青岛版五四制四下数学总复习.docx

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青岛版五四制四下数学总复习

青岛版五四制四下数学

一　走进动物园——简易方程

一、方程

1.用字母表示数。

在数学中,可以用字母表示任何一个数,用字母表示数可以简明运算律或表达问题中的数量关系,还可以用字母表示未知数。

如用a、b、c分别表示三个数,则运算律表示为:

加法交换律:

a+b=b+a

加法结合律:

（a+b）+c=a+（b+c）

乘法交换律:

a×b=b×a

乘法结合律:

（a×b）×c=a×（b×c）

乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c

2.方程。

含有未知数的等式叫作方程。

方程必须具备两个条件:

①含有未知数;②必须是等式。

如20+x=50、3x=27、5x+9=54、a÷9=8等都是方程。

30+x、3x+1>5、x-12.5<5、3+6.5=9.5等不是方程。

3.看图列方程的方法。

（1）弄清已知数和未知数之间的关系;

（2）找出题中的等量关系,列出方程。

二、利用等式的性质解方程

（一）

1.等式的性质1。

等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立。

如x=50→x+20=50+20;a=b→a-c=b-c。

2.方程的解及解方程。

使方程左右两边相等的未知数的值,叫作方程的解。

求方程的解的过程叫解方程。

3.利用等式的性质1解方程。

例:

　　　x+20=100

解:

x+20-20=100-20（方程两边同时减20）

x=80

检验:

方程左边=x+20

=80+20

=100

=方程右边

所以,x=80是方程x+20=100的解。

三、利用等式的性质解方程

（二）

1.等式的性质2。

等式两边同时乘或除以同一个数（0不作除数）,等式仍然成立。

如x=50→x×2=50×2;50=4a→50÷4=4a÷4。

2.利用等式的性质2解方程。

例:

　　3x-2=4

解:

3x-2+2=4+2（方程两边同时加2）

3x=6

3x÷3=6÷3（方程两边同时除以3）

x=2

检验:

方程左边=3x-2

=3×2-2

=4

=方程右边

所以,x=2是方程3x-2=4的解。

四、列方程解应用题

1.列方程解应用题的方法和步骤。

（1）审题（弄清已知数和未知数之间的关系）;

（2）写出等量关系式,可以借助线段图分析;

（3）找出等量关系式中的未知数;

（4）根据等量关系式列出方程;

（5）解方程;

（6）检验并写出答案。

2.列方程常用的数量关系式。

（1）速度×时间=路程、路程÷速度=时间、路程÷时间=速度

（2）单价×数量=总价、总价÷单价=数量、总价÷数量=单价

（3）工作效率×工作时间=工作总量、工作总量÷工作效率=工作时间、工作总量÷工作时间=工作效率

3.列方程与算术方法解应用题对比。

列方程解应用题是一种不同于算术解法的新的解题方法,两者解法的不同点:

列方程解应用题:

（1）未知数用字母表示,参与列式;

（2）根据题意找出等量关系,列出含有未知数的等式,也就是方程。

用算术方法解应用题:

（1）未知数不参与列式;

（2）根据已知数和未知数之间的关系,确定解题步骤,再列式计算。

列方程解应用题的优越性体现在可以使未知数直接参与运算。

等式包含方程,方程也属于等式,方程是特殊的等式。

等式的性质1可简记为同加同减。

检验的过程就是把求出的未知数的值代入原方程,看左右两边是否相等。

等式的性质2可简记为同乘同除。

设未知数的方法有两种:

一种是直接设未知数,即求什么就设什么;

另一种是间接设未知数,当直接设未知数不易列出方程时,就设与要求相关的间接未知数。

易错警示:

（1）列方程解应用题,设未知数时一定要带上单位名称。

（2）方程的解不要带单位名称。

（3）在答句中要把单位名称写清楚。

二　生活中的多边形——多边形的面积

　　一、平行四边形的面积

1.用割补法求平行四边形的面积。

方法一:

用剪刀过平行四边形的一个顶点,沿着平行四边形底边上的高剪开,剪成一个三角形和一个直角梯形,把三角形拼在直角梯形的右边,使平行四边形变成一个长方形。

方法二:

用剪刀沿平行四边形的一条高剪开,剪成两个直角梯形,平移后拼合,使平行四边形变成一个长方形。

观察拼出的长方形和原来的平行四边形,发现平行四边形的底等于长方形的长,平行四边形的高等于长方形的宽,平行四边形的面积等于长方形的面积。

2.平行四边形的面积公式。

　　　　　平行四边形的面积=底×高

　　↓　　↓↓

　　　　　　长方形的面积=长×宽

用S表示平行四边形的面积,a表示底,h表示高,则平行四边形的面积公式为S=ah。

二、三角形的面积

1.求三角形的面积。

方法一:

