届上海市南模中学高三三模数学试题解析版.docx
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届上海市南模中学高三三模数学试题解析版
2021届上海市南模中学高三三模数学试题
1．下列函数中，与函数的值域相同的函数为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：
函数的值域为，而，，只有，所以选B.
【解析】函数值域
2．设且，“z是纯虚数”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件条件D．即非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要条件的定义，结合“z是纯虚数”“”二者关系，即可求解.
【详解】z是纯虚数,则成立，当时，，即，z不一定是纯虚数，
“z是纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：
A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考查纯虚数的特征，属于基础题.
3．已知数列的通项公式为，其前项和，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用与求得,再根据渐近线方程为求解即可.
【详解】由得.
又即,故,故双曲线渐近线为
故选C
【点睛】本题主要考查了裂项相消求和与双曲线的渐近线方程等,属于基础题型.
4．已知递增正整数数列满足，则下列结论中正确的有（）
（1）､､可能成等差数列；
（2）､､可能成等比数列；
（3）中任意三项不可能成等比数列；
（4）当时，恒成立.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】首先根据题意得到数列间的关系，不放假设，可判断
（1）；假设､､是等比数列退出矛盾可判断
（2）,进而可判断（3）；同
（2）一样证明中任意三项不可能成等比数列；当时，可判断（4）；
【详解】因为，
因为是递增正整数数列，所以，
当时，，不满足题意；
所以，若，则，不满足题意；
所以，，
不妨取，，此时､､成等差数列，故
（1）正确；
若､､成等比数列，则，
所以，
所以即与矛盾，故
（2）错误；
同理假设成等比数列则，
所以，
与矛盾故（3）正确；
当时，且
，
故（4）正确；
故选：
D
【点睛】本题主要考查数列与组合数相结合的综合题，组合数公式，这是正确计算的关键，其次也要注意式子的化简与放缩等.
5．若，则__________．
【答案】0
【详解】．
【考点定位】考查矩阵的运算，属容易题．
6．若某几何体的三视图（单位：
cm）如图所示，则此几何体的体积是______cm3.
【答案】6
【分析】还原几何体得四棱柱，进而利用柱体的体积公式求解即可.
【详解】
由三视图可知该几何体为左右面为直角梯形的四棱柱.
底面面积为，高为.
所以体积为：
.
故答案为6.
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及棱柱体积的求解，属于基础题.
7．函数的单调递减区间为_______
【答案】
【分析】令t＝sin2x，即sin2x>0，求得函数的定义域为（kπ，kπ），k∈Z．本题即求函数sin2x在定义域内的减区间，结合正弦函数的图象性质可得结果．
【详解】令t＝sin2x，即sin2x>0，可得2kπ＜2x2kπ+π，k∈Z，∴定义域为（kπ，kπ），k∈Z．
且y＝lgt为单增函数，
所以即求函数sin2x在定义域（kπ，kπ）内的减区间．
结合正弦函数的图象性质可得其减区间为[kπ，kπ），k∈Z，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，正弦函数的单调性，属于中档题．
8．函数的零点为_____
【答案】
【分析】利用换元法，结合指数函数的性质直接求解即得零点.
【详解】设,令,去分母得：
整理得,即,
∵,∴,即，∴,
故答案为：
.
9．已知实数x、y满足条件（i为虚数单位），则的最小值是_____
【答案】4
【分析】本题本质是线性规划问题，先作出不等式组对应的区域，再利用复数的几何意义将的最大值和最小值转化成定点与区域中的点的距离最大与最小的问题，利用图形求解．
【详解】如图，作出对应的区域，由于z＝x+yi（i为虚数单位），
所以表示点（x，y）与D（7，﹣3）两点之间的距离，
由图象可知的最小值为D到A（3，﹣3）的距离，
即，
故答案为：
4．
【点睛】本题考查了复数的模的几何意义，考查了一定点与区域中的一动点距离最值的问题，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键．
10．已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是___________.
【答案】5
【分析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其单减性，求得最小值.
【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差，
故为正整数，关于d单减，
则当时，，当时，，不符；
故的最小值为5，
故答案为：
5
11．现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为8，圆柱的体积为，则长方体的高的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据长方体及圆柱的体积公式，结合题干条件，把高表示出来，得到，利用基本不等式，求得取值范围.
【详解】设长方体底面长为a，宽为b，圆柱底面半径为r，
则由题知，，，，
所以，当且仅当时，等号成立；
故h的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
找到长方体高与底面长宽之间的关系，利用基本不等式求得范围.
12．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm2.
