机械优化设计及其在现代机械设计中的应用.docx
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机械优化设计及其在现代机械设计中的应用
机械优化设计
及其在现代机械设计中的应用
学院：
机械工程学院
年级：
2009 级 5 班
姓名：
余超汉
指导教师：
张迎辉
2012-11-25
第一章、当今常用优化算法的发展概况.......................................................................................1
1.1 无约束优化设计方法.........................................................................................................2
1.1.1 梯度法......................................................................................................................2
1.1.2 牛顿型方法..............................................................................................................2
1.1.3 共轭梯度法..............................................................................................................3
1.1.5 坐标轮换法..............................................................................................................3
1.1.6 鲍威尔方法..............................................................................................................4
1.2 约束优化设计方法.............................................................................................................4
1.2.1 直接解法..................................................................................................................4
1.2.2 间接解法..................................................................................................................6
1.3 多目标优化方法.................................................................................................................8
1.3.1 主要目标法..............................................................................................................8
1.3.2 加权和法..................................................................................................................8
1.3.3 理想点法..................................................................................................................9
第二章、优化方法在现代机械设计中的应用...............................................................................9
第三章、优化方法与 CAD\CAE 等软件结合 ...............................................................................9
第四章、学生如何应用工具完成产品设计.................................................................................10
参考文献.........................................................................................................................................11
机械优化设计
及其在现代机械设计中的应用
