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辅助函数在数学分析上的应用毕业设计

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毕业设计（论文）

题目：

辅助函数在数学分析上的应用

学院：

专业名称：

学号：

学生：

指导教师：

2014年5月5日

辅助函数在数学分析中的应用

摘要

函数思想自古以来就是数学界的经典思想，函数方法已经成为人们解决数学问题，尤其是难度较大的数学问题的重要工具．辅助函数作为函数重要的一个分类，在数学分析中也有很大的应用．本文详略得当地从可作为辅助函数的函数，辅助函数的构造方法和辅助函数在数学分析中的应用这三大块入手，着重介绍辅助函数法在数学分析中的运用，同时也会简略地描述辅助函数法的定义、辅助函数的一些常用构造方法与可作为辅助函数的函数，以求开拓对此类问题的解决思路．

关键词

辅助函数，构造方法，数学分析中的应用

Applicationofauxiliaryfunctioninmathematicalanalysis

Abstract　　　

Functionthoughtsinceancienttimesistheclassicalideasofmathematics,afunctionalapproachofauxiliaryfunctionsasfunctionsoftheimportant,alsomathematicalanalysis.Thisdetailasauxiliaryfunctionoffunction,auxiliaryfunctionofconstructedmethodandauxiliaryfunctioninmathematicsanalysisintheofapplicationthisthreechunksstart,focusesonintroducedauxiliaryfunctionlawinmathematicsanalysisintheofusing,whilealsowillbrieflytodescriptionauxiliaryfunctionlawofdefines,andauxiliaryfunctionofsomecommonconstructedmethodandcanasauxiliaryfunctionoffunction,topioneeringonthisclassproblemofsettlementideas.

Keywords

Auxiliaryfunction,construction,applicationofmathematicalanalysis

目录

1引言1

1.1研究意义1

1.2辅助函数法的定义1

2可作为辅助函数的函数2

2.1单调函数2

2.2Lagrange函数2

3辅助函数的构造方法5

3.1几何法5

3.1.1积分意义法5

3.1.2三点定抛物线法6

3.2原函数法7

3.3微分方程法8

3.4常数分离法9

4辅助函数法在数学分析中的运用11

4.1证明中值定理11

4.2解决有关不等式与等式的问题11

4.2.1不等式的问题11

4.2.2证明等式12

4.3解方程及探讨方程的根12

5结论14

致谢15

参考文献16

1引言

1.1研究意义

在学习数学转化数学问题中，辅助函数法是的一种重要手段，特别在《数学分析》的学习和解题当中我们会经常遇到构造辅助函数来解决相关题目的方法．通过构造辅助函数，我们求解的问题简单化，并且挖掘命题中的隐含条件使其具体化、明显化．这就好像在生活中遇到阻碍，为了清除障碍，我们就会想到通过某种方式或者借助某种手段来克服障碍．构造辅助函数法就是我们不对问题的本身进行求解，而是通过构造一个新的函数，此函数是与我们所求解的命题密切相关且相符的，之后从这个新的函数的角度去观察、分析和解答所要求解问题．作为数学类的相关专业的学生，在学习过程中，注重这种数学思想方法的学习和应用是必须的，如此不仅可以使我们的解题能力得以提高而且还可以提高我们的数学素质．本文从在数学分析中的几类问题出发，介绍构造辅助函数的思想方法在解决相关问题当中的运用[1]．

1.2辅助函数法的定义

定义　辅助函数法就是通过某种方式（或方法）构造恰当的函数，再利用此函数的某种（或几种）性质解决相关问题的方法．

注　　辅助函数的性质是运用辅助函数法解决问题的重中之重，应给予足够的重视．

例1　已知函数，若，总有

成立，求实数的取值范围．

简解首先构造辅助函数，且由题意可知函数为定义域内的严格单调递增函数，所以的导函数大于等于零恒成立，再利用变参分离，即可求得实数的取值范围为．

若例1直接运用变参分离的方法进行求解，难度相对来说会比较大，但运用辅助函数法就可以轻易解决．由此辅助函数的构造方向问题也就呈现了出来，寻找函数构造最恰当辅助函数，同时我们也要清楚该辅助函数的性质与功能．

2可作为辅助函数的函数

2.1单调函数

单调函数作为一种常见的函数，其中绝大部分都可以依据题意进行辅助函数的构造，通过题目给出的意思，进行移项或者作商等方法，得到辅助函数的单调性，从而得到问题的解题思路．

例2设，证明：

．

分析对于关于两个常数的不等式，一般将其中一个常数转换成变量，再构造单调函数，利用辅助函数单调性的性质进行证明．

证明等价于．

令

，

显然

．，

又由于

得

，

所以

，故．

2.2Lagrange函数

拉格朗日函数是力学系的特性函数，其明显的表现形式为，而在数学分析中其表现形式为一种多元函数，通过构造拉格朗日函数的方式，求其偏导函数得到驻点，从而找到极大（极小）值或者最大（最小）值[4]．

