版新高考地区高考数学人教版大一轮复习第2讲 充分条件与必要条件全称量词与存在量词.docx

版新高考地区高考数学人教版大一轮复习第2讲 充分条件与必要条件全称量词与存在量词.docx

《版新高考地区高考数学人教版大一轮复习第2讲 充分条件与必要条件全称量词与存在量词.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版新高考地区高考数学人教版大一轮复习第2讲 充分条件与必要条件全称量词与存在量词.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

版新高考地区高考数学人教版大一轮复习第2讲充分条件与必要条件全称量词与存在量词

第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

一、知识梳理

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q

p

p是q的必要不充分条件

p

q且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

p

q且q

p

[注意]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．

2．全称命题和特称命题

（1）全称量词和存在量词

量词名称

常见量词

符号表示

全称量词

所有、一切、任意、全部、每一个等

∀

存在量词

存在一个、至少有一个、有些、某些等

∃

（2）全称命题和特称命题

　　名称

形式　　

全称命题

特称命题

结构

对M中任意一个x，有p（x）成立

存在M中的一个x0，使p（x0）成立

简记

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，p（x0）

否定

∃x0∈M，﹁p（x0）

∀x∈M，﹁p（x）

常用结论

1．从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；

（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；

（3）若A＝B，则p是q的充要条件；

（4）若AB，则p是q的充分不必要条件；

（5）若AB，则p是q的必要不充分条件；

（6）若A

B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．全称命题与特称命题的否定

（1）改写量词：

确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

（2）否定结论：

对原命题的结论进行否定．

二、教材衍化

1．“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选B．若x＝1，则（x－1）（x＋2）＝0显然成立，但反之不成立，即若（x－1）（x＋2）＝0，则x的值也可能为－2.故选B．

2．命题“∃x0∈R，log2x0＋2<0”的否定是________________________．

答案：

∀x∈R，log2x＋2≥0

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　　）

（2）q不是p的必要条件时，“p

q”成立．（　　）

（3）写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．（　　）

（4）∃x0∈M，p（x0）与∀x∈M，﹁p（x）的真假性相反．（　　）

答案：

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）√

二、易错纠偏

（1）全称命题或特称命题的否定出错；

（2）对充分必要条件判断错误．

1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是__________________________．

答案：

存在两个全等三角形的面积不相等

2．设x∈R，则“2－x≥0”是“（x－1）2≤1”的________条件．

答案：

必要不充分

考点一　全称命题与特称命题（基础型）

理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

核心素养：

数学抽象

1．（2020·西安模拟）命题“∀x＞0，

＞0”的否定是（　　）

A．∃x＜0，

≤0B．∃x＞0，0≤x≤1

C．∀x＞0，

≤0D．∀x＜0，0≤x≤1

解析：

选B．因为

＞0，所以x＜0或x＞1，所以

＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1，故选B．

2．下列命题中的假命题是（　　）

A．∀x∈R，ex＞0B．∀x∈N，x2＞0

C．∃x0∈R，lnx0＜1D．∃x0∈N*，sin

x0＝1

解析：

选B．对于B．当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题．

3．已知命题p：

∃m∈R，f（x）＝2x－mx是增函数，则﹁p为　（　　）

A．∃m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数

B．∀m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数

C．∃m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数

D．∀m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数

解析：

选D．由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数”．

4．（2020·宁夏石嘴山期中）若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是______．

解析：

因为命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝（－2）2－4×1×（－a）＝4a＋4≤0，即a≤－1.

答案：

（－∞，－1]

（1）全称命题与特称命题的否定

①改写量词：

确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；

②否定结论：

对原命题的结论进行否定．

（2）全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称

真假

判断方法一

判断方法二

全称命题

真

所有对象使命题为真

否定为假

假

存在一个对象使命题为假

否定为真

特称命题

真

存在一个对象使命题为真

否定为假

假

所有对象使命题为假

否定为真

[提醒]　因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．

考点二　充分条件、必要条件的判断（基础型）

理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

核心素养：

逻辑推理

（1）（2020·烟台模拟）已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“

>

”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

（2）（2020·佛山模拟）已知p：

x＝2，q：

x－2＝

，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　

（1）若

>

，则

－

＝

>0.当0

>

成立；当a>0，b<0时，满足

>

，但0a>0”是“

>

”的充分不必要条件，故选A．

（2）当x－2＝

时，两边平方可得（x－2）2＝2－x，即（x－2）（x－1）＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝

，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件，故选C．

【答案】　

（1）A　

（2）C

充分条件、必要条件的2种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断．

（2）集合法：

根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．

[提醒]　判断充要条件需注意3点

（1）要分清条件与结论分别是什么．

（2）要从充分性、必要性两个方面进行判断．

（3）直接判断比较困难时，可举出反例说明．

1．（2019·高考天津卷）设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选B．由x2－5x<0可得0

2．（2020·安徽淮南二模）设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋（λ－1）y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A．当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；

若直线2λx＋（λ－1）y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行，则2λ×（1－λ）＝－6（1－λ），所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合．

综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋（λ－1）y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的充分不必要条件，故选A．

考点三　充分条件、必要条件的探求及应用（综合型）

复习指导

寻求充分、必要条件的思路

（1）寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p；

（2）寻求q的必要条件p，即求使q为条件可推出的结论p.