机械 09-5 余超汉
摘要：
机械优化设计是最优化技术在机械设计领域的移植和应用,其基本思想
是根据机械设计的理论,方法和标准规范等建立一反映工程设计问题和符合数学
规划要求的数学模型,然后采用数学规划方法和计算机计算技术自动找出设计问
题的最优方案。
作为一门新兴学科，它建立在数学规划理论和计算机程序设计基
础上，通过计算机的数值计算,能从众多的设计方案中寻到尽可能完善的或最适
宜的设计方案，使期望的经济指标达到最优，它可以成功地解决解析等其它方法
难以解决的复杂问题。
优化设计为工程设计提供了一种重要的科学设计方法。
因
而采用这种设计方法能大大提高设计效率和设计质量。
本文论述了优化设计方
法的发展背景、流程，并对无约束优化及约束优化不同优化设计方法的发展情况、
原理、具体方法、特点及应用范围进行了叙述。
另外，选择合适的优化设计方法
是解决某个具体优化设计问题的前提，而对优化设计方法进行分析、比较和评判
是其关键，本文分析了优化方法的选取原则。
之后对并对近年来出现的随机方向
法、遗传算法、蚁群算法和模拟退火算法等新兴优化方法分别进行了介绍。
本文
以交通领域中建立最优交通网路为例说明了优化设计方法的应用特点。
关键词：
机械优化设计、约束、现代机械设计、特点、选取原则
第一章、当今常用优化算法的发展概况
优化设计的类别很多，从不同的角度出发，可以得出不同的分类。
下面我
将按约束情况，可分为无约束优化设计方法和约束优化设计方法。
1
1.1 无约束优化设计方法
1.1.1 梯度法
算法：
x
k+1
= xk - αk∇f （xk ）（k = 0,1, 2,...）
由于梯度法是以负梯度方向作为搜索方向，所以称为梯度法，又称为最速
下降法。
梯度法是一个求解极值问题的古老算法，早在 1847 年就已有柯西
（Cauchy）提出。
梯度法的优点是：
直观，简单；
缺点是：
由于它采用了函数负梯度方向作为下一步的搜索方向，所以收敛
速度较慢，越是接近极值点收敛越慢；
应用：
应用梯度法可以使目标函数在开头几步下降很快，所以它可与其它
无约束优化方法配合使用。
特别是一些方法都是在对它改进后，或在它的启发
下获得的，因此梯度法仍然是许多有约束和无约束优化方法的基础。
1.1.2 牛顿型方法
算法：
xk+1 = xk - [∇2 f （xk ）]-1∇f （xk ）（k = 0,1, 2,...）
k
牛顿法的优点是：
速度比梯度法快；
缺点是：
由于每次迭代都要计算函数的二阶导数矩阵，并对该矩阵求逆，
因此计算量大且需要大的计算机存储空间。
针对梯度法收敛速度比牛顿法慢，而牛顿法又存在上述缺点，近年来人们
又提出了改进算法，如针对梯度法提出只用梯度信息，但比梯度法收敛速度快
的共轭梯度法；针对牛顿法提出了变尺度法。
2
1.1.3 共轭梯度法
算法：
xk+1 = xk + αk d k （k = 0,1, 2,...）
k
⎡
⎣
⎥
，所用目
搜索方向 d = -Hk gk ， Hk 是变尺度矩阵，函数梯度 gk 的修正因子
标函数信息是一阶导数。
共轭梯度法是共轭方向法中的一种，因为在该方向中
的每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而够造出来的，所以称作共轭
梯度法，又称为旋转梯度法。
共轭梯度法是 1964 年由弗来彻（Fletcher）和里伍斯（Reeves）两人提出
的。
此法的优点是：
程序简单，存储量少，具有梯度法的优点，而在收敛速度
上比梯度法快，具有二次收敛性。
1.1.4 变尺度法
算法：
xk+1 = xk + αk d k （k = 0,1, 2,...）
k
Hk = H K -1 + ∆H K ，所用目标函数信息是一阶导数使 Hk ≈ G-1K 。
对变尺度法改进为 DFP 算法，该算法是无约束优化方法中最有效的方法之
一，因为它不单纯是利用向量传递信息，还采用矩阵来传递信息。
DFP 算法由
于摄入误差和一位搜索不精确，有可能导致 Hk 奇异，而使数值稳定性方面不够
k
k
vk = α 21sk + α k 22Hk yk
并取
Ek = sk （uk ）T + Hk yk （vk ）T
1.1.5 坐标轮换法
算法：
3
m 个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行搜x
xk+1 = xk + αk d k （k = 0,1, 2,...）
每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持不变，着眼坐标方向流进行
搜索的寻优方法称为坐标轮换法。
它把多变量的优化问题轮流地转化成单变量
的优化问题，因此这种方法有称为变量轮换法。
优点：
在搜索过程中可以不需要目标函数的导数，只需目标函数值信息，
这比前面讨论的利用目标函数导数信息建立搜索方向的方法要简单得多；
缺点：
采用坐标轮换法只能轮流沿着坐标方向搜索，尽管也能使函数值步
步下降，但要经过多次曲折迂回的路径才能到达极值点；尤其在极值点附近步
长很小，收敛很慢。
鉴于坐标轮换法的缺点，因此它不是一种很好地搜索方法，但在此基础上
可以构造出更好的搜索策略，即鲍威尔（Powell）方法。
1.1.6 鲍威尔方法
算法：
xk+1 = xk + αk d k （k = 0,1, 2,...）
搜索方向 d k = xk - xk-1 ，它是零阶方法，所用目标函数信息是函数值。
鲍威尔方法是鲍威尔于 1964 年提出的，以后又经过它本人的改进。
该法