【答案】
【分析】设，，由题意可得：
，解得，进而根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：
如图，设，，
由题意可得：
，
解得：
，
所以，．
故答案为：
．
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．
13．已知的展开式中的第4项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为______
【答案】
【分析】依题意知，求得展开式中的通项为Tr+1，令r=3，解得n，求出项的系数是偶数的项的个数，结合古典概型即可求得答案．
【详解】设展开式中的通项为Tr+1，
则Tr+1•xn﹣r•x﹣r•xn﹣2r，
当r=3时，n﹣2r＝0，
解得n＝6，
∴展开式中共有7项，
其中只有3项的系数，，为偶数．
该项的系数为偶数的概率是
故答案为：
.
【点睛】本题考查二项式定理、二项展开式的项的系数、二项式系数、古典概型概率公式．
14．平面内，若三条射线､､两两成等角为，则，类比该特性：
在空间，若四条射线､､､两两成等角为，则___________.
【答案】
【分析】根据类比特性，四条射线OA、OB、OC、OD两两成等角，即组成一个正四面体ABCD，O点为外接球球心，根据外接球半径与边长的关系，利用余弦定理求得所成角.
【详解】根据类比特性，四条射线OA、OB、OC、OD两两成等角，设组成一个正四面体ABCD，则OA、OB、OC、OD两两成等角，此时O点为外接球球心，则，在中，由余弦定理得
故所成等角
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
根据定义的特性，将问题转化为正四面体外接球半径与边长的关系，借助余弦定理求得结果.
15．已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当___________时，､､三点共线.
【答案】
【分析】连结AD，交EC于G点，根据正六边形的性质，表示出，然后根据，表示成，由共线定理求得参数r的值.
【详解】连结AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，，，G点为EC的中点，且，
则，
又，（），则，，
故，即
若B、M、N三点共线，由共线定理知，
，解得或（舍）
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键在于用向量表示，从而根据，把向量表示成，若B、M、N三点共线，由共线定理可以求得参数.
16．已知数列、满足：
，，且，，若数列中不存在某一项的值在该数列中重复出现无数次，在的取值范围为___________.
【答案】、、、、
【分析】推导出数列是周期为的周期数列，计算得出数列、均是以为公差的等差数列，设，分、、三种情况讨论，分析数列的单调性，可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围.
【详解】对任意的，有，
且，，，，，.
设，则
，
所以，数列是以公差为的等差数列，
设（其中为常数且），
所以，
，
所以，数列均是以为公差的等差数列，
（其中，，为中的一个常数）.
当时，对任意的，有；
当时，.
①若，则对任意的，有，所以，数列为递减数列；
②若，则对任意的，有，所以，数列为递增数列；
故只需，可满足题意.
因为，，，，，
所以，，，，，，，
解得，，，，.
故答案为：
、、、、
【点睛】关键点点睛：
本题考查利用数列的周期性求首项的取值范围，解题的关键在于通过构造新数列，利用数列的单调性得出不等式求解.
17．如图，在直三棱柱中，，，，､､分别是､､的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点到平面之间的距离．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）设的中点为．连接．证明或其补角即为异面直线与所成的角．连接．在中．可求异面直线与所成角的大小；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量．即可求点到平面之间的距离．
【详解】
（1）设的中点为．连接．则且，
或其补角即为异面直线与所成的角．
连接，在中，．
异面直线与所成角的大小为：
．
（2）在直三棱柱中，．故以点为坐标原点，
分别以所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系．
则，，．，．
设平面的一个法向量为，
则．
令，则，
平面的一个法向量为．
又，
故点到平面之间的距离．
【点睛】本题主要考查了异面直线的夹角以及利用空间向量求解点到面的距离问题，解题关键是掌握向量法求点到面距离的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
18．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【详解】试题分析：
（1）因为函数是偶函数，所以有，即求出的值；
（2）分离参数，因为，所以不等式等价于，使得不等式恒成立，只要即可求出的范围．
试题解析
（1）因为函数是定义域为的偶函数，所以有，
即，即，故.
（2），且在上恒成立，
故原不等式等价于在上恒成立，
又，所以，所以，从而，
因此，.
19．如图，某机械厂要将长，宽的长方形铁皮进行剪裁，已知点为的中点，点在边上，剪裁时先将四边形沿直线翻折到处（点､分别落在直线下方点､处，交边于点）再沿直线剪裁，若设.
（1）试用表示的长，并求出的取值范围；
（2）若使剪裁得到的四边形面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由.
【答案】
（1）；
（2）当时，沿直线剪裁，四边形面积最大，最大值为，理由见解析.
【分析】
（1）根据翻折对称关系得到，根据平行关系求得，利用直角三角形得到，最后根据翻折关系得到角的范围；
（2）根据平面图形表示四边形面积为，根据三角函数求得面积的最大值即可.
【详解】
（1）因为，且翻折的对称性可知,
又根据,所以，则,
故,
又因为，所以，
又,所以，
又点､分别落在直线下方点､处，所以，
所以；
（2）由
（1）知，，则，
，
所以四边形面积为，
令，
所以，解得（舍负），
当且仅当时，四边形面积有最大值.
【点睛】解三角形应用题的一般步骤：
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
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