例3　求椭圆的内接长方体的最大体积．

解设椭圆内接长方体位于第一卦限的顶点坐标为，

则

，

设

，

令

由

，，

两式相除得

；

由

，，

两式相除得

．

再将

，

代入

，

得

　　　　　，，，

于是最大的体积为

．

不是任何函数都可以用来构造辅助函数，单调函数和拉格朗日函数都可以构造辅助函数来解决问题，当然还有部分可积函数、延拓函数等其它函数也可以构造成辅助函数，能够造成辅助函数的函数必须具有其相应的性质或功能，这样才能使得问题得到解决．

3辅助函数的构造方法

要想进一步探究辅助函数法在数学分析中的运用，笔者认为应该明晰对怎样构造辅助函数这一问题．如下将详略地介绍构造辅助函数的几种方法：

3.1几何法

数学分析中，存在有些概念或命题具有特殊的集合意义．例如函数在某点出的导数值为曲线对应点处切线的斜率，定积分的几何意义为曲边梯形的面积；罗尔定理的几何意义为曲线上至少存在一点处的切线平行于轴等．对于这些问题，依据其集合意义构造函数，接着利用已有的知识便迎刃而解．

3.1.1积分意义法

例5设函数在上连续，在内可导，且．证明：

存在唯一的使曲线与直线及所围成的面积是与直线及所围成的面积的三倍．

分析利用定积分知

．

因此，要证

，

可作辅助函数：

，

用介值定理证明的存在性，用导数证明的存在性，用导数证明的唯一性．

证明作

，

则

．

在上连续，由介值定理知，存在使

，

又在内可导，且

，

由

知，

是的极小值点，

即在上单调减少，而在上单调递增，

故

且是唯一的．

3.1.2三点定抛物线法

一般地，过三点的二次抛物线的方程为：

对于含函数在二阶导数的问题，若知道函数在不同的三点处的值，便可利用“三点定抛物线”，另等于与抛物线纵坐标差值来解决．

例6设在上二阶可导，且，证明存

，使．

证明过三点可做抛物线

，

令

，

则

，

且

，

在上对用罗尔定理，存在使得

，

在上对用罗尔定理得，存在使得，即

．

3.2原函数法

在利用微分中值定理求解介值（或零点）问题时，与证明的结论往往是某个函数的导函数的零点，因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数．具体步骤为[8]：

（1）将欲证结论中的（或者）换成；

（2）通过恒等变形，将结论化为易积分（或容易消除导数符号）的形式；（3）用观察法或凑微分法等方法示出原函数，为简便起见，可将积分常数去为零；

（4）移项，使等式一边为零，则等式的另一边即为所需的辅助函数．

例7设在上连续，在内可导，，证明：

在内必存在一点，使．

证明将要证明结论中的换成，在变形为

，

则在上连续，在内可导，且

，

由罗尔定理知，存在，使得，即：

．

3.3微分方程法

所谓“微分方程法”，是指在遇到诸如“求证：

存在，使得

”之类的问题时，可先了解微分方程得其通解

，则辅助函数可构造为．

例8设函数在闭空间具有二阶导数，且，那么至少存在一点使得成立．

分析在要证明的结论

，

中用替换，得

，

把看作未知函数，这就是一个关于的一阶线性齐次微分方程，可以用变量分离法或者公式法求得其解，

，

将

作为辅助函数．

证明令

由于函数在闭区间具有二级导数，因此函数在闭区间上连续，在开区间内可导，又

　　　　　　　　　　　　，

故至少有一点使．于是在闭区间上连续，在开区间上可导，且，所以在闭区间上满足罗尔中值定理．因此，至少有一点，使得

．

即：

．

由于

，

所以

．

3.4常数分离法

若欲要证明的命题中恒等变形，使等式一端，常数已分离，可考虑用以下步骤求辅助函数：

（1）将常数部分记作；

（2）做恒等变形，使等式一端为构成的代数式，另一端为构成的代数式；

（3）分析关于端点的表达是否为对称式，若是，只要把端点（）改为，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数．

例9设在区间上连续，在内可导，证明：

在内至少有一点，使得

．

证明令

　　　　　　　　　　　　，

则

　　　　　　　　　　　　，

显然，这是一个关于的对称式可以构造辅助函数为

，

则在在区间上连续，在内可导，且，由罗尔定理可知，存在，使得，则有

．

以上通过介绍几何法、原函数法和微分方程法以及常数分离法这几种方法，结合实例讲解了构造辅助函数方法的使用，突出了构造辅助函数在数学分析中解题时的实用性和有效性，在解题时恰当地构造辅助函数可以方便地拓宽解题的思路，相对于直接去解，有极大的优势．当然在数学分析中构造辅助函数的方法还有很多，比如恒等变形法、不完全归纳法和逆向思维法，以及融合了各种方法的综合分析法等等，通过这些构造辅助函数的方法都可以使我们解题事半功倍．

4辅助函数法在数学分析中的运用

辅助函数法在数学分析中的运用是本文的重点，下面我们将从几个方面来阐述辅助函数法在众多数学分析问题中的运用.