是一种有效的共轭方向法，它可以在有限步内找到二次函数的极小点。
对于非
二次函数只要具有连续二阶导数，用这种方法也是有效的。
1.2 约束优化设计方法
求解约束优化的方法称为约束优化方法。
约束优化方法根据求解方式的不
同，可分为直接解法和间接解法。
直接法主要有随及方向法、复合形法、可行
方向法、广义简约梯度法，间接解法有惩罚函数法和增广乘子法。
1.2.1 直接解法
基本思路：
直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，其基本思路是在
0
索方向 d，且以适当的步长α ，沿 d 方向进行搜索，得到一个使目标函数值下
4
降的可行的新点 x ，即完成一次迭代。
再以新点为起点，重复上述搜索过程，
从初始点 x 出发，沿 d 方向以一定的步长进行搜索，得到新点 x，新点 x 应该
1
满足收敛条件后，迭代终止。
每次迭代计算均按以下基本迭代格式进行
xk+1 = xk + αk d k （k = 0,1, 2,...）
直接解法的特点是：
⑴由于整个求解过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论何时终止，都
可以获得一个比初始点好的设计点。
⑵若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可保证获得全域最优解。
否则，
因存在多个局部最优解，当选择的初始点不相同时，可能搜索到不同的局部最
优解。
⑶要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域内存在满足全部约束条件
的点，且目标函数有定义。
⑷原理简单，方法实用。
随机方向法
基本思想：
随机方向法是一种原理简单的直接解法。
它的基本思路是在可
行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从
中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向，记作 d。
0
，且 f （x） ≤ f （x ） ，至此完成一次迭代。
满足约束条件：
g j （x） ≤ 0（ j = 1, 2,..., m）
0
然后，将起始点移至 x，即令 x ←x。
重复以上过程，经过若干次迭代计算后，
0
最终取得约束最优解。
特点：
是对目标函数的性态无特殊要求，程序设计简单，使用方便。
由于
可行搜索方向是从许多随机方向中选择的使目标函数下降最快的方向，加之步
长还可以灵活变动，所以此算法的收敛速度比较快。
若能取得一个较好的初始
点，迭代次数可以大大减少。
它是求解小型机械优化设计问题的一种十分有效
的算法。
可行方向法
是求解非线性规划问题的常用方法。
其典型策略是,从可行点出发,沿着下降
的可行方向进行搜索,求出使目标函数值下降的新的可行点。
算法的主要步骤是
选择搜索方向和确定沿此方向的步长,搜索方向的选择形式不同就形成了不同的
5
φ （x,μ1,μ2 ） = f （x） + ∑μ1G[g j （x）] + ∑μ2H[hk （x）]
可行方向法。
逐次线性近似法、Zoutendijk 可行方向法、Frank-Wolfe 方法、
Wolfe 既约梯度法等是常用的可行方向法。
但在实际应用中,逐次线性近似法有
可能不收敛,Zoutendijk 可行方向法、Frank-Wolfe 方法等收敛较慢,而 Wolfe
既约梯度法在计算过程中往往出现“基变量大量达界后,找不到新的入基变量”
等问题,使计算进行不下去。
1.2.2 间接解法
基本思路：
约束优化问题中的约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函
数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个或一系
列的无约束优化问题。
在对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜
索到原约束问题的最优解。
基本迭代过程如下：
首先将式（1－2）转化为无约
束目标函数
ml
j=1k=1
式中，
φ （x, μ1,μ2 ）
——转化后的新目标函数；
∑μ1G[g j （x）], ∑μ2H[hk （x）]
ml
j=1k=1
——分别为约束函数
g j （x）
， hk （x） 经过加权处
理后构成的某种形式的复合函数或泛函数；
μ1 ， μ2 ——加权因子。
然后对
φ （x, μ1,μ2 ）
进行无约束极小化计算。
由于在新目标函数中包含了各种
约束条件，在求极值的过程中还将改变加权因子的大小。
因此可以不断改变设
计点，使其逐步逼近约束边界。
从而间接地求得原约束问题的最优解。
间接解法的特点是：
⑴解法可靠，计算效率和数值计算稳定性较好。
⑵可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。
⑶间接解法存在主要问题是，选取加权因子较为困难。
加权因此选确不当，
不但影响收敛速度和计算精度，甚至会导致计算失败。
惩罚函数法
6
基本思想：
惩罚函数法（SUMT）是不等式约束的一种非线性规划方法，它
通过对约束条件加权将约束优化问题转化为无约束优化问题求解，所以惩罚函
数法又称为序列无约束最优化方法。
对于以下的约束优化问题：
min f （ X ） X = [x1, x1,..., xn ]
⎩ hj （ X ） = 0, j = 1, 2,...l ⎭
..