已知条件p：

集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：

非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围．

【解】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}，

由p是q的必要条件，知S⊆P.

则

所以0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，

即所求m的取值范围是[0，3]．

【迁移探究】　（变结论）若本例条件不变，问是否存在实数m，使p是q的充要条件．

解：

若p是q的充要条件，则P＝S，

所以

所以

即不存在实数m，使p是q的充要条件．

根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项

（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．

（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

1．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）

A．a≥9B．a≤9

C．a≥10D．a≤10

解析：

选C．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a.则a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C．

2．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．

解析：

由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.

因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，

所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.

答案：

3

[基础题组练]

1．（2020·安徽蚌埠第一次教学质量检查）命题p：

存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为（　　）

A．任意常数列不是等比数列

B．存在常数列是等比数列

C．任意常数列都是等比数列

D．不存在常数列是等比数列

解析：

选C．因为特称命题的否定是全称命题，命题p：

存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：

任意常数列都是等比数列，故选C．

2．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A．由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示，

所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．

3．已知f（x）＝sinx－x，命题p：

∃x∈

，f（x）<0，则（　　）

A．p是假命题，﹁p：

∀x∈

，f（x）≥0

B．p是假命题，﹁p：

∃x∈

，f（x）≥0

C．p是真命题，﹁p：

∀x∈

，f（x）≥0

D．p是真命题，﹁p：

∃x∈

，f（x）≥0

解析：

选C．易知f′（x）＝cosx－1<0，所以f（x）在

上是减函数，因为f（0）＝0，所以f（x）<0，所以命题p：

∃x∈

，f（x）<0是真命题，﹁p：

∀x∈

，f（x）≥0，故选C．

4．（2020·郑州模拟）设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·（b－c）＝0”是“b＝c”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选B．由b＝c，得b－c＝0，得a·（b－c）＝0；反之不成立．故“a·（b－c）＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．

5．（2020·宁夏银川一中模拟）王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（　　）

A．充分条件B．必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选B．“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B．

6．已知命题“∃x0∈R，使2x

＋（a－1）x0＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1，3）

C．（－3，＋∞）D．（－3，1）

解析：

选B．原命题的否定为∀x∈R，2x2＋（a－1）x＋

>0，由题意知，其为真命题，则Δ＝（a－1）2－4×2×

<0，则－2

7．（多选）已知a，b，c是实数，下列结论中正确的是（　　）

A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件

B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件

C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件

D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件

解析：

选CD．对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是ab，但是a2bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是ab，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选CD．

8．（多选）（2021·预测）下列命题说法错误的是（　　）

A．∃x0∈R，ex0≤0

B．∀x∈R，2x>x2

C．a＋b＝0的充要条件是

＝－1

D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1

解析：

选ABC．根据指数函数的性质可得ex>0，故A错误；x＝2时，2x>x2不成立，故B错误；当a＝b＝0时，

没有意义，故C错误；因为“x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故选ABC．

9．若命题p的否定是“∀x∈（0，＋∞），

>x＋1”，则命题p可写为____________________．

解析：

因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．

答案：

∃x0∈（0，＋∞），

≤x0＋1

10．在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________条件．

解析：

由A＝B，得tanA＝tanB，反之，若tanA＝tanB，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0

答案：

充要

11．条件p：

x>a，条件q：

x≥2.

（1）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是___________________________；

（2）若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是____________________________．

解析：

设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，

（1）因为p是q的充分不必要条件，

所以AB，所以a≥2；

（2）因为p是q的必要不充分条件，

所以BA，所以a<2.

答案：

（1）[2，＋∞）　

（2）（－∞，2）

12．已知集合A＝{x|a－2

解析：

A∩B＝∅⇔

⇔0≤a≤2.

答案：

[0，2]

[综合题组练]

1．（2020·辽宁丹东质量测试

（一））已知x，y∈R，则“x＋y≤1”是“x≤

且y≤

”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选B．当“x＋y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足“x≤

且y≤

”．当“x≤

且y≤

”时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”．故“x＋y≤1”是“x≤

且y≤

”的必要不充分条件．故选B．

2．（2020·湖南雅礼中学3月月考）若关于x的不等式|x－1|

A．a≤1B．a<1

C．a>3D．a≥3

解析：

选D．|x－1|

⇒

⇒a≥3.故D正确．

3．设p：

－

（m>0）；q：

x<

或x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．

解析：

因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以

≤

，所以0

答案：

（0，2]

4．若∃x0∈

，使得2x

－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．

解析：

因为∃x0∈

，使得2x

－λx0＋1＜0成立是假命题，所以∀x∈

，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈

，使得λ≤2x＋

恒成立是真命题，令f（x）＝2x＋

，则f′（x）＝2－

，当x∈

时，f′（x）＜0，当x∈

时，f′（x）＞0，所以f（x）≥f

＝2

，则λ≤2

.

答案：

（－∞，2

]