完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

观察拼成的平行四边形和原来的三角形,三角形的底和高分别是平行四边形的底和高,三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

方法二:

用剪刀沿三角形两边中点的连线剪开,也可以拼成一个平行四边形。

观察拼成的平行四边形和原来的三角形,三角形的面积等于平行四边形的面积。

2.三角形的面积公式。

由上面的拼接可知,三角形的面积=底×高÷2。

如果用S表示三角形的面积,a表示三角形的底,h表示三角形的高,那么三角形的面积计算公式为S=ah÷2。

三、梯形的面积

1.求梯形的面积。

（1）两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。

梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。

（2）用剪刀沿梯形两腰中点的连线剪开,也可以拼成一个平行四边形。

梯形的面积等于拼成的平行四边形的面积。

2.梯形的面积公式。

由上面的拼接可知,梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。

如果用S表示梯形的面积,a表示梯形的上底,b表示梯形的下底,h表示梯形的高,那么梯形的面积计算公式为S=（a+b）h÷2。

四、组合图形的面积。

1.计算组合图形面积的方法。

（1）分割法:

将组合图形分成几个基本图形,求几个基本图形面积的和。

（2）添补法:

将组合图形补成一个基本图形,求大小两个基本图形面积的差。

（3）割补法:

将组合图形的一部分剪割下来,拼补成一个基本图形,直接求基本图形的面积。

五、公顷、平方千米

（1）除公顷与平方米外,相邻面积单位之间的进率是100。

1平方米=100平方分米　　　　1m2=100dm2

1平方分米=100平方厘米　　　1dm2=100cm2

1平方厘米=100平方毫米　　　1cm2=100mm2

1平方千米=100公顷　　　　　1km2=100hm2

（2）边长是100米的正方形,面积是1公顷。

1公顷=10000平方米　

1平方千米=1000000平方米=100公顷

把长方形框架拉成平行四边形,周长不变,面积变小。

平行四边形的面积公式中,底和高必须是对应的。

三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。

当圆木、钢管等堆成的形状横截面是梯形时,计算圆木、钢管等的根数:

（顶层根数+底层根数）×层数÷2。

求组合图形的面积时,可以把组合图形分成几个基本图形,再把这几个基本图形的面积加起来;或者从一个基本图形面积里减去另外一个或几个基本图形的面积,所得的差就是这个组合图形的面积。

高级单位换算成低级单位,乘进率;低级单位换算成高级单位,除以进率。

三　团体操表演——因数与倍数

　　一、因数与倍数

1.因数与倍数的意义。

如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数）,我们就说a和b都是c的因数,c是a和b的倍数。

2.找因数和倍数的方法。

（1）找一个数的因数,可以利用积与因数的关系一对一对地找。

如12的因数有1、12、2、6、3、4。

也可从最小的因数1找起,一直找到它本身。

如12的因数有1、2、3、4、6、12,共6个。

（2）找一个数的倍数,可以用这个数分别乘自然数1、2、3……如2的倍数有2×1=2,2×2=4,2×3=6……

注意:

①一个数的因数中,最小的因数是1,最大的因数是它本身,所以它的因数的个数是有限的。

②一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。

③因数与倍数是相互依存的,不能单独地说某个数是倍数,某个数是因数。

二、2、3、5的倍数的特征

1.2、5的倍数的特征。

（1）个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。

（2）个位上是0或5的数都是5的倍数。

（3）是2的倍数的数叫作偶数,不是2的倍数的数叫作奇数。

偶数的个位上是0、2、4、6、8,奇数的个位上是1、3、5、7、9。

0是最小的偶数,1是最小的奇数。

2.3的倍数的特征。

一个数各个数位上数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。

三、质数与合数

1.质数与合数的意义。

（1）一个数,只有1和它本身两个因数,这样的数叫质数（或素数）。

如3、7、13等都是质数。

（2）一个数,除了1和它本身外还有其他的因数,这样的数叫合数。

如4、9、12等都是合数。

（3）1只有一个因数,它既不是质数,也不是合数。

2.判断一个数是质数还是合数的方法。

先找各数的因数,再根据质数和合数的意义去判断。

如果只有1和它本身两个因数,它就是质数;如果有三个或三个以上的因数,它就是合数。

质数与奇数是本质不同的两个概念,一是从能否被2整除来断定某数是否为奇数;一是从含有因数个数来断定某数是否为质数。

因此,奇数不一定是质数,质数也不一定是奇数。

合数与偶数也是两个不同的概念,分析原理同上,牢记2是唯一的偶质数。

3.质因数、分解质因数。

（1）质因数的意义:

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫作这个合数的质因数。

（2）分解质因数:

把一个合数用质数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数。

如6=2×3,24=2×2×2×3。

（3）分解质因数的方法。

①逐步分解法:

先把合数分解成较小数的乘积,再把其中的合数进行分解,直到所有因数都是质数为止。

②分解质因数时,通常用短除法。

先用一个能整除这个合数的质数去除（一般从最小的开始）,如果得出的商是质数,就把除数和商写成相乘的形式;如果得出的商是合数,就继续除下去,直到得出的商是质数为止;再把各个除数和最后的商写成连乘的形式。

例:

只有在因数和积都是整数的情况下,才能讨论因数和倍数的概念。

为了避免一些不必要的麻烦,研究因数和倍数的时候,一般将0排除在外。

注意:

0也是偶数。

最小的合数是4;最小的质数是2,它也是唯一的偶质数。

没有最大的质数和合数,质数和合数的个数是无限的。

按因数个数把自然数分为质数、合数和1;按能否被2整除的特征把自然数分为奇数和偶数。

分解质因数时不能有1,因为1不是质数。

用短除法分解质因数时,一定要除到所得的商为质数为止。

四　中国的热极——认识负数

一、正、负数的认识

1.零上温度、零下温度。

零上温度和零下温度以0℃为分界线,比0℃高的温度是零上温度,比0℃低的温度是零下温度。

例如:

零上5℃就是比0℃高5℃;零下5℃就是比0℃低5℃。

因此,“零上温度”与“零下温度”是具有相反意义的两个量。

2.正数和负数的意义。

为了表示具有相反意义的量,我们把一种意义的量规定为正,如用10、1.2、17……来表示,像这样的数叫作正数,它们都比0大,正数前面有时也可以写上“+”（正号）;把另一种意义相反的量规定为负,并在数的前面写上“-”（负号）来表示,如-3、-5等,这样的数是负数。

0刻度线以上表示的是零上温度,离0刻度线的距离越近,温度越低;距离越远,温度越高。

零下温度离0刻度线的距离越近,温度越高;距离越远,温度越低。

正数都大于0,负数都小于0,正数都大于负数。

负数小于0和正数;正数大于0和负数;0是正、负数的分界线。

3.正数和负数的读法、写法。

（1）读法:

一个数前面的“+”“-”叫作它们的符号。

有“+”时,读作“正几”,省略“+”时,“几”读作“几”,如+3读作“正三”,3读作“三”;有“-”时,读作“负几”,不能省略“-”来读,如-3读作“负三”。

（2）写法:

①写正数时,要在数的前面加上“+”,也可以省去不写。

通常写正数时,“+”省略。

②写负数时,要在所写数的前面加上“-”,负数的“-”不能省略不写。

　二、0的意义

（1）0既不是正数,也不是负数,0没有符号。

0是正数与负数的分界线。

（2）0不仅表示“没有”,还可以表示其他意义。

如0℃是一个确定的温度,海拔0米表示海平面的平均高度。

三、正数、负数表示具有相反意义的量在实际生活中的应用

描述具有相反意义的数量,可以用正、负数表示。

如果规定其中一种量为正,那么另一种量就为负。

若题目中没有指明哪种意义的数量用正数表示、哪种意义的数量用负数表示,则通常根据习惯把表示“前进、上升、收入、零上、增加、超额、多出”的数量用正数表示,而把相反意义的数量用负数表示。

四、负数的作用

1.负数是在人为规定正方向的前提下出现的。

2.负数常用来表示和正数意义相反的量。

3.在选择用正数还是负数表示时,首先看是否规定了正方向。

通常写温度时,零上温度前加“+”,零下温度前加“-”。

无论是温度还是海拔高度,都要先确定0分界线,然后依据相反意义来分析分界线的零上和零下所表示的具体含义。

小数和分数也可以分为正、负数。

它们的读法是先读“正”或“负”,再按照小数或分数的读法来读。

0是一个特殊的数,还可以表示“起点”。

　相反意义的量:

如“上升”和“下降”,“高于”和“低于”,“得到”和“失去”,“收入”和“支出”……

生活中许多地方都用到了负数,如记账时,如果收入150元,记作+150元,那么支出70元,应记作-70元。

五　校园艺术节——分数的意义和性质

一、分数的意义和性质

1.单位“1”。

一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体,可以用自然数1来表示,通常把它叫作单位“1”。

2.分数。

把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,叫作分数。

确定分数时,用单位“1”平均分成的份数作分母,取的份数作分子。

3.分数单位的意义。

把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数,叫作这个分数的分数单位。

总结:

（1）一个分数的分母是几,这个分数的分数单位就是几分之一。

（2）一个分数的分子是几,它就有几个这样的分数单位。

比如,

的分数单位是

它有3个这样的分数单位。

　二、真分数、假分数和带分数

分数可以分成:

真分数,假分数,带分数。

1.真分数。

分子比分母小的分数叫作真分数。

真分数小于1。

真分数取的份数小于分成的份数,即取的部分小于单位“1”。

如

、

、

等都是真分数,它们都小于1。

2.假分数。

分子比分母大或分子和分母相等的分数,叫作假分数。

假分数的分数值大于1或等于1,即取的份数大于或等于单位“1”（分成的份数）。

判断一个分数是真分数还是假分数的方法:

方法一:

根据真分数与假分数的意义进行判断。

分子小于分母的分数是真分数,分子大于或等于分母的分数是假分数。

方法二:

根据真分数与假分数的特征判断（即根据分数值的大小进行判断）。

3.带分数。

分子不是分母倍数的假分数还可以写成整数与真分数合成的数,通常叫作带分数。

形式为整数+真分数。

如:

（1）带分数的写法。

先写整数部分,再写分数部分。

分数部分的分数线与整数的中间对齐。

（2）带分数的读法。

先读带分数的整数部分,再读分数部分。

整数部分和分数部分的中间要加个“又”字。

如:

2

读作:

二又五分之三。

（3）带分数的分数单位。

一个带分数的分数部分的分母是几,这个分数的分数单位就是几分之一。

带分数的分数单位只与分数部分的分母有关。

4.分数的大小比较。

（1）分母相同时,分子大则分数大。

分母相同也就是单位“1”被平均分成的份数相同;分子大表示取的份数多。

（2）分子相同,分母小则分数大。

分子相同即取的份数相同;分母小表示单位“1”被平均分成的份数少,分的份数越少,每一份就越多。

（3）整数部分不同的带分数,整数部分大的带分数就大。

5.用直线上的点表示分数。

分数可以用直线上的点表示,直线上0和1之间的线段表示单位“1”。

把表示单位“1”的线段平均分成几份,从0开始的第一个点就表示几分之一;第二个点就表示几分之二;第三个点就表示几分之三……依此类推。

当取的份数大于或等于0~1被平均分的份数时,要用假分数或带分数表示。

如图所示:

　三、分数与除法的关系

1.分数与除法的关系。

两个整数相除,可以用分数表示商,即用分数与除法之间的关系表示:

被除数÷除数=

如果用a表示被除数,b表示除数（b≠0）,则分数与除法之间的关系为a÷b=

（b≠0）。

反过来说,也可以把分数看作两个数相除,分数的分子相当于被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号,分数值相当于商。

分数与除法的联系与区别

联系

区别

分数

分子

分数线

分母（不能为0）

分数值

分数是一种数

除法

被除数

除号

除数（不能为0）

商

除法是一种运算

2.假分数化带分数。

（1）把假分数化成整数:

用假分数的分子除以分母,能整除的,所得的商就是整数。

（2）把假分数化成带分数:

用假分数的分子除以分母,所得的整数为带分数左边的整数部分,余数作分子,分母不变。

拓展:

（1）将带分数化为假分数:

分母不变,用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子。

（2）能化成整数的假分数,它们的分子都是分母的倍数。

反过来,分子是分母的倍数的假分数都能化成整数。

非0自然数能化成分母是1、2、3……的假分数,也可以看成分母是1的假分数。

　　除法算式中除数不能为0,在分数中分母也不能为0。

四、分数的基本性质

1.分数的基本性质。

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外）,分数的大小不变。

这是分数的基本性质。

2.分数的基本性质与商不变的性质的联系。

除法里的被除数相当于分数的分子,除号相当于分数中的分数线,除数相当于分数中的分母,因为被除数和除数同时乘或除以相同数（0除外）,商不变,所以分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外）,分数的大小不变。

3.异分母分数比较大小的方法。

异分母分数比较大小时,要先利用分数的基本性质,把分数转化成分母相同或分子相同的分数,再比较大小。

用分数表示阴影部分

（1）

把6个△看作单位“1”,被平均分成了6份,阴影部分占其中的2份,用分数表示:

。

（2）

把6个△看作单位“1”,被平均分成了3份,阴影部分占其中的1份,用分数表示:

。

　记忆口诀:

单位“1”很重要,平均分要做到,若干份作分母,取的份数作分子。

易错警示

分子为0的时候不是真分数。

例如,

虽然0小于3,但

不是真分数。

原因是只有将单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数才叫分数。

易错警示

带分数是由一个大于0的整数和一个真分数组成的。

带分数的分数部分必须是真分数,整数部分不能为0,并不是由整数和任意分数组成的数都是带分数。

带分数也是假分数的一种表示形式。

读数时一定要写汉字,不能写阿拉伯数字。

巧记:

分数大小的比较

几个分数比大小,

分子分母要看好。

分母相同看分子,

分子大的分数大;

分子相同看分母,

分母大的分数小。

用直线上的点表示分数时,表示真分数的点在直线0~1这一段上,表示假分数或带分数的点在1和大于1的那一段上。

分数的意义与除法的意义

①

的分数意义:

把单位“1”平均分成了4份,取了其中的3份。

②

的除法意义:

把3平均分成了4份,取了其中的1份。

巧记:

①假分数化带分数,

分子分母去相除,

商为整数余分子,

分母不变要记住。

②带分数化假分数,

分母整数相乘积,

和原分子加一起,

和为分子母不变。

判断一个分数能否化成带分数时,要先看这个分数是不是假分数,假分数可以化成带分数。

否则不能。

分数基本性质的应用:

可以把异分母分数化成同分母分数,也可以把一个分数化成指定分母的分数。

易错警示

当分数的分子或分母加减一个数时,为使分数的大小不变,要转化成乘或除以一个合适的数（0除外）来解决。

六　图案美——对称、平移与旋转

　　一、轴对称图形

1.定义。

将图形沿着一条直线对折,如果直线两侧的部分能够完全重合,这样的图形叫作轴对称图形,折痕所在的这条直线叫作它的对称轴。

轴对称图形中,有的只有1条对称轴,有的不止1条对称轴。

正方形:

4条　长方形:

2条　菱形:

2条

等腰直角三角形:

1条　

等边三角形:

3条　

圆:

无数条

2.画对称轴。

（1）找出轴对称图形的任意一组对称点;

（2）连接对称点;（3）画出对称点所连线段的垂直平分线（经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线）,就可以得到该图形的对称轴。

3.画图形的另一半,使之成为轴对称图形。

（1）先在图形中找到几个关键点;

（2）根据每个点到对称轴的距离找到这些点的对称点;（3）最后把这些点连起来。

二、平移

1.定义。

平移是指在平面内,将一个图形上所有的点都按照同一个方向移动相同的距离,这样的运动叫作图形的平移运动,简称平移。

2.性质。

（1）图形平移前后的形状和大小没有变化,只是位置发生变化。

（2）新图形与原图形的对应点所连的线段平行（或在同一直线上）。

3.平移的两个要素。

一是平移要有方向;二是平移要移动一定的距离,两者缺一不可。

4.平移画图的步骤。

（1）分析要求,确定平移方向和平移的距离。

（2）分析原图形,确定关键点。

（3）画出关键点的对应点,标注相应的字母。

三、旋转

1.定义。

在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一定的角度,这样的运动叫作图形的旋转。

这个定点叫旋转中心,这个方向叫旋转方向,旋转的角度称为旋转角。

旋转中心、旋转方向、旋转角是图形旋转的三要素。

2.顺时针旋转和逆时针旋转。

与时针旋转方向相同的是顺时针旋转;与时针旋转方向相反的是逆时针旋转。

图1　　　　

图2

图1中图形围绕O点按顺时针方向旋转了90°;图2中图形围绕O点按逆时针方向旋转了90°。

3.旋转的特点、性质与画图。

特点:

（1）图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度决定的;

（2）旋转过程中,旋转中心始终保持不动;（3）旋转过程中,旋转的方向是相同的;（4）旋转停止时,图形上每个点的旋转角度是一样的;⑤旋转不改变图形的大小和形状。

性质:

（1）对应点到旋转中心的距离相等;

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;（3）旋转前、后的图形大小相等。

旋转画图的步骤和方法:

（1）确定旋转中心、旋转方向及旋转角;

（2）找出图形的关键点;（3）将图形的关键点和旋转中心连接起来,然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数,得到这些关键点的对应点;（4）按原图形顺次连接这些对应点,所得到的图形就是旋转后的图形。

古今中外,有许多著名建筑也是对称的。

故宫

黄鹤楼

埃菲尔铁塔

泰姬陵

物体在平移的过程中,各个部分移动的距离都是一样的。

平移的过程中,图形自身的方向始终没有发生变化。

旋转90°的方法:

（1）找出原图形的关键点或关键线段。

（2）借助三角板或量