⎧gi （ X ） ≤ 0, i = 1, 2,...m⎫
s.t ⎨ ⎬
φ （x, r1,r2 ） = f （x） + r1∑ G[g j （x）] + r2 ∑ H[hk （x）]
rr
外，当惩罚因子的初值 r 取得不合适时，惩罚函数可能变得病态，使无约束最
中的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和远目标函数结合形成新的
目标函数——惩罚函数
ml
j=1k=1
求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。
为此，
按一定的法则改变加权因子 1 和 2 的值，构成一系列的无约束优化问题，求得
一系列的无约束最优解，并不断地逼近原约束优化问题的最优解。
因此惩罚函
数法又称为序列无约束极小化方法，常称为 SUMT 法。
根据迭代过程是否在可
行域内进行，惩罚函数法可分为内点惩罚函数法和外点惩罚函数法和混合惩罚
函数法三种。
特点：
内点惩罚函数法简称为内点法，只能用来求解具有不等式约束的优化问题。
外点惩罚函数法简称为外点法，只能用来求解具有不等式和等式约束的优
化问题。
混和惩罚函数法简称为混合法，这种方法把内点法和外点法结合起来，用
来求解同时具有等式约束和不等式约束函数优化问题。
惩罚函数法优点：
原理简单，算法易行，适用范围广，并且可以和各种有
效的无约束最优化方法结合起来，因此应用广泛。
缺点：
理论上讲，只有当
r → ∞ （外点法）或 r → 0 （内点法）时，算法才能收敛，因此收敛速都慢。
另
0
优化计算发生困难。
近年来提出的增广乘子法在计算过程中数值稳定性，计算
效率上都超过惩罚函数法。
7
1.3 多目标优化方法
机械设计问题往往是比较复杂的，为了追求总体住能的最佳，在寻求最优
设计方案时，有时同时要求几项设计准则，即几个设计目标都达到最优，这就
是多目标优化间题。
多目标问题的优化过程要比单目标的优化过程复杂的多，特别是当设计目
标之间相互对立时，求对各设计目标都满意的方案就更加困准。
在单目标函数
纸优化过程中，任何两个设计方案均能根据唯一的设计准则进行优劣比较，而
在多目标函数的优化过程中，则可能发生这种情况，即对某一项目标可能是优
化过程增加了复杂性。
解决多目标问题的优化方法很多，适用的对象也不完全相同，但其主要思
路都是设法对所有目标函数进行统筹协调，以便求得一个对所有设计目标都比
较满意的方案。
下面介绍几种常用的多目标优化问题的处理方法。
1.3.1 主要目标法
其基本思想是，根据各分目标的重要性，选择时设计方案的优劣影响最大
的目标作为主要目标，建立目标函数，而将其余目标按照一定的原则化为辅助
的约束条件，然后对主要目标函数求约束优化解。
1.3.2 加权和法
其基本思想是，根据各分目标的重要程度，对每项分目标乘以加权因子
ω f
然后相加，以其加权和作为统一的目标函数，即
F （ X ） = ∑ωj Fj （ X ）
i
j=1
其特点是：
由于在实际设计问题中各项设计目标函数的量纲不一定相同，
各目标函数值的数量级也可能相差悬殊，因此在选择加权因子时应兼顾到几个
方面。
一般，应首先对各目标函数进行无量纲处理，使其变为规格化形式，然
后再考虑各分目标的重要程度的数量级的差异，选择合适的加权因子。
8
1.3.3 理想点法
其基本思想是，以各分目标单独求优所得到的单目标最优解的集合，作为
总目标函数的一个理想点。
当然，这种理想点实际上是作不到的，但在构造总
目标函数时，可以追求以与该理想点之偏差最小作为优化的准则。
