由余弦定理学科&网及a + c = 6得 b2 = a2 +c2 - lac cos B=(a+c )2 - 2ac(l + cosB)* o

10、17 门 15、=36-2x x(l+ )2 17=4所以b=21&解：(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg” ，C表示事件“新养殖法的箱产量不 低于50kg”由题意知 P(A)=P(BC)=P(B)P(C)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.040 + 0.034 + 0.024 + 0.014 + 0.012) x 5=0.62故P(3)的估计值为0. 62新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068 + 0.046 + 0.010+ 0.008) x 5=0.66故P(c)的估计值为0. 66因此，事件A的概率估计值为0.62x0.66 = 0.4092(2)根据

11、箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量6.635故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004 + 0.020 + 0.044)x5 = 0.34 0.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为19.解:(1)取Q4中点F,连结EF, BF 因为E为加的中点，所以EFAD , EF = AD ,由ZBAD= ZABC=90得BC/AD,又 BC = -AD2所以EF丛C .四边形3CF为平行四边形，CE/BF 又BFu平面PAB, CE(z平面PAB,故CE 平面PAB(2)由已知得朋丄AQ以A为坐标原点，AP的方向为

12、x轴正方向，卜同为单位长，建立如 图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0) , C(1, 1, 0) , P(0 , 1, V3),PC = (1,0, - 笛)，丽=(1,0,0)则BM = (x-1, z),PM = (x, y-L z/3)因为BM与底面ABCD所成的角为45 ,而n = (0,0, 1)是底面ABCD的法向量，所以 cos IBM ,n)| = sin45, / 冈 =返、 彳 J(x-厅 +)+ 2即(x-1) 2 +y2 -z2 =0又M在棱PC上，学|科网设PM=xPG则x = = l,z = /3-/322由，得迥2Z

13、 =从而AM =32 2X/22Z严1所以M严1(舍去)八设加二（%儿,q）是平面ABM的法向量,则w?4M = 0 出 j(2-旋)兀 + 2y0 + /60 = 0 mAB = 0 兀=0所以可取研（0,因此二面角M-AB-D的余弦值为如520 解(1)设 P (x,y) ,M (xOtyo)，设 N (xOt0) , NP = (x- x0, y)9 NM =(0, y0)由 NP = yf2NM 得 xo=x,儿=y2因为M (xo,yo)在C上，所以+ - = 12 2因此点P的轨迹方程为F + = = 2(2)由题意知 F (-1,0).设Q (-3, t) ,P(m,n),则OQ

14、 = (-3, t), PF = (一 1 一 m, 一“), OQPF = 3 + 3m 一 tn ,OP = (m n), PQ = (一3 - 加,f 一 畀)，由 OP.PQ = 1 得-3m nf + tn n2 = 1 又由(1)知 m +m2=2 ,故3+3m-tn=0所以OQ.PF = 0 ,即O0丄尸万学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于0Q的直线1过C的左焦点F.21.解：(1)/(X)的定义域为(0,-ko)设 g (x) = or - “ - Inx ,则 /(x) = xg (a) . f (x) 0 等价于 g (a) 0因为 g(l)二 0,

15、 g (a) 0,跄,(1)二 0,而 0 (x) = a-, g (1)二 a _ 1,得 a = 1若沪1,则 0(x) = 1-i当 0xl 时，(x) 0, g (x)单调递増所以X=1是g(y)的极小值点，故g(X) g (1)=0综上，a=l(2)由(1)知 f (x) = x2 一 x _ x In x, f (x) = 2y - 2 - In x设 h (x) = 2-y - 2 - In x、则力Cy) = 2 丄X z / 当XW 0上时，力(X)0,所以力(工)在0丄单调递减,2 丿 2 y (2 丿/i A在l,+x单调递增2 /i A / ! 又力(八)0,力-0 ；

16、当 x 丘(无,1)时，力(牙)0 . 因为f(X)=力(可，所以x=x。是f(x)的唯一极大值点由 f (A-o) = 0得 In -Yo = 2(% - 1),故 f (.Yo) =0(1 - A-o)由耳 e(0,1)得 f(%)#因为X=Xo是f(x)在(0,1)的最大值点，由e(0, l),f() H 0得所以 e-Vf (%)0), M的极坐标为(久 &)(久),由題设知OP =p, OM = p、=1 1 1 cos 9由|OM|OP| = 16得q的极坐标方程p=4cos0)因此2的直角坐标方程为(x - 2) + y2 = 4 (jv H 0)(2)设点B的极坐标为(/V a)(d0),由题设知OA =2,心二4cosq ,于是 ZX0AB 面积S二丄网dsin ZAOB2_V3/3当a二-一时，S取得最大值2血X厶所以AOAB面积的最大值为2+/323解:(1)(d + b)仕 +/) = / + 於 + ab + Z?6=(/ + Z?3)2 - 2a3b3 + ab (aA + fr1) =4 + d? (/- b1) 4（2）因为(& + b) = a3 + 3cfb 4- 3ab2 + b3=2 + 3ab (d+Z?) 2+ 3 (J (o+b) = 2 +3 (c/+Z?) 4-所以(a+b)3 8,因此a+bW2