人教版高中数学必修一教案.docx
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人教版高中数学必修一教案
课题：
§1.1集合
教材分析：
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础。
许多
重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上。
此外，集合理论的应用也变得更加广泛。
课型：
新授课
课时：
1课时
教学目标：
1.知识与技能
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；
（2）牢记常用的数集及其专用的记号。
（3）理解集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。
（4）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的问题。
2.过程与方法
（1）学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，深入理解集合的含义。
（2）学生自己归纳本节所学的知识点。
3.情感态度价值观
使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣。
教学重点：
集合的概念与表示方法。
教学难点：
对待不同问题，表示法的恰当选择。
教学过程：
一、引入课题
军训前学校通知：
8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容
二、新课教学
（一）集合的有关概念
1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集
合（set）（简称为集）。
3.关于集合的元素的特征
（1）
确定性：
设A是一个给定的集合，
x是某一个具体对象，则或者是
A的元素，
或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
例：
（2）
互异性：
一个给定集合中的元素，
指属于这个集合的互不相同的个体
（对象），
因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
例：
（3）无序性：
只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的。
例：
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4.思考1：
课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
答案：
（1）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合。
（2）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的。
5.元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作aA
例：
我们用A表示“1~20以内所有的素数”组成的集合，则3A,4A
6.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作N
*
正整数集，记作N或N+；
有理数集，记作Q
实数集，记作R
（二）集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
（1）列举法：
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列表法。
如：
{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，⋯；
例1．（课本例1）思考2，引入描述法
答案：
（1）1~9内所有偶数组成的集合
（2）不能，因为集合中元素的个数是无穷多个。
说明：
集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
（2）描述法：
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
具体方法：
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如：
{x|x-3>2}，{（x,y）|y=x2+1}，{直角三角形}，,；
例2．（课本例2）
说明：
（课本P5最后一段）
思考3：
（课本P6思考）
强调：
描述法表示集合应注意集合的代表元素
{（x,y）|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：
{整数}，即代表整数集Z。
辨析：
这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。
下列写法{实数集}，
{R}也是错误的。
如果写{实数}是正确的。
说明：
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注
意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（三）课堂练习（课本P6练习）
三、归纳小结
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。
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四、作业布置（书面作业：
习题1.1，第1-4题）
课题:
§1.2集合间的基本关系
教材分析：
类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系
了解空集的含义
课型：
新授课
课时：
1课时
教学目标：
1.知识与技能
（1）了解集合之间的包含与相等的含义；
（2）能用venn图表达集合之间的关系；
（3）理解子集、真子集和空集的概念。
2.过程与方法
（1）通过对照实数的相等与不相等的关系，类比出集合之间的包含和相等关系。
（2）体会使用集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。
3.情感态度价值观
感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。
教学重点：
子集与真子集的概念；用Venn图表达集合间的关系。
教学难点：
弄清楚元素与集合、集合与集合间的关系。
教学过程：
四、引入课题
1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：
（1）0N；
（2）2Q；（3）-1.5R
2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
（宣
布课题）
五、新课教学
（一）集合与集合之间的“包含”关系；
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A。
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说
这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作：
AB（或BA）
读作：
A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A当集合A不包含于集合B时，记作AB
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
A
B
AB（或BA）
（二）集合与集合之间的“相等”关系；
如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），
此时，集合A与集合B的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等。
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记作：
A=B
AB且BA，则AB中的元素是一样的，因此AB
即AB
A
B
B
A
练习
结论：
任何一个集合是它本身的子集
（三）
真子集的概念
如果集合A
B，但存在元素x
B且xA，则称集合A是集合B的真子集（proper
subset）。
记作：
A
B（或B
A）
读作：
A真包含于B（或B真包含A）
举例（由学生举例，共同辨析）
（四）
空集的概念
例：
方程x2
10的所有实数根组成的集合。
把不含有任何元素的集合叫做空集（
emptyset），记作：
规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（五）
结论：
C，则AC
○AA○AB，且B
1
2
（六）
例题
（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
（2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x
5}，并表示A、B的关系；
（七）
课堂练习
（八）
归纳小结，强化思想
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系。
同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；
（九）作业布置
1、书面作业：
习题1.1第5题
2、提高作业：
○已知集合A{x|a
x5}，B
{x|x≥2}，且满足A
B，求实数a
1
的取值范围。
○2设集合A{四边形}，B{平行四边形}，C{矩形}，
D{正方形}，试用Venn图表示它们之间的关系。
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课题：
§1.3集合的基本运算
课型：
新授课
课时：
1课时
教学目标：
1.知识与技能
（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
2.过程与方法
学生通过观察和类比，借助Veen图理解集合的基本运算。
3.情感态度价值观
进一步树立属性数形结合的思想；体会类比的作用；感受集合作为一种语
言，在表示数学内容时的简洁与准确。
教学重点：
交集与并集、全集与补集的概念。
教学难点：
理解交接与并集的概念和符号之间的区别与联系。
教学过程：
六、引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个
集合是否也可以“相加”呢？
思考（P9思考题），引入并集概念。
答案：
①A和B都是C的子集；②A中的元素和B中的元素合在一起组成的集合正好
是集合C。
七、新课教学
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
记作：
A∪B
读作：
“A并B”
即：
A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：
A
B
?
