人教版高中数学必修一教案《函数》.docx
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人教版高中数学必修一教案《函数》
课题：
§1.2.1函数的概念
教材分析：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．
教学目的：
（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
教学重点：
理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；
教学难点：
符号“y=f（x）”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
教学过程：
一、引入课题
1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
备用实例：
我国2003年4月份非典疫情统计：
日期
22
23
24
25
26
27
28
29
30
新增确诊病例数
106
105
89
103
113
126
98
152
101
3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
二、新课教学
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作：
y=f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域（range）．
注意：
“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；
函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
2．构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
（由学生完成，师生共同分析讲评）
（二）典型例题
1．求函数定义域
课本P20例1
解：
（略）
说明：
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；
如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；
函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
巩固练习：
课本P22第1题
2．判断两个函数是否为同一函数
课本P21例2
解：
（略）
说明：
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
巩固练习：
课本P22第2题
判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1）f（x）=（x－1）0；g（x）=1
（2）f（x）=x；g（x）=
（3）f（x）=x2；f（x）=（x+1）2
（4）f（x）=|x|；g（x）=
（三）课堂练习
求下列函数的定义域
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
三、归纳小结，强化思想
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
四、作业布置
课本P28习题1．2（A组）第1—7题（B组）第1题
课题：
§1.2.2映射
教学目的：
（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；
（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．
教学重点：
映射的概念．
教学难点：
映射的概念．
教学过程：
五、引入课题
复习初中已经遇到过的对应：
1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；
2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（x,y）和它对应；
3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
5．函数的概念．
六、新课教学
1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）．
2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系
（1）开平方；
（2）求正弦（3）求平方；（4）乘以2；
3．什么叫做映射？
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
A
B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．
记作“f：
A
B”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：
一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
4．例题分析：
下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={P|P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：
数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={P|P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）|x∈R，y∈R}，对应关系f：
平面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x|x是圆}，对应关系f：
每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={x|x是新华中学的班级}，B={x|x是新华中学的学生}，对应关系f：
每一个班级都对应班里的学生．
思考：
将（3）中的对应关系f改为：
每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：
每一个学生都对应他的班级，那么对应f：
B
A是从集合B到集合A的映射吗？
5．完成课本练习
七、作业布置
补充习题
课题：
§1.2.2函数的表示法
教学目的：
（1）明确函数的三种表示方法；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
（4）纠正认为“y=f（x）”就是函数的解析式的片面错误认识．
教学重点：
函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：
根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？
分段函数的表示及其图象．
教学过程：
八、引入课题
5.复习：
函数的概念；
6.常用的函数表示法及各自的优点：
（1）解析法；
（2）图象法；
（3）列表法．
九、新课教学
（一）典型例题
例1．某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f（x）．
分析：
注意本例的设问，此处“y=f（x）”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．
解：
（略）
注意：
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；
解析法：
必须注明函数的定义域；
图象法：
是否连线；
列表法：
选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
巩固练习：
课本P27练习第1题
例2．下表是某校高一
（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88．2
78．3
85．4
80．3
75．7
82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：
本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？
怎么分析？
借助什么工具？
解：
（略）
注意：
本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；
本例能否用解析法？
为什么？
巩固练习：
课本P27练习第2题
例3．画出函数y=|x|．
解：
（略）
巩固练习：
课本P27练习第3题
拓展练习：
任意画一个函数y=f（x）的图象，然后作出y=|f（x）|和y=f（|x|）的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．
课本P27练习第3题
例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：
本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．
解：
设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N*|x≤19}．
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
（
）
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：
注意：
本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？
实践与拓展：
请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）
说明：
象上面两例中的函数，称为分段函数．
注意：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
一十、归纳小结，强化思想
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．
一十一、作业布置
课本P28习题1．2（A组）第8—12题（B组）第2、3题
课题：
§1.3.1函数的单调性
教学目的：
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点：
函数的单调性及其几何意义．
教学难点：
利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学过程：
一十二、引入课题
1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f（x）=x
从左至右图象上升还是下降______?
在区间____________上，随着x的增
大，f（x）的值随着________．
2．f（x）=-2x+1
从左至右图象上升还是下降______?