4.1证明中值定理

在数学分析中，人们将拉格朗日定理、罗尔定理、柯西定理称之为微分中值定理．微分中值定理是数学分析的基石，在各种版本的教材里，对各个中值定理的证明都堪称经典．这里笔者运用辅助函数法重点对拉格朗日中值定理进行证明：

若函数满足如下条件：

（

）在闭区间上连续；

（

）在开区间内可导，

则在内至少存在一点，使得：

．

证明先做一个辅助函数：

，

易知，存在，使得

，

故

，

定理得证．

注

该定理的证明方法还有很多种，请读者参考相关资料继续探究；

当时，本定理的结论即为罗尔定理，说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情况．因此，这里对罗尔定理的证明从略．

4.2解决有关不等式与等式的问题

4.2.1不等式的问题

不等式问题十分常见，难度也不小，有关不等式的著名公式、定理也很多．当正面直接利用不等式的知识难以解决时，我们可以另辟蹊径，运用辅助函数法去解决，问题则可能会变得很简单.

例10已知，证明：

．

简证先构造辅助函数

　　　　　　　　　　，

要证原不等式成立，即证辅助函数的导函数单调递减，所以

　　　　　　　　　　　，

再次构造辅助函数

　　　　　　　　　　　　，

只需求导，明晰该辅助函数的单调性，原不等式便得证．

4.2.2证明等式

例11设函数在区间上连续，在区间内可导，且，证明：

存在一点使得．

简证先构造辅助函数

，

由罗尔中值定理即可证得　　　

　　　　　　　　　　．

4.3解方程及探讨方程的根

对于形式复杂的解方程问题，比如含有多个平方根式或者是高次方程根等形式方程的求解，若要直接解这几类问题，则很麻烦，但是采用辅助函数法，会很简单，很方便．

例12解方程

．

解构造辅助函数

，

　　　　　　　　　　，

配方可知

，

　　　　　　　　　　　　，

即当且仅当时，

　　　　　　　　　　　　　　，

故原方程的根为

　　　　　　　　　　　　　　　．

例13证明方程在内至少有一个实根．

分析题目所给出的方程为一个生疏的高次方程，直接解决难度较大，如采用辅助函数法，再结合罗尔定理，原题便容易得解．

简证令

引入辅助函数

　　　　　　　　　　，

再利用罗尔定理，问题得证．

通过证明中值定理、解决不等式与等式的问题和解方程及探讨方程的根这三大块内容介绍了辅助函数在数学分析中的应用，让我们对辅助函数在数学分析中的重要性和强大性．其实，在数学分析中，辅助函数还可以解决级数、极值和整除性问题，求参数问题，以及因式分解问题等方面的应用．

5结论

在数学分析的学习中，辅助函数构造法是一种重要的思想方法，在我们的学习数学分析的过程中具有广泛的应用．构造辅助函数是把复杂的、看起来难以入手的问题转化为已知的、容易解决问题的一种方法，在解题时，常不直接对问题本身进行求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题，利用辅助函数已知的性质和定理进行求解，开拓了思维，从而达到事半功倍的效果[15]．

其实，恰当地使用辅助函数法可解决许多难度较高的数学问题，但辅助函数法没有很固定的模式，它很灵活，不死板．因此，这种解题方法的操作空间性及思维创造性较大．当然文中介绍的方法毕竟有限，笔者也只是从个人方面谈了自己对辅助函数的认识，以及对部分方法的理解，敬请各位读者批评指正．

通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果，是一个值得不断研究和探索的课题．

致谢

时光匆匆流逝，光阴偷偷在我们的身边溜走，四年就这样临近了尾声．经过这学期里几个月的不懈努力，我的毕业论文终于画上了圆满的句号．在这里，抑制住自己心里的激动之余，心里满满的全是感激．

首先，我要感谢的是我的论文指导老师——xx教授．虽然何老师在大学期间只带过我们班三个学期的《数学分析》课程，但是她那严谨、求真的为学态度，无微不至的关怀、高度的敬业精神、大胆、孜孜以求的工作作风及创新性的开拓精神，给了我很深的印象，我也从老师身上学到了很多治学应有的东西．记得何老师还在“全国大学生数学建模竞赛”中，给了我们团队很大的帮助，尽管我们团队没有取得很好的成绩，可是在和何老师的接触中，我明白了不论为人处事，还是做学问都要踏踏实实、求真、求实、开拓进取，不断创新．谢谢您，老师！

其次，我要感谢陪伴我快四年的同窗们，是你们伴我度过了数个阴晴圆缺的日子，是你们伴我在大学这座象牙塔里真真切切的成长，在一起我们很快乐，很充实，很美好，认识你们是我人生中最大的幸福．谢谢！

最后，我还要感谢全xx学院的领导和老师，尤其是我的班主任xx老师，感谢您对我的指导和教育，我会记得您的教诲．还有许许多多不胜枚举的学姐、学长及周围的朋友们，谢谢你们对我的帮助、指导、关心与支持，在此我对他们表示由衷的谢意，谢谢！

参考文献

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