说明：
两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合
A与B的所有元素组成的集合
（重复元素只看成一个元素）。
A∪B
例题（P9-10例4、例5）
说明：
连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
集合并的运算性质（思考）：
①A
AA；②A
A
问题：
在上图中我们除了研究集合
A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）
还应是我们所关心的，我们称其为集合
A与B的交集。
2.交集
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一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集
（intersection）。
记作：
A∩B读作：
“A交B”
即：
A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
说明：
两个集合求交集，结果还是一个集合，是由
集合A与B的公共元素组成的集合。
问：
如果A与B没有公共部分，他们的交接还是一
个集合吗？
答案：
是，因为空集仍是一个集合。
说明：
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交
集是空集，而不能说两个集合没有交集。
交集的运算性质：
①A
AA；②A
例题（P9-10例6、例7）
拓展：
求下列各图中集合
A与B的并集与交集
3.
BA
A（B）
A
B
AB
A
B
补集
全集：
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，
那么就称这个
集合为全集（Universe），通常记作U。
补集：
对于全集
U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合
A的所有元素组成的集
合称为集合A
相对于全集U的补集（complementaryset）,简称为集合A的补集，
记作：
CUA
即：
CUA={x|x∈U且x
A}
U
补集的Venn图表示
说明：
补集的概念必须要有全集的限制；一个集合的补集
A
仍然是一个集合。
例题（P12例8、例9）
U
4.
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然
CA
还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在
处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合
Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5.
集合基本运算的一些性质：
A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩
=
A∩B=B∩A
AA∪B，B
A∪B，A∪A=A，A∪
=A,A∪B=B∪A
（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=
若A∩B=A，则AB，反之也成立
若A∪B=B，则AB，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B
5.课堂练习
（1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B=
（2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z
第6页共55页
（3）集合A
n
m
1
Z}，则AB
__________
{n|
Z}，B{m|
2
2
（4）集合A
{x|
4x2}，B{x|
1
x
3}，C
{x|x0，或x
5}
2
那么A
B
C
_______________,A
B
C_____________;
八、归纳小结（略）
九、作业布置
3、书面作业：
P13
习题1.1，第6-12题
4、提高内容：
（1）
已知X={x|x
2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}
，且
XA
X
B
X，试求p、q；
（2）
集合A={x|x
2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若AB={-2
，0，1}，求p、q；
（3）
A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A
B={3，7}，求B
课题：
§1.2.1函数的概念
教材分析：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型
化的思想．
课型：
新授课
课时：
1课时
教学目标：
1.知识与技能
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
高中阶段不仅要把函数看成变量之间的依赖关系，而且还要用集合的语言刻画函数，更加注重函数模型化的思
想与意识。
2.过程与方法
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
（2）了解函数的构成要素，学会求一些简单函数的定义域和值域。
3.情感态度价值观
使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性。
教学重点：
理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学难点：
符号“y=f（x）”的含义，函数定义域和值域的区间表示。
教学过程：
十、引入课题
1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
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（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：
我国2003年4月份非典疫情统计：
日期
22
23
24
25
26
27
28
29
30
新增确诊病例数
106
105
89
103
113
126
98
152
101
3.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．十一、新课教学
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个
数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作：
y=f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应
的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：
○“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；
1
○函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是
f乘x．
2
2．构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
（由学生完成，师生共同分析讲评）
（二）典型例题
1．求函数定义域
课本P20例1
解：
（略）
说明：
○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；
○2如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；
○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
巩固练习：
课本P22第1题
2．判断两个函数是否为同一函数
课本P21例2
解：
（略）
说明：
○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决
第8页共55页
定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
巩固练习：
○1课本P22第2题
○2判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1）f（x）=（x－1）0；g（x）=1
（2）f（x）=x；g（x）=
x2
（3）f（x）=x2；f（x）=（x+1）2
（4）f（x）=|x|
；g（x）=
x2
（三）课堂练习
求下列函数的定义域
（1）f（x）
1
（2）f（x）
1
（3）f（x）
x2
4x5
x
|x|
1
1
x
（4）f（x）
4
x2
x
2
6x10（6）f（x）
1xx31
x
（5）f（x）
1
十二、归纳小结，强化思想
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
十三、作业布置
课本P28习题1．2（A组）第1—7题（B组）第1题
课题：
§1.2.2函数的表示法
课型：
新授课
课时：
1课时
教学目标：
1.知识与技能
（1）明确函数的三种表示方法；
（2）会根据具体的问题原则合适的方法表示函数；
（3）会通过具体实例了解分段函数及其应用。
2.过程与方法
学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用，而且是为了加深加深了解函数概念的形成过程。
3.情感态度价值观
让学生感受到学习函数表示法的重要性，渗透数形结合的思想。
教学重点：
函数三种表示方法，分段函数的概念，映射的概念。
教学难点：
函数表示方法的恰当选择，分段函数的表示及其图像，映射的应用。
新课教学
（一）典型例题
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例1．某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）个笔记本需要y元．试用三种表示法
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