在区间____________上，随着x的增
大，f（x）的值随着________．
3．f（x）=x2
在区间____________上，f（x）的值随
着x的增大而________．
在区间____________上，f（x）的值随
着x的增大而________．
一十三、新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：
仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x12．函数的单调性定义
如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1作差f（x1）－f（x2）；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；
下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．
（二）典型例题
例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：
（略）
巩固练习：
课本P38练习第1、2题
例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
解：
（略）
巩固练习：
课本P38练习第3题；
证明函数
在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y=－x2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间．
解：
（略）
思考：
画出反比例函数
的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？
证明你的结论．
说明：
本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．
一十四、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取值→作差→变形→定号→下结论
一十五、作业布置
1．书面作业：
课本P45习题1．3（A组）第1-5题．
2．提高作业：
设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），
求f（0）、f
（1）的值；
若f（3）=1，求不等式f（x）+f（x-2）>1的解集．
课题：
§1.3.2函数的奇偶性
教学目的：
（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）学会判断函数的奇偶性．
教学重点：
函数的奇偶性及其几何意义．
教学难点：
判断函数的奇偶性的方法与格式．
教学过程：
一十六、引入课题
1．实践操作：
（也可借助计算机演示）
取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：
以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；
问题：
将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f（x）的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？
函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：
（1）可以作为某个函数y=f（x）的图象，并且它的图象关于y轴对称；
（2）若点（x，f（x））在函数图象上，则相应的点（－x，f（x））也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：
问题：
将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f（x）的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？
函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：
（1）可以作为某个函数y=f（x）的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x，f（x））在函数图象上，则相应的点（－x，－f（x））也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．
2．观察思考（教材P39、P40观察思考）
一十七、新课教学
（一）函数的奇偶性定义
象上面实践操作
中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作
中的图象关于原点对称的函数即是奇函数．
1．偶函数（evenfunction）
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．
（学生活动）：
仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
2．奇函数（oddfunction）
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做奇函数．
注意：
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（二）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
（三）典型例题
1．判断函数的奇偶性
例1．（教材P36例3）应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性．（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）
解：
（略）
总结：
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f（－x）与f（x）的关系；
作出相应结论：
若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；
若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．
巩固练习：
（教材P41例5）
例2．（教材P46习题1．3B组每1题）
解：
（略）
说明：
函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．
2．利用函数的奇偶性补全函数的图象
（教材P41思考题）
规律：
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
说明：
这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
巩固练习：
（教材P42练习1）
3．函数的奇偶性与单调性的关系
（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征．
例3．已知f（x）是奇函数，在（0，＋∞）上是增函数，证明：
f（x）在（－∞，0）上也是增函数
解：
（由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤）
规律：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
一十八、归纳小结，强化思想
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
一十九、作业布置
3．书面作业：
课本P46习题1．3（A组）第9、10题，B组第2题．
2．补充作业：
判断下列函数的奇偶性：
；
；
（
）
3．课后思考：
已知
是定义在R上的函数，
设
，
试判断
的奇偶性；
试判断
的关系；
由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．
课题：
§1.3.1函数的最大（小）值
教学目的：
（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
教学重点：
函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：
利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
教学过程：
二十、引入课题
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
说出y=f（x）的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1）
（2）
（3）
（4）
二十一、新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；
（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M
那么，称M是函数y=f（x）的最大值（MaximumValue）．
思考：
仿照函数最大值的定义，给出函数y=f（x）的最小值（MinimumValue）的定义．（学生活动）
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f（x0）=M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；
（二）典型例题
例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：
（略）
说明：
对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
巩固练习：
如图，把截面半径为
25cm的圆形木头锯成矩形木料，
如果矩形一边长为x，面积为y
试将y表示成x的函数，并画出
函数的大致图象，并判断怎样锯
才能使得截面面积最大？
例2．（新题讲解）
旅馆定价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元）
住房率（%）
160
55
140
65
120
75
100
85
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：
根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设
为旅馆一天的客房总收入，
为与房价160相比降低的房价，因此当房价为
元时，住房率为
，于是得
=150·
·
．
由于
≤1，可知0≤
≤90．
因此问题转化为：
当0≤
≤90时，求
的最大值的问题．
将
的两边同除以一个常数0.75，得
1=－
2＋50
＋17600．
由于二次函数
1在
=2
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