其特点是：
用理想点法建立总目标函数是很方便的，只需对各分目标分
别进行单独优化，求其最优解。
第二章、优化方法在现代机械设计中的应
用
近年来，优化设计方法已在许多工业部门得到应用，并发挥着重要的作用，
相对来讲，优化方法在机械设计中的应用稍晚一些，知道 60 年代后期才开始有
较成功的应用，但发展却十分迅速。
在机构综合，机械零部件设计，专用机械
设计和工艺设计等方面都获得应用，并取得丰硕的成果。
机构运动参数的优化设计是机械优化设计中发展较早的领域，不仅研究了
连杆机构，凸轮机构等再现函数和轨迹的优化设计问题，而且还提出一些标准
化程序。
机构动力学优化设计方面也有很大进展，如惯性力的最优平衡，主动
件力矩的最小波动等的优化设计。
机械零部件的优化设计，最近 20 多年也有很
大发展，主要是研究各种减速器的优化设计，滑动轴承和滚动轴承的优化设计
以及轴、弹簧、制动器等的机构参数优化。
除此之外，在机床、锻压设备、压
延设备、起重运输设备，汽车等的基本参数、基本工作机构和猪蹄机构方面也
进行了优化设计工作。
第三章、优化方法与 CAD\CAE 等软件结
合
高级 CAD/CAE 优化过程的某些基本特征，如计算模型的参数化、迭代过程
的自动性等。
但作为优化技术与 CAE 方法的完美结合的产物，CAE 优化方法必
然有比之更丰富的特点。
首先，现代 CAE 技术的发展已使人们的分析领域扩展到了各行各业的每个
角落，所研究问题的深度及综合程度都在逐步提高，研究者的目光已从单一场
分析转向了多场耦合分析，以追求更为真实的模拟结果。
CAE 软件的优化技术
的适应范围也必然随之扩展，不但要求它能解决各种单场问题，而且应该能处
9
理多场耦合过程的优化。
汽车、潜艇、飞机等设备设计过程中常会考虑优化其
外形使更有利于在高速行驶时减少流体阻力，而同时必需虑外形的变更是否有
损于设备的其它如力学和热学方面的性能。
可见单纯的流体动力学优化只能解
决一方面问题，而只有将其内部设备的力学或热学问题耦合分析，才能真正完
整的解决问题。
其次，一个优化迭代过程通常是从前处理开始，经过建模、分网、加载、
求解和后处理，而优化问题通常需要较多的迭代才能收敛。
因此，软件具有统
一的数据库是高效的 CAE 优化过程的前题，这种统一指的是前后处理数据与求
解所用的数据应该在同一个数据库中，而不是通过数据文件来传递，这势必降
低优化过程的效率。
另外，多数通过文件来传递数据的软件的前处理与求解器
之间并不完全支持，前处理的数据文件往往在投入求解器之前需要手工修改。
这与优化过程的自动性是相抵触的。
这种情况一但发生而且不可回避时，要么
放弃，要么再为数据文件编制自动修改程序。
第三，优化过程实际上是一个不断自动修正设计参数的过程，所以要想保
证优化过程的流畅，CAE 软件必须具有完备高效的参数流程控制技术。
流程控
制过程中，不但要求将要优化的设计数据可以参数化，而且要求这种流程控制
具有判断分支与循环的能力以使软件可以自动应付大型问题在优化过程中出现
的各种复杂情况。
第四章、学生如何应用工具完成产品设计
作为机械专业的大学生，即将面对社会对所学专业的考验。
我们在意识上
应该有优化设计的影子。
通过动态优化设计，可以使产品获得良好的结构性能，，即考虑机械设备
工作的可靠性、安全性及工作寿命等，可以提高机电产品的综合质量。
优化方
法在结构设计中的应用，既可以使方案在设计要求下达到良好的性能指标，又
不必耗费过